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Mathematik: Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme
Freigegeben von matroid am Mo. 15. Oktober 2007 07:56:56
Verfasst von huepfer -   2291 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)
Nachdem wir im ersten Artikel die topologischen Grundlagen gelegt haben, werden wir uns nun mit den iterierten Funktionensystemen beschäftigen. Wir werden diese Systeme definieren und einen Konvergenzbegriff für iterierte Funktionensysteme erarbeiten. Wir werden festellen, dass unter gewissen Umständen ein Grenzwert für solche Systeme existiert und dieser eindeutig bestimmt ist.

Inhalt


1. Definitionen
2. Fixpunktsätze und Attraktoren
3. Definition eines Fraktals?
Abschluss

1. Definitionen


Um richtig beginnen zu können benötigen wir zunächst eine Reihe von Definitionen, mit denen ich beginnen möchte.

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Wir unterscheiden die folgenden Fälle:
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2. Fixpunktsätze und Attraktoren


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Dieser Satz weist uns den Weg, den wir gehen wollen. Ich werde nun den Begriff eines "iterierten Funktionensystems" (IFS) definieren, wie dies in [2, S. 82] geschieht. Anschließend werde ich einen Konvergenzbegriff für diese IFS einführen, der uns zu den gesuchten Mengen, den Fraktalen, bringt.

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Dieses Lemma führt uns direkt zum zentralen Theorem des Artikels. Dies wird die Annahmen, die wir bisher getroffen haben, rechtfertigen. Der Beweis wird im wesentlichen dem Vorgehen aus [4, S. 119] folgen.
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3. Definition eines Fraktals?


Ich habe bisher verschiedene Dimensionsbegriffe eingeführt und Methoden diese zu berechnen. Ich habe auch beschrieben, wie man bestimmte Klassen von Mengen konstruieren kann. Aber ich habe bisher noch keine ordentliche Definition dafür gegeben, was man unter einem Fraktal versteht.

Der Grund dafür ist recht einfach aber für viele vielleicht überraschend, die bisher nur mit "gesetzten" Bereichen der Mathematik zu tun hatten. Es gibt nämlich nichtmal eine strenge Definition, die allgemein akzeptiert ist.

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Falconer hingegen vermeidet das Problem einer strikten Definition und nennt eine Reihe von Eigenschaften, die Mengen haben sollten um Fraktale genannt zu werden. Wenn wir von Fraktalen reden "denken wir üblicherweise an das folgende.

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Abschluss


Wir haben nun in zwei Artikeln die Grundlagen gelegt, um uns nun ganz konkret mit Fraktalen zu beschäftigen. Dies möchte ich in einem dritten und letzten Artikel tun.

Bibliographie


[1] Tom M. Apostol. Calculus, volume I. Blaisdell Publishing Company, 1962.
[2] Michael Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press, Inc., 1988.
[3] Gerald A. Edgar. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer Verlag, 1990.
[4] Kenneth Falconer. Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 1990.
[5] Witold Hurewicz and Henry Wallman. Dimension theory. Princeton University Press, revised edition, 1948.
[6] James R. Munkres. Topology a First course. Prentice-Hall, 1975.
[7] C.W. Norman. Undergraduate Algebra - a First course. Oxford Science Publications, Oxford University Press, 1986.

Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme
Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
\(\endgroup\)

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Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme [von huepfer]  
Nachdem wir im ersten Artikel die topologischen Grundlagen gelegt haben, werden wir uns nun mit den iterierten Funktionensystemen beschäftigen. Wir werden diese Systeme definieren und einen Konvergenzbegriff für iterierte Funktionensysteme erarbeiten. Wir werden festellen, dass unter gewissen Umstän
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" Mathematik: Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme" | 1 Kommentar
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme
von huepfer am So. 04. November 2007 21:10:24

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Zur gesamten Artikelserie gibt es ein englisch-sprachiges PDF. Dieses findet sich beim dritten Artikel.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)

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