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Mathematik: Das Pascalsche Dreieck
Freigegeben von matroid am Mo. 30. Juli 2007 18:25:45
Verfasst von matph -   8859 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Das Pascalsche Dreieck oder Die Koinzidenz...

Das Pascalsche Dreieck - die Summe der beiden darüberstehenden und an den Enden jeder Zeile eine Eins, oder eine Tabelle der Binomialkoeffizienten
 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1


Ein Blick auf das Pascalsche Dreieck

Trotz der langen Geschichte dieses Dreiecks, welche sich bis Omar Khayyam um 1100 zurückverfolgen lässt, und mit hoher Wahrscheinlichkeit auf noch ältere Quellen zurückgeht, bleiben noch viele Fragen offen...
                         1
                       1   1
                     1   2   1
                   1   3   3   1
                 1   4   6   4   1
               1   5  10  10   5   1
             1   6  15  20  15   6   1
           1   7  21  35  35  21   7   1
         1   8  28  56  70  56  28   8   1
       1   9  36  84 126 126  84  36   9   1
     1  10  45 120 210 252 210 120  45  10   1
   1  11  55 165 330 462 462 330 165  55  11   1
Mittels 2er einfacher Möglichkeiten lässt sich dieses Produzieren, so ist zum einen ist die Zahl in einer Zeile jeweils die Summe der beiden darüberstehenden Zahlen. Dies entspricht auch der Definition des Dreiecks.

Berechnung mittels Summen:
Haskell
pas = [1]:[1:(p y) | y <- pas]
  where
  p (y1:zs@(y2:_)) = (y1+y2):(p zs)
  p y = y

Oder vielleicht für jene die mehr Erfahrung in imperativen Sprachen besitzen:
Ruby
(puts "program [lines]";exit) if ARGV.length!=1
 
nL=ARGV[0].to_i-1
 
t=[]
 
(0..nL).each do |i|
  li=[1]
  (1..i/2).each{|j| li[j]=t[i-1][j-1]+t[i-1][j]}
  t[i]=li+li[0..(i%2)-2].reverse
end
 
w=Math.log10(t[nL][nL/2]).ceil+1
 
(0..nL).each do |i|
  print ' '*((nL-i)*w/2)
  t[i].each{|j| printf("%#{w}d",j)}
  print "\n"
end

Zum anderen mittels des Binomialkoeffizienten
fed-Code einblenden

Der Nachteil daran ist der höhere Rechenaufwand, vorteil dass wir jedes Element ohne andere Berechnen zu müssen, ausgeben können. D.h. wir könnten beim Pascalsches Dreieck einfach die Zeilen 100 bis 110 ausgeben, ohne die Zeilen von 1 bis 100 auf zu stellen. Die Elemente sind dabei die Nummer k in der n-ten Zeile.

Darstellung durch Binomialkoeffizienten:
Haskell
module Main where
import System.Environment
import Text.Printf
 
main :: IO ()
main = do
  a <- getArgs
  if length a /= 1
    then error "prog line_number"
    else pascal $ read (head a) - 1
 
fac :: Integer -> Integer
fac n = product [1..n]
 
bin :: Integer -> Integer -> Integer
bin n k | k>n  || k<0  = 0
        | k==0 || k==n = 1
        | k > n`div`2  = bin n (n-k)
        | otherwise    = fac n `div` (fac k * fac (n-k))
 
pascal :: Integer -> IO ()
pascal li = mapM_ (mapM_ putStr)
            [[ws i]++[pf $ i`bin`j | j <- [0..i]]++["\n"] | i <- [0..li]]
  where
  width = (+) 1 $ ceiling $ logBase 10 $ fromInteger $ bin li (li `div` 2)
  w = "%" ++ show width ++ "d"
  ws x = replicate (fromInteger $ (li - x) * width `div` 2) ' '
  pf x = printf w x

Interessant dabei ist schon, dass obwohl das Dreieck über Addition definiert ist, in der allgemeinen Formel nur Multiplikationen und Divisionen auftreten. Unerwartete Eigenschaften können damit auftauchen.

Eher offensichtlich ist, dass jede Zeile palindromisch ist, dies geht sowohl aus den Binoialkoeffizienten als auch aus den Summen klar hervor. Einige andere Eigenschaften sind allerdings auf den ersten Blick nicht ganz so offensichtlich.

Sehen wir uns z.B. eine Primzahl n an, dann sind alle Einträge in der n-ten Zeile, außer dem nullten und dem letzten durch n Teilbar.
7 ist eine Primzahl, die siebente Zeile ist 1,7,21,35,35,21,7,1, gut 1 ist nicht durch 7 teilbar, doch alle andern sind ein vielfaches von 7.

Haben nun Primzahlen etwas mit der Addition zu tun - unmittelbar natürlich nicht - doch der Zähler n*(n-1) ... (n-r+1) enthält offensichtlich din Primfaktor n, die Ausnahme stellt k=0 dar, denn hier hat der Ausdruck den Wert 1. Der Nenner ist k*(k-1) ... 1, und k ist kleiner als n, damit kann keine der Zahlen im Nenner einen gemeinsamen Teiler mit n besitzten, denn n ist eine Primzahl.

Als weiteres Beispiel sehen wir uns eine beliebige Diagonale im Dreieck an - oben Fett markiert: 1+7+15+10+1 = 34 - die Summe der Elemente entspricht immer einer Fibonacci Zahl, hier kommen die additiven Eigenschaften zum Vorschein, denn diese Folge ist definiert, so dass jedes Element der Summe der beiden Vorgänger entspricht:
[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,...]

Wie oft?

Eine simpel klingende Frage ist, wie oft denn eine Zahl im Pascalschen Dreieck vorkommen kann, doch die Antwort darauf ist gar nicht einfach. Die 1 kommt unendlich oft vor, da in jeder Zeile 2 stehen, doch die 6 z.B. kommt in Zeile 4 in der Mitte und 2 mal in Zeile 6 vor. Es ist allerdings möglich eine obere Schranke für alle Zahlen größer als Eins an zu geben, diese lautet
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Bis 248 kommt die Zahl 3003 am häufigsten vor, nämlich 8 mal.

Sehen wir uns, um dies zu verstehen, die Zeile 14, 15 und 16 an:
      1    14    91   364  1001  2002  3003  3432 ...
   1    15   105   455  1365  3003  5005  6435 ...
1    16   120   560  1820  4368  8008 11440 12870 ...
Es treten 3 Zahlen im Verhältnis 1 : 2 : 3 auf, dividieren wir diese durch 1001 so erhalten wir damit die ersten Fibonacci Zahlen, und die Zahl 3003 tritt damit 4 mal in diesen beiden Zeilen auf. Weiters auch 2 mal in Zeile 3003, dies ist offensichtlich.

fed-Code einblenden

6 3003er, doch wo verbleiben die restlichen 2? Hier stoßen wir auf weiter Koinzidenzen...

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Falls 3a eine Dreieckszahl, d.h. die Form
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besitzt, gilt:
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und 3a kommt in der m+1 ten Zeile noch 2 mal vor.
1001 lässt sich umformen
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2002 erhalten wir in dem wir den Zähler mit 10 multiplizieren, den Nenner mit 5. Es bleibt damit nach dem Kürzen noch die Multiplikation mit 2. Es bleibt noch die letzte Beziehung bei der 3/2 bleiben:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Daher wird klar, dass auch folgendes gelten muss
fed-Code einblenden

Andere nichttriviale Wiederholungen sind z.B.
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Modulo

Teilbarkeitsbeziehungen im Pascalschen Dreieck scheinen grundsätzlich recht kompliziert zu sein, eine einfache Betrachtung erhalten wir durch die Modulofunktion, welche den Rest einer ganzzahligen Division zurückgibt.
Haskell
module Main where
import System.Environment
 
main :: IO ()
main = do
  a <- getArgs
  if length a /= 2
    then error "prog line_number mod"
    else puts $ let y = let x = read (a!!1) in
                if x > 1 then x else 2 in
                take (read (a!!0))
                (map (map (`rem`y)) pas)
 
pas = [1]:[1:(p y) | y <- pas]
  where
  p (y1:zs@(y2:_)) = (y1+y2):(p zs)
  p y = y
 
prL = [ ' ' , '#' , '*' , '&' , '$' , '+' ]
 
puts p = mapM_ (\(x,ys) -> putStr (ws x) >>
                  mapM_ (putStr . pf) ys >>
                  putStr "\n") $ zip [0..] p
  where
  ws x = replicate (length (last p) - x) ' '
  pf x = let y = fromInteger x in
         [ ' ' , if y < 6 then prL!!y else toEnum (y+58) ]

Pascal 32 2:
Text
                                #
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                              #   #
                             # # # #
                            #       #
                           # #     # #
                          #   #   #   #
                         # # # # # # # #
                        #               #
                       # #             # #
                      #   #           #   #
                     # # # #         # # # #
                    #       #       #       #
                   # #     # #     # #     # #
                  #   #   #   #   #   #   #   #
                 # # # # # # # # # # # # # # # #
                #                               #
               # #                             # #
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             # # # #                         # # # #
            #       #                       #       #
           # #     # #                     # #     # #
          #   #   #   #                   #   #   #   #
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       # #             # #             # #             # #
      #   #           #   #           #   #           #   #
     # # # #         # # # #         # # # #         # # # #
    #       #       #       #       #       #       #       #
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Das Ergebnis ist ein Sierpinski Dreieck. Dieses Fraktal enthält durch vorgesetzte rekursive Abbildung n, des (n-1)-ten, vier weitere zueinander kongruente Dreiecke, welche zueinander mathematisch ähnlich sind.

Auch hier entdecken wir einiges, was auf den ersten Blick nicht offensichtlich ist, so entstehen die zentralen Dreiecke durch vollkommene Zahlen - diese sind die Summe ihrer Teiler, 6=1+2+3, 28, 120, 496, 2016, 8128,...
Text
                #
 
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               # #
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           # # # # # #
        #   # # # # #   #
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       # #     # #     # #
    #   #   #   #   #   #   #

Die Ergebnisse von nicht-Primzahlen sind meist noch Komplexer, so bildet beispielsweise mod 666 das Pascalsche Biest. mod 10 wie am Ende gezeigt ein Konstrukt, welches unter anderem das Sierpinski Dreieck enthält, welches rot markiert ist.

Weitere interessante Dreiecke, welche nicht unmittelbar mit dem Pascalschen in Verbindung stehen, sind jenes von Dudley, das Stirlingsche oder das Bernoullische Dreieck.

Pascal 100 10


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# # H H + + H H F F F F H H + + H H # #
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# & H F $ * * I + F H H F $ * * $ F H H F * F F * H $ $ H * F F * H $ $ H * F F * F H H F $ * * $ F H H F + I * * $ F H & #
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# # F F + + H H H H H H H H + + F F # #
# * # F * F + + H F H H F H H F H H F H + + F * F # * #
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# + + G F + + + + H F H H F H + + + + F G + + #
# F + + * G F F + + + + H H F F H H H H F F H H + + + + F F G * + + F #
# G # + + G I G F * F + + + + + + + + H F H F * F H F H H F H F * F H F H + + + + + + + + F * F G I G + + # G #
# H H F * F F G F H H F + + H $ $ H F H H F H $ $ H H $ $ H F H H F H $ $ H + + F H H F G F F * F H H #
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Das Pascalsche Dreieck [von matph]  
oder Die Koinzidenz... - die Summe der beiden darüberstehenden und an den Enden jeder Zeile eine Eins, oder eine Tabelle der Binomialkoeffizienten 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
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" Mathematik: Das Pascalsche Dreieck" | 2 Kommentare
 
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Re: Das Pascalsche Dreieck
von Juergen am Di. 31. Juli 2007 13:15:10


Hi matph,

interessante Beziehungen.
Als Ergänzung eine Seite, auf der die Zahlen im Pascalschen Dreieck markiert sind, die durch eine vorgegebene Zahlen m teilbar sind: hier Bemerkenswert finde ich die Muster, die entstehen, wenn m prim ist (schön für m=3 oder m=5 zu sehen)

Gruß
Jürgen

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Re: Das Pascalsche Dreieck
von matph am Di. 31. Juli 2007 14:27:43


Hallo Jürgen,

Guter Link, gefällt mir sehr smile

Ergänzend sei erwähnt, im letzten Code zum spielen (im Abschnitt Modulo) muss man nur die vorhandene Funktion pf durch die folgende ersetzten, um dasselbe Resultat zu erhalten:
Haskell
pf x = if x==0 then " #" else " ."

--
mfg
matph

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