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Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Freigegeben von matroid am Sa. 06. März 2010 00:35:51
Verfasst von Florian -   15413 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik


Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?

Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung besitzt. Wir werden uns Schritt für Schritt an eine Antwort heranarbeiten und diese beweisen. Das Schwierigste dabei ist es, zu zeigen, dass eine Primzahl der Form 4k+1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

 Für diesen schwierigen Teil werden wir drei Beweise kennenlernen. Den ersten veröffentlichten Beweis von Euler, den kürzesten Beweis von Zagier und den meiner Meinung nach einfachsten Beweis von Thue. Thues Beweis ist auch recht kurz, verwendet aber im Gegensatz zu Zagiers Beweis noch einen Hilfssatz. Wir werden weiters auch einen kurzen Blick auf die Geschichte dieses Satzes und seiner Beweisideen werfen.

 Der Artikel ist für interessierte Schüler und Studienanfänger gedacht. Wir benutzen  nur elementare Mathematik der ersten beiden Semester. Unser Hauptaugenmerk liegt darauf, wie ein und dasselbe Resultat mit unterschiedlichsten Methoden bewiesen werden kann. Dazu haben wir uns den Beweis des oben genannten Satzes ausgesucht, welchen Hardy als "eines der schönsten Resultate der Zahlentheorie" bezeichnet hat.

Viel Vergnügen.



Erste Schritte


 Da sich die weitere Arbeit mit der Darstellung von natürlichen Zahlen als Summe zweier Quadrate beschäftigen wird, definieren wir:

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Wir beginnen unsere Untersuchung mit einem Satz, der bereits dem indischen Mathematiker Brahmagupta (598-668) bekannt war und der in Europa erstmals von Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, veröffentlicht wurde.

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Anstatt die Determinanten zu benutzen, kann man auch beide Seiten ausmultiplizieren. Aufgrund von Satz 2 ist es naheliegend, sich bei der Untersuchung der Darstellbarkeit auf Primzahlen zu beschränken, da wir jede Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben können. Die Zahl 2=1²+1² ist selbstverständlich darstellbar. Alle anderen Primzahlen sind entweder von der Form 4k+1 oder von der Form 4k+3. Für die Primzahlen der Form 4k+3 gilt:
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Zwei Beweise eines wichtigen Hilfssatzes


Nun beweisen wir ein etwas technisches Lemma, das wir später benötigen werden. Dank dieses Lemmas können wir die Beweise später sehr einfach halten und auf die Benutzung des Legendre-Symbols verzichten.

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Für die entscheidende Stelle von Lemma 4 werden wir einen zweiten Beweis betrachten. Er verwendet die Tatsache, dass ein Polynom n-ten Grades maximal n Nullstellen  besitzt.
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Und nun kommen wir bereits zum Höhepunkt der Arbeit.


Primzahlen der Form 4k+1, die entscheidende Stelle des Beweises


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Diesen Satz formulierte Pierre de Fermat am 25. Dezember 1640 in einem Brief an Marin Mersenne. Daher ist der Satz im englischen Sprachraum auch als "Fermat's Christmas Theorem" bekannt. Albert Girard (1595-1632) kannte den Satz einige Jahre früher, aber Fermat scheint ihn unabhängig von Girard gefunden zu haben. In dem Brief schreibt Fermat, dass er einen Beweis besitzt (ohne die Eindeutigkeit der Darstellung zu erwähnen), doch dieser Beweis ist, wie fast alle Beweise von Fermat, nicht erhalten.

Der erste publizierte Beweis stammt von Euler aus dem Jahre 1754. Euler meinte, dass ihm der Beweis einige Mühe bereitet habe.  Am 6. Mai 1747 teilt er den Beweis in einem Brief Christian Goldbach mit. Euler benutzt (wie es auch Fermat gemacht haben dürfte) die Methode des unendlichen Abstieges und an einer Stelle den kleinen Satz von Fermat. Euler beweist auch, dass die Darstellung im Wesentlichen eindeutig ist.

Lagrange bewies den Satz 5 im Jahre 1770 unter der Verwendung quadratischer Formen. Von Richard Dedekind stammen mindestens zwei weitere Beweise des Satzes (1877 und 1894), mit Hilfe der ganzen Gauß'schen Zahlen. Beim Studium der ganzen Gauß'schen Zahlen stellt sich die Frage in natürlicher Weise, da die Norm jeder ganzen Gauß'schen Zahl eine Summe von zwei Quadraten ist. Ein weiter Beweis benutzt den Gitterpunktesatz von Minkowski.

Bisher waren alle erwähnten Beweise reine Existenzbeweise. Es gibt jedoch einige konstruktive Beweise mit Hilfe von Kettenbrüchen. Diese führen zu einem Algorithmus, der eine konkrete Darstellung von p als Summe zweier Quadrate liefert (siehe[8]).


Der Beweis von Euler

Als ersten wollen wir uns Beweis von Euler ansehen. Er findet sich in [3]. Euler beweist Satz 5 in vier Schritten:

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Der Beweis von Thue


 Unser zweiter Beweis von Satz 5 beruht im Wesentlichen auf einer geschickten Verwendung des Schubfachprinzips. Die Idee stammt von dem norwegischen Zahlentheoretiker Axel Thue. Der Beweis findet sich in [1].

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Der Beweis von Zagier


Der dritte Beweis wurde von Roger Heath-Brown 1971 entdeckt und 1984 veröffentlicht[6]. Don Zagier vom Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn komprimierte den Beweis und veröffentlichte eine aus nur einem Satz bestehende Version (siehe [9]). Der Beweis besteht aus drei überraschend zusammenwirkenden Involutionen. Eine Involution ist eine selbstinverse Abbildung. Wir werden zwei Versionen des Beweises betrachten, einmal die originale 1-Satz-Version und dann eine ausführlichere, leichter verständliche, welche sich an [1] orientiert.
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Beweis des Zwei-Quadrate-Satzes


Nun benötigen wir nur mehr zwei kleine Lemmata, um den Zwei-Quadrate-Satz beweisen zu können.

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Nun haben wir nun alle Bausteine beisammen und können den eigentlichen Zwei-Quadrate-Satz beweisen.

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Über Primzahlen der Form 4k+1 bzw. 4k+3


 Nachdem wir uns nun ständig mit Primzahlen der Form 4k+3 bzw. der Form 4k+1 beschäftigt haben, wollen wir noch zwei kleine Sätze über diese Primzahlen zeigen. Für den zweiten Satz benötigen wir das vorher erworbene Wissen aus Satz 8.

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Die wesentlich verschiedenen Darstellungen einer Zahl als Summe von zwei Quadraten


In Satz 9 haben wir gezeigt, welche Zahlen sich darstellen lassen. Im weiteren stellt sich die Frage, wie viele Darstellungen eine Zahl besitzt. Diese Frage wird von Satz 13 beantwortet.

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Wir sehen, dass Satz 13 eine weit stärkere Aussage als der Zwei-Quadrate-Satz ist. Der Satz wurde erstmals von Jacobi (1829) in "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" bewiesen. Dort führt Jacobi die Thetafunktionen ein, um elliptische Funktionen zu definieren. Mittels dieser beweist er eine ganze Reihe
zahlentheoretischer Sätze, unter anderem Satz 13. Da der Beweis den Rahmen dieses Artikels sprengen würde, sei auf [4] verwiesen. Ein Satz, der zu Satz 13 äquivalent ist, wurde allerdings auch schon 1801 von Carl Friedrich Gauß in seinen "Disquisitiones Arithmeticae" mittels quadratischer Formen bewiesen. Die Eindeutigkeit der Darstellung ein Primzahl der Form 4k+1 folgt aus Satz 13, lässt sich aber auch einfach direkt zeigen (über Gauß'sche Primzahlen).

Wir wollen zum Abschluss dieses Artikels noch einmal den Bogen zu Euler spannen, von dem unser erster Beweis von Satz 5 stammt. Von ihm stammt auch dieser Beweis dafür, daß eine Primzahl der Form 4k+1 im Wesentlichen nur eine Darstellung besitzt.
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Anhang



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-4³   -3³   -2³   -1³    0³    1³    2³    3³    4³    5³    6³    7³
-64   -27    -8    -1     0      1     8     9    64   125   216   343
     37    19     7     1      1     7    19    37    61    91   127
        18    12     6     0     6    12    18    24    30    36
             6     6     6     6     6     6      6      6     6

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Quellen



[1] M. Aigner, G. M. Ziegler: "Proofs from THE BOOK", Springer, 3. Aufl., 2004.

[2] P. Bundschuh: "Einführung in die Zahlentheorie", Springer, 3. Aufl., 1996.

[3] H. M. Edwards: "Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory", Springer, 5. Aufl., 2000.

[4] E. Grosswald, "Representations of integers as sums of squares", Springer, 1985.

[5] G. H. Hardy, E. M. Wright: "An introduction to the theory of numbers",
Clarendon Press, 5. Aufl., 1988.

[6] D. R. Heath-Brown, "Fermat's two squares theorem", Invariant 11, 1984, S. 3-5

[7] H. Scheid, "Zahlentheorie", Spektrum Akad. Verl., 3. Aufl., 2003.

[8] S. Wagon, "Editor's corner: The euklidean algorithm strikes again", Amer. Math. Monthly 97, 1990, S. 125-129.

[9] D. Zagier, "A one sentence proof that every prime p==1 (mod 4) is a sum of two squares", Amer. Math. Monthly 97, 1990, S. 144.



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Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat [von Florian]  
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" Stern Mathematik: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat" | 7 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
von Wally am Sa. 06. März 2010 11:57:06


Hallo Florian,

die Idee und der Aufbau des Artikels gefallen mir ausgezeichnet.

Viele Grüße

Wally

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Re: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
von ZetaX am Sa. 06. März 2010 13:12:30


Schade, dass du den Ansatz über den gaußchen Zahlring IZ[i] komplett aussparst. Fast alle Beweise und Eigenschaften lassen sich dort sehr elegant formulieren und beweisen, z.B. ist die genannte Darstellungsanzahlformel im Grunde nichts anderes als die Teilerfunktion in IZ[i]. Dieser Ansatz ist es auch, der sich am weitesten verallgemeinern lässt, z.B. um Zahlen der Form x²+ny² sowie die Anzahl dieser Darstellungen zu klassifizieren.

Zum Beweis von Thue sei noch gesagt, dass es eine Adaption des euklidischen Algorithmuses gibt, welche sehr effizient diese x,y berechnet (hast du eigentlich vergessen, |x|,|y| < sqrt(p) zu erwähnen, oder möchtest du diesen Gedankenschritt dem Leser überlassen¿).

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Re: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
von Kay_S am So. 07. März 2010 13:18:23


Ich habe mal den Algorithmus zur Berechnung der Quadrate herausgesucht. Er funktioniert iterativ:

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Re: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
von kostja am Mo. 08. März 2010 22:36:16


Danke sehr für den Artikel. War für mich ZT-Laien sehr angenehm zu lesen. smile

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Re: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 13. Juni 2011 14:19:42


Satz 13 ist meines Erachtens falsch in dieser Variante!, denn
d_1(4)=1, d_3(4)=0 --> r_2(4)=1/2 ?!

Im Unterschied zu der Originalverfassung in [4] wurde wohl hier durch den Faktor 8 geteilt mit dem Ziel so alle "im Wesentlich gleichen" Darstellungen zu eliminieren:
a) Faktor 2 für die Reihenfolge: es ist (x,y)=(y,x)
b) Faktor 4 für: (x,y)=(x,-y)=(-x,y)=(-x,-y)
Der Teil b) ist jedoch i.A. nicht immer durchführbar, denn der Fall x=0 oder y=0 wurde nicht berücksichtigt.

Grüße Mirko

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Re: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
von Martin_Infinite am Mo. 08. September 2014 04:44:57


Ich finde, der schönste Beweis von Satz 5 geht über den Ring <math>\mathds{Z}[i]</math> der Gaußschen Zahlen: Sei <math>p</math> eine Primzahl mit <math>p \equiv 1 \bmod 4</math>. Dann ist <math>x^2+1 \in \mathds{F}_p[x]</math> reduzibel (Lemma 4), d.h. <math>\mathds{Z}[i]/(p) \cong \mathds{F}_p[x]/(x^2+1)</math> ist kein Integritätsring, d.h. <math>p \in \mathds{Z}[i]</math> ist nicht prim und damit reduzibel (hier geht ein, dass <math>\mathds{Z}[i]</math> faktoriell ist). Folglich zerlegt sich <math>p=\alpha \beta</math> mit Nicht-Einheiten <math>\alpha,\beta \in \mathds{Z}[i]</math>. Es folgt <math>p^2=|\alpha|^2 |\beta|^2</math> mit <math>|\alpha|,|\beta|>1</math> und damit <math>p=|\alpha|^2=|\beta|^2</math>. Also ist <math>p</math> darstellbar.

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Re: Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
von Caldo am Di. 29. Dezember 2015 10:36:32


Hi,
Beweis von Lemma 7 benutzt am Ende das Lemma 6, aber wie? Die Behauptung in Lemma 6 ist ja nicht was genutzt wird oder?

<math>\frac n{p^2}=\frac{a^2+b^2}{p^2}=\left(\frac ap\right)^2+\left(\frac bp\right)^2</math>

Zeigt die Darstellbarkeit von <math>\frac n{p^2}</math> ohne Lemma 6.

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