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Mathematik: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
Freigegeben von matroid am Mo. 08. Oktober 2007 14:35:37
Verfasst von huepfer -   3310 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)
Dies soll der Beginn einer Artikelserie über fraktale Geometrie sein. Es wird sich dabei um eine topologische Einführung in das Thema handeln und soll die fraktale Geometrie vorstellen, wie ich sie auch schon in meinem Artikel über das Sierpinski-Dreieck angewandt habe.
Zunächst sind drei Teile geplant, die sich an einer Hausarbeit orientieren, die ich im letzten Semester geschrieben habe. In diesem ersten Teil werde ich Dimensionsbegriffe einführen und motivieren. Der zweite Teil wird iterierte Funktionensysteme behandeln, welche  bei der Konstruktion von Fraktalen häufig verwendet werden. Im dritten und vermutlich letzten Teil werden dann einige Fraktale beispielhaft vorgestellt.

Bei der Betrachtung von Fraktalen stellt sich heraus, dass der Begriff der Vektorraumdimension nach Euklid nicht besonders hilfreich ist und erweitert werden muss. Daraufhin haben sich mehrere verschiedene Dimensionsbegriffe eingebürgert. Diese sind in manchen Situationen äquivalent, unter Umständen allerdings auch verschieden. Diese Dimensionsbegriffe möchte ich in diesem Artikel vorstellen. Ich werde versuchen die Begriffe so allgemein wie möglich zu definieren, man kann aber zur Besserung Vorstellung Teilmengen reeller oder komplexer Vektorräume als Beispiele verwenden.

Inhalt


1. Die Dimension eines Vektorraumes nach Euklid
2. Topologische Dimension
3. Die Hausdorff Dimension
4. Die Box Dimension
Abschluss

1. Die Dimension eines Vektorraumes nach Euklid


Das Konzept der Dimension tritt erstmals bei der Diskussion der Eigenschaften von Vektorräumen auf, wie dies in der linearen Algebra oder euklidischen Geometrie geschieht. Ich nehme an, dass diese Konzepte - wie lineare Unabhängigkeit - bekannt sind und werde nur dort darauf eingehen, wo dies für den Artikel wichtig ist.

fed-Code einblenden

Diese Operation genügt den folgenden Eigenschaften:

  • Assoziativität

  • fed-Code einblenden
  • Distributivität

  • fed-Code einblenden
  • Neutralität von fed-Code einblenden

  • fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
  • Ein Element fed-Code einblenden heißt Vektor.

  • Analog kann man auch einen fed-Code einblenden -rechts Vektorraum definieren.

  • Jeder endlich-dimensionale Vektorraum über einem Körper fed-Code einblenden ist isomorph zu fed-Code einblenden für ein fed-Code einblenden .


fed-Code einblenden

2. Topologische Dimension


fed-Code einblenden
  • Unter offenen Teilmengen U von S verstehen wir Mengen, die in S bezüglich der Teilraumtopologie des zu Grunde liegenden topologischen Raumes offen sind.

  • Beispiel:
    fed-Code einblenden


An diesem Punkt erscheint es mir sinnvoll, erst mal ein konkretes Beispiel zu rechnen.  Ich möchte zeigen, dass die Cantormenge C die Dimension 0 hat. Um dies zu zeigen, werden wir zuerst eine Topologie auf C definieren. Danach werde ich die Topologie so modifizieren, dass sie für uns besser geeignet ist. Außerdem werde ich nun schon einige Ergebnisse verwenden, die ich im dritten Artikel im Kapitel zur Cantormenge beweisen werde.
Obwohl die Cantormenge total unzusammenhängend ist, ist ihre Teilraumtopologie bezüglich der reellen Zahlen nicht die diskrete Topologie.
fed-Code einblenden

Ich habe in diesem Kapitel zwei Begriffe einer topologischen Dimension definiert. Auch wenn sie im Allgemeinen nicht äquivalent sind, so sind sie es in separablen metrischen Räumen doch. Ein Beweis dafür wäre für den Artikel zu umfangreich und ich werde deshalb nur auf einen Beweis von Edgar [3, S. 97f.] verweisen, der einige Sätze verwendet, die früher in diesem Buch kommen.

3. Die Hausdorff Dimension


Bisher wurden nur Dimensionsbegriffe besprochen, die ganzzahige Werte annehmen. Dies wird sich nun ändern. Der im folgenden Kapitel diskutierte Dimensionsbegriffe, kann jeden positiven reellen Wert annehmen. Objekten der klassischen Geometrie wird in der Regel die natürliche Zahl als Dimension zugeordnet, die man erwartet, aber Fraktalen (ich werde im zweiten Artikel versuchen diesen Begriff zu definieren) können andere Werte zugeordnet werden, wenn man ihre Dimension berechnet.
Laut Falconer handelt es sich bei der Hausdorff Dimension um den historisch wichtigsten Begriff einer fraktalen Dimension. [4, vgl. S. 25]

3.1 Das Hausdorff Maß


fed-Code einblenden

3.2 Die Hausdorff Dimension


fed-Code einblenden

Mit Hilfe dieser Definition kann man die Hausdorff Dimenson bestimmen, allerdings ist es ohne Hilfe eines Computers fast unmöglich ein brauchbares Ergebnis zu erhalten. Für streng selbstähnliche Mengen F, die überabzählbar sind (abzählbare Mengen sind 0-dimensional) gibt es aber auch eine einfachere Methode, die Dimension zu berechnen.

fed-Code einblenden

4. Die Box Dimension



Einen weiteren Begriff einer fraktalen Dimension finden wir mit der Box Dimension, die manchmal auch Box-Zähl Dimension genannt wird. Allgemein lässt sich die Box Dimension leichter berechnen als die Hausdorff Dimension, sie birgt allerdings auch einige Probleme, da sie nicht auf einem Maß basiert ist.

4.1 Definition der Box Dimension


fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

4.2 Zusammenhänge zwischen Hausdorff Dimension und Box Dimension


Ich möchte nun einen Zusammenhang zwischen Hausdorff Dimension und der Box Dimension herstellen.
fed-Code einblenden
Diese Ungleichungen können strenge Ungleichungen sein, müssen es aber nicht. Wir werden am Ende des Kapitels Beispiele für beide Fälle sehen.

4.3 Probleme und Beispiele


Es mag zwar sein, dass man die Box Dimension einfach berechnen kann. Ihre Nutzung birgt allerdings auch einige Nachteile.

fed-Code einblenden
  1. Für die Cantor Menge gilt das folgende:

  2. fed-Code einblenden
  3. Es gilt folgendes:

  4. fed-Code einblenden
    fed-Code einblenden

    Abschluss


    Gewappnet mit diesen Grundlagen der Dimensionstheorie fällt es uns jetzt nicht schwer richtig einzusteigen. Im zweiten Artikel werde ich dann eine Möglichkeit vorstellen, Fraktale konkret zu konstruieren. Allein an der Verwendung des Wortes "konstruieren" sehen wir, dass die Fraktale, die wir zuerst kennen lernen werden und auf die ich mich in dieser Serie beschränken werde, falls ich nicht über den dritten Artikel hinaus gehen werde, kaum konkreten Bezug zu Natur oder Anwendung aufweisen, sondern mathematische Objekte bleiben.
    Fußnoten:
    1 Cantormenge bei Wikipedia

    Bibliographie


    [1] Tom M. Apostol. Calculus, volume I. Blaisdell Publishing Company, 1962.
    [2] Michael Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press, Inc., 1988.
    [3] Gerald A. Edgar. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer Verlag, 1990.
    [4] Kenneth Falconer. Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 1990.
    [5] Witold Hurewicz and Henry Wallman. Dimension theory. Princeton University Press, revised edition, 1948.
    [6] James R. Munkres. Topology a First course. Prentice-Hall, 1975.
    [7] C.W. Norman. Undergraduate Algebra - a First course. Oxford Science Publications, Oxford University Press, 1986.

    Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
    Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme
    Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
    \(\endgroup\)

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Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe [von huepfer]  
Dies soll der Beginn einer Artikelserie über fraktale Geometrie sein. Es wird sich dabei um eine topologische Einführung in das Thema handeln und soll die fraktale Geometrie vorstellen, wie ich sie auch schon in meinem Artikel über das Sierpinski-Dreieck angewandt habe. Zunächst sind drei Teile gep
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" Mathematik: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe" | 5 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von xycolon am Mo. 08. Oktober 2007 16:34:34

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hallo,

danke für einen artikel zu diesem thema. habe ihn nur kurz überflogen, da ich gerade keine zeit habe tiefer einzusteigen. werde ich aber nachholen, habe mich schon beim thread über den eiffelturm gefragt, was es mit fraktalen dimensionen auf sich hat

gruß, xycolon\(\endgroup\)

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Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von diluvian am Di. 09. Oktober 2007 01:15:27

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na da hoff ich mal, dass die weiteren artikel auch bald erscheinen smile\(\endgroup\)

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Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von Yves am Di. 09. Oktober 2007 03:10:35

\(\begingroup\)
Hi Felix

Ich habe eine Frage historischer Art: Was genau hat denn Euklid mit Vektorräumen zu tun? Sowohl der Begriff Vektorraum, als auch der Begriff Basis / Dimension von VRen wurden erst viel später eingeführt (ebenso Koordinatensysteme).
Wie kommst du also auf "Die Dimension eines Vektorraumes nach Euklid"?

Beste Grüße
Yves\(\endgroup\)

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Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von huepfer am Di. 09. Oktober 2007 09:11:25

\(\begingroup\)
Hallo Yves,

es ist richtig, dass die Begriffe des Vektorraumes, Basis, Dimension, etc. erst viel später (19. Jhdt.?) auftauchen. Nach dem, was ich zu dem Thema gelesen habe, sollen sie aber mehr oder weniger zwangsläufig aus der euklidischen Geometrie entstehen. Dies hat mich dazu bewogen, den Titel so zu wählen.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)

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Re: Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
von huepfer am So. 04. November 2007 21:11:51

\(\begingroup\)
Zur gesamten Artikelserie gibt es ein englisch-sprachiges PDF. Dieses ist unter dem dritten Artikel zu finden.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)

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