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Mathematik: Algebraische Topologie 3
Freigegeben von matroid am Di. 26. Januar 2010 08:03:29
Verfasst von Gockel -   2302 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

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Algebraische Topologie 3 - Anwendungen der Homologie



Wir haben im letzten Artikel einen Satz von Axiomen für eine Homologietheorie eingeführt und mittels dieser Axiome bereits einen klassischen Satz bewiesen, der mit zu den allerersten Aussagen gehört, die mit Hilfe der algebraischen Topologie bewiesen wurden und mit zu ihrem großen Erfolg beigetragen haben: Der Satz von der Invarianz der Dimension.
Wir werden in diesem Artikel drei weitere solcher klassischen Sätze kennenlernen und beweisen: Den Fixpunktsatz von Brouwer, den Trennungssatz von Jordan und Brouwer sowie den Gebietsinvarianzsatz.


Inhalt



Reduzierte Homologien



Wir haben im letzten Artikel bereits festgestellt, dass das Dimensionsaxiom eine Art "Normalisierung" der Eilenberg-Steenrod-Axiome darstellt, von der aber eigentlich nicht viel abhängig ist.
Die so genannte reduzierte Homologie ist eine Abwandlung der Homologie, die in der Regel ohne Zuhilfenahme des Dimensionsaxioms schon sehr gut berechnet werden kann und so von der konkret gewählten "Normalisierung" unabhängig ist.

Definition: Reduzierte Homologie

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Die erste Frage ist natürlich, ob das Ganze überhaupt wohldefiniert ist, d.h. ob die Wahl von P eine Rolle spielt. Wir überlegen uns das gleich zusammen mit der Tatsache, dass die reduzierte Homologie funktoriell in X ist:
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Die reduzierte Homologie hat weitere nützliche Eigenschaften:

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Der Brouwer'sche Fixpunktsatz



Die erste Anwendung, die wir in diesem Artikel besprechen wollen, ist der Brouwer'sche Fixpunktsatz:

Brouwer'scher Fixpunktsatz, Version 1

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Wir werden für den Beweis folgende Aussage brauchen, die eine äquivalente Umformulierung des Fixpunktssatzes ist, sich aber einfacher beweisen lässt:
Brouwer'scher Fixpunktsatz, Version 2

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Kommen wir nun zum Beweis des Satzes. Die Eigenschaften einer Homologietheorie machen den Beweis der zweiten Version nun sehr einfach:
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Natürlich ist die Aussage des Satzes auch für jeden Raum richtig, der zu einem fed-Code einblenden homöomorph ist. Das trifft z.B. auf alle kompakten, konvexen Teilmengen von fed-Code einblenden zu. Damit hat man den ersten Schritt hin zu einer weitreichenden Verallgemeinerung des Brouwer'schen Fixpunktsatzes getan, dem so genannten Schauder'schen Fixpunktsatz.
Diesen habe ich (für den lokalkonvexen Fall, der fast schon der ganz allgemeine ist) bereits einmal im Artikel Lokalkonvexe Räume und Fixpunktsätze bewiesen. Damals habe ich den Brouwer'schen Fixpunktsatz noch ohne Beweis zitiert. Diesen Beweis haben wir nun eben geführt.

Der Jordan'sche Trennungssatz



Ein klassisches Beispiel für einen Satz, der anschaulich völlig klar, aber notorisch schwer zu beweisen ist, ist der so genannte Jordan'sche Kurvensatz:
Jordan'scher Kurvensatz

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Der Satz ist anschaulich derart einleuchtend, dass man unter Umständen vielleicht gar nicht auf die Idee kommt, ihn überhaupt beweisen. Man ist versucht, die Aussage ohne Weiteres Nachdenken als "klar" abzutun. Wer aber tatsächlich einmal versucht, einen ad-hoc-Beweis zu finden, wird feststellen, dass der Satz in dieser Hinsicht besonders hartnäckig ist.
Dass es genau eine unbeschränkte Komponente gibt, ist noch mit etwas topologischem Grundwissen zu erledigen. Der Haken liegt bei (a) und (b). Dass es genau zwei Komponenten gibt, ist alles andere als trivial, obwohl geometrisch völlig einleuchtend. Es ist nicht einmal ohne Weiteres einzusehen, dass es überhaupt mehr als eine Komponente gibt, dass die Kurve die Ebene also tatsächlich zerlegt.
Daher fällt eine Definition, was ein "innerer Punkt" einer Kurve ist, oftmals auch so schwer. Man kann zwar für spezielle Kurven (etwa für stückweise lineare oder einmal stetig diffbare) schnell einfache Definitionen hinschreiben und die Aussage dann auch elementar beweisen, der allgemeine Fall erweist sich aber als erstaunlich widerspenstig.

Der Satz von Schönflies wartet noch mit einer zusätzlichen Gemeinheit auf: Während die Aussagen (a), (b), (c) bei geeigneter Formulierung eins zu eins in n-dimensionale übertragbar sind, ist (d) eine Eigenheit der reellen Ebene. Die so genannte Alexander'sche Sphäre liefert ein Gegenbeispiel im Dreidimensionalen.

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Jordan-Brouwer Trennungssatz

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Diesen Satz wollen wir nun beweisen. Dazu brauchen wir etwas Vorarbeit.

Eigenschaften der Homologie



Im Gegensatz zu den bisher bewiesenen Sätze kommen wir beim Beweis des Trennungssatzes von Jordan-Brouwer nicht mehr ausschließlich mit den Eilenberg-Steenrod Axiomen aus. Wir werden ein zusätzliches Axiom brauchen, das Axiom vom kompakten Träger, und eine weitere Aussage, die nicht als Axiom zählt. Beides wird von der singulären Homologie mit Leichtigkeit erfüllt, wie wir im nächsten Artikel sehen werden. Andere Homologietheorien erfüllen diese beiden Eigenschaften jedoch u.U. nicht.

Das Axiom vom kompakten Träger wird von den meisten Autoren nicht als Eilenberg-Steenrod-Axiomen aufgelistet (obwohl es bei Eilenberg selbst dazugezählt wird).
Es kommt wie auch das Homotopie- und das Ausschneidungsaxiom in zwei äquivalenten Varianten daher, von denen die erste einfacher zu beweisen und die zweite angenehmer zu benutzen ist:
Axiom vom kompakten Träger

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Eine nützliche Anwendung des Axioms, die wir im folgenden auch benutzen werden, ist folgendes Lemma:
Lemma

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Als zweites werden wir folgende Spezialität der singulären Homologie benötigen, die sich aus der Konstruktion der singulären Homologie ohne Aufwand ergeben wird. Der Beweis wird trotzdem auf den nächsten Artikel verschoben, um dann die Definition und die wichtigsten Eigenschaften der singulären Homologie auf einen Streich zu behandeln.
Wegzusammenhangskomponenten in der singulären Homologie

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Dieser Satz ist tatsächlich eine Spezialität der singulären Homologie. Die Čech-(Ko)Homologie besitzt z.B. die analoge Eigenschaft für Zusammenhangskomponenten. Wenn man einen Raum betrachtet, in dem die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten größer als die der Zusammenhangskomponenten ist (z.B. die Sinuskurve des Topologen), dann liefern die singuläre und die Čech-(Ko)Homologie unterschiedliche Gruppen.

Was man aber aus den Axiomen folgern kann, ist folgende Abschwächung des Satzes:
Lemma: Zahl der Zusammenhangskomponenten

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Auf die Bedingung, dass R ein Körper sein muss, könnte man auch verzichten, wenn man vorsichtig mit dem Dimensionsbegriff umgeht. Das ist aber hier nicht weiter von Bedeutung.

Beweis des Trennungssatzes



Schreiten wir voran zum Beweis des Trennungssatzes. Dafür werden wir in drei Schritten vorgehen:

Schritt 1: Azyklische Komplemente

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Schritt 2: Kugeln in Sphären

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Schritt 3: Sphären in Sphären

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Nun können wir den Trennungssatz in voller Allgemeinheit beweisen:

Jordan-Brouwer Trennungssatz

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Invarianz des Gebiets



Mit Hilfe des Trennungssatzes von Jordan und Brouwer ist es nun einfach, folgenden klassischen Satz zu beweisen:
Invarianz des Gebiets

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Abschluss



Die drei hier vorgestellten, klassischen Sätze demonstrieren die Macht, die in den Methoden der algebraischen Topologie steckt. Wir konnten (fast) ausschließlich aus den Axiomen sehr tiefliegende Sätze folgern, die weitreichende Konsequenzen haben.
Man könnte damit noch eine ganze Weile fortfahren und weitere wichtige Konzepte einführen und Sätze beweisen. Beispielsweise kann man den Abbildungsgrad diverser stetiger Abbildungen aus den bisherigen Betrachtungen heraus definieren und alleine mit den Axiomen bereits umfassende Berechnungen durchführen. Die Anwendungen des Abbildungsgrades beispielweise in der Fixpunkttheorie oder in der Theorie der Differentialgleichungen sind äußerst vielfältig. Innerhalb der Topologie könnte man damit auch den Satz von Borsuk-Ulam beweisen, der ebenfalls vielfältige Anwendungen in einer ganzen Reihe von mathematischen Disziplinen hat.

Der nächste Schritt in dieser Artikelserie wird jedoch sein, die Lücken in den bisherigen Beweisen auszufüllen, indem wir endlich eine konkrete Homologietheorie konstruieren und zumindest skizzenhaft nachweisen, dass sie die Axiome und Sätze erfüllt, die wir bisher benutzt haben.

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Die Reihe "Algebraische Topologie"



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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Algebraische Topologie :: Homologie und Kohomologie :: Fixpunkte :: Topologie :: Reine Mathematik :
Algebraische Topologie 3 [von Gockel]  
Der dritte Teil der Reihe beweist mit Mitteln der algebraischen Topologie den Brouwerschen Fixpunktsatz, den Jordanschen Kurvensatz und den Satz von der Invarianz des Gebiets.
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" Mathematik: Algebraische Topologie 3" | 2 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Algebraische Topologie 3
von Martin_Infinite am Fr. 29. Januar 2010 01:11:51

\(\begingroup\)
gut geschrieben.\(\endgroup\)

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Re: Algebraische Topologie 3
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 12. Juni 2013 17:10:32

\(\begingroup\)
Toller Artikel!\(\endgroup\)

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