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Mathematik: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
Freigegeben von matroid am Di. 23. Oktober 2007 13:03:56
Verfasst von huepfer -   3804 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)
Im dritten und letzten Teil meiner Reihe zur Fraktalen Geometrie möchte ich euch nun einige Beispiele präsentieren. Dabei werde ich beim ersten Beispiel immer wieder auf die entsprechenden Passagen der ersten beiden Artikel verweisen. Für die anderen Beispiele müsst ihr dann bei Bedarf eben selbst nachschlagen.

Inhalt


1. Die Cantor-Menge
2. Die Koch-Kurve
3. Das Sierpinski-Dreieck
4. Der Sierpinksi-Tetraeder
5. Sierpinski-Fraktale
Abschluss

1. Die Cantor-Menge



Bild


Hier sehen hier die ersten paar Iterationsschritte der Cantormenge C. Es gibt zwei äquivalente Konstruktionswege für die Cantormenge, die für uns beide nützlich sein werden.
fed-Code einblenden

2. Die Koch-Kurve



Bild


Das zweite Beispiel, das ich besprechen möchte, ist die sogenannte Koch-Kurve K. Sie wird oben dargestellt. Wie bei der Cantormenge möchte ich zwei Konstruktionsmöglichkeiten vorstellen. Die erste Methode ist dabei nützlicher um die Kurve von Hand zu zeichnen, während die zweite für Computerprogramme besser geeignet ist.

fed-Code einblenden

Bild

3. Das Sierpinski-Dreieck



Bild


Als drittes Fraktal betrachten wir nun das Sierpinski-Dreieck S. Es gehört zu einer größeren Gruppe von Fraktalen, die vom polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinski entdeckt wurden. Eine generelle Beschreibung der anderen "Sierpinski-Fraktale" werde ich am Ende des Artikels geben. Zunächst möchte ich allerdings zwei Konstruktionsmöglichkeiten für das Sierpinski-Dreieck vorstellen.

fed-Code einblenden

Da das Sierpinski-Dreieck als Fraktal vorgestellt wurde, sollte es auch eine Konstruktionsmöglichkeit mittels eines IFS geben um die "Definition" 3.1 (zweiter Artikel) zu erfüllen.

fed-Code einblenden

4. Der Sierpinski-Tetraeder


Bild


Das vierte und letzte Fraktal, das ich detailliert vorstellen werde, ist der Sierpinski-Tetraeder T. In gewisser Weise ist er anders als die übrigen Fraktale und einige würden ihn nichtmal als Fraktal akzeptieren. Wir werden den Grund dafür am Ende des Abschnitts herausfinden.

Wie die übrigen Objekte, kann man auch den Sierpnski-Tetraeder mit einem IFS konstruieren.

fed-Code einblenden

5. Sierpinski-Fraktale



Abschließend möchte ich noch ein paar weitere Fraktale einführen, die mit dem Namen Waclaw Sierpinski in Verbindung gebracht werden. Er entwickelte eine Methode, mit deren Hilfe man viele verschiedene Fraktale erzeugen kann. Für ein spezielles Fraktal dieser Gruppe ist es in der Regel nicht sehr schwer, ein geeignetes IFS anzugeben. Für die allgemeine Konstruktion ist es allerdings einfacher, selbige anders zu beschreiben.

fed-Code einblenden

Könnt ihr die Konstruktionsvorschriften für die folgenden Fraktale erkennen?
BildBildBild

Die ersten beiden Objekte sind Varianten des Sierpinski-Teppichs und das dritte Objekt eine Variante des Menger-Schwamms.

Abschluss



Ich hoffe, die drei Artikel haben euch einen guten Einblick in die Theorie der fraktalen Geometrie verschafft. Ob das ganze weiter gehen wird, weiß ich noch nicht. Vielleicht kommen dann aber auch noch praktische Anwendungen.

Bibliographie


[1] Tom M. Apostol. Calculus, volume I. Blaisdell Publishing Company, 1962.
[2] Michael Barnsley. Fractals Everywhere. Academic Press, Inc., 1988.
[3] Gerald A. Edgar. Measure, Topology, and Fractal Geometry. Springer Verlag, 1990.
[4] Kenneth Falconer. Fractal Geometry, Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons, 1990.
[5] Witold Hurewicz and Henry Wallman. Dimension theory. Princeton University Press, revised edition, 1948.
[6] James R. Munkres. Topology a First course. Prentice-Hall, 1975.
[7] C.W. Norman. Undergraduate Algebra - a First course. Oxford Science Publications, Oxford University Press, 1986.

Fraktale Geometrie: 1. Dimensionsbegriffe
Fraktale Geometrie: 2. Iterierte Funktionensysteme
Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
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: Mathematik :: Fraktale Geometrie :: Sonstige Mathematik :
Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale [von huepfer]  
Im dritten und letzten Teil meiner Reihe zur Fraktalen Geometrie möchte ich euch nun einige Beispiele präsentieren. Dabei werde ich beim ersten Beispiel immer wieder auf die entsprechenden Passagen der ersten beiden Artikel verweisen. Für die anderen Beispiele müsst ihr dann bei Bedarf eben selbst n
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" Mathematik: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale" | 4 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
von Spock am So. 28. Oktober 2007 13:26:33

\(\begingroup\)
Hallo Felix,

Du hast die Theorie sehr schön dargestellt, und Dir viel Mühe gemacht. Und ja, praktische Anwendungen wären nicht schlecht, wobei eine wirklich gute Theorie diese nicht braucht, also fühle Dich nicht verpflichtet, Teil 4 zu schreiben, smile

Eine mehr technische Frage: Könnte man aus Deinen drei fraktalen Teilen ein einziges Dokument z.B. im pdf Format machen, ich würde es als Ganzes auch nur für mich persönlich herunterladen wollen?

Juergen\(\endgroup\)

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Re: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
von huepfer am So. 28. Oktober 2007 14:34:12

\(\begingroup\)
Hallo Jürgen,

ich habe das Ganze in geringfügig anderer Ausführung auf englisch in einem Dokument. Wenn Du mir per PN Deine Email-Adresse gibst, kann ich Dir die schicken. Zum hochladen muss ich die allerdings noch etwas verändern.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)

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Re: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
von Bernhard am Di. 30. Oktober 2007 23:42:26

\(\begingroup\)
Hallo Felix!

Vielen Dank für Deine informative Artikelserie!
Es gibt noch eine dritte Möglichkeit, die Koch-Kurve zu beschreiben bzw. zu konstruieren. Diese ist insbesondere für die Randlinienfraktale gut geeignet:
Man stelle sich eine Wanderung (hier im Uhrzeigersinn) vor und die fraktalen Linienteile als Vektoren.
Dann würde die Anweisung für Koch etwa heißen:
1.)Nimm den Vektor V_1 mit 1/3 der Länge von Vektor V_0 aus der Vorrunde.
2.)Lege ihn einmal ausgehend von dessen Anfangspunkt direkt auf V_0.
3.)Lege ihn ein zweites Mal um 60° abgewinkelt an den Endpunkt.(Winkel alle im Gegenuhrzeigersinn angegeben)
4.)Lege ihn ein drittes Mal um 240° abgewinkelt an den Endpunkt.
5.)Lege ihn ein viertes Mal um 60° abgewinkelt an den Endpunkt.
60°+240°+60°=360°, d.h. wir sind wieder in der Ausgangsrichtung und beim Endpunkt des Vektors V_0.

Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)

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Re: Fraktale Geometrie: 3. Beispiele für Fraktale
von huepfer am Mi. 31. Oktober 2007 18:46:54

\(\begingroup\)
Hallo Bernhard,

danke für das Lob. Die Darstellung mit den Vektoren finde ich etwas umständlich. Das Problem besteht darin, wie Du nach dem ersten Iterationsschritt weiter machen möchtest. Außerdem kann dadurch leicht der falsche Eindruck entstehen, man könnte auch die Grenzkurve vektoriell auffassen und entlang von Vektoren abschreiten. Das geht allerdings natürlich nicht, da sie alle Länge 0 hätten.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)

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