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Stern Mathematik: Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4)
Freigegeben von matroid am Fr. 17. Dezember 2010 13:09:50
Verfasst von mathema -   2814 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Analysis

\(\begingroup\)
Von der weitreichenden Bedeutung der Zeta-Funktion für die Funktionen- und Zahlentheorie und der Riemannschen Vermutung handelt dieser Beitrag nicht. Er zeigt nur eine einfache Berechnung zweier Werte. Diese Ergebnisse fallen typischerweise in der klassischen Analysis-Vorlesung als Resultate bei der Betrachtung der Fourierreihen ab. Hier wird ein anderer Zugang gewählt.

Die Zeta-Funktion sei definiert durch

fed-Code einblenden

Die Konvergenz dieser Reihe für reelle z>1 folgt aus dem Integralkriterium für Reihen. (Auf dem MP stehen gute Artikel über die Zeta-Funktion und die Riemannsche Vermutung für Interessierte bereit!)

Es werden die Werte   fed-Code einblenden und fed-Code einblenden berechnet!

Der erste Beweis der unten aufgeführten Beweise stammt von E. Calabi, der zweite geht auf die Theorie der Eisensteinschen Formen zurück und stammt von Don Zagier. Ohne die genannte Theorie käme man im zweiten Beweis wohl nicht auf die wesentliche Idee, mit dieser Theorie aber kann man dieses Verfahren (mit wachsendem Aufwand) auch für fed-Code einblenden , fed-Code einblenden , ... fortsetzen.



fed-Code einblenden
Zunächst also die einfache Herleitung von
fed-Code einblenden
Wegen der absoluten Konvergenz aller beteiligten Reihen ist
fed-Code einblenden
Damit folgt:
fed-Code einblenden
Um nun diese letzte Reihe auszuwerten, bedienen wir uns der Integralrechnung und benutzen
fed-Code einblenden
Damit schreiben wir
fed-Code einblenden
Soweit ist alles recht trivial. ... Mit diversen Argumentationen (z.B. dem Satz über die monotone Konvergenz) können wir die Summation mit den Integrationen vertauschen und erhalten durch Anwendung der geometrischen Reihe
fed-Code einblenden
nun

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Die Auswertung dieses Integrals geschieht am leichtesten durch eine geschickte Substitution der Variablen:

fed-Code einblenden

Man rechnet leicht nach, dass

fed-Code einblenden

eine Bijektion ist.

fed-Code einblenden

Somit ist

fed-Code einblenden

Dies ergibt dann
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden :
fed-Code einblenden
nachzuweisen, ist nur zu zeigen, dass
fed-Code einblenden

Es ist erstaunlich, dass sich dies sehr einfach nachrechnen lässt. Es geschieht durch einen Ansatz, auf den man wohl nur mithilfe der höheren Zahlentheorie - der Theorie der Modulformen - kommt:

fed-Code einblenden

Dann folgt durch elementares Nachrechnen, dass für alle natürlichen Zahlen m und n gilt:

fed-Code einblenden

Damit folgt:

fed-Code einblenden

Nach der Definition von f gilt für den ersten Term dieser Gleichungskette

fed-Code einblenden

und für den letzten Term

fed-Code einblenden

Damit folgt:

fed-Code einblenden

Also:

fed-Code einblenden

\(\endgroup\)

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: Analysis :: Zeta-Funktion :: Zahlentheorie :: Grenzwerte :: Folgen und Reihen :
Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4) [von mathema]  
Von der weitreichenden Bedeutung der Zeta-Funktion für die Funktionen- und Zahlentheorie und der Riemannschen Vermutung handelt dieser Beitrag nicht. Er zeigt nur eine einfache Berechnung zweier Werte. Diese Ergebnisse fallen typischerweise in der klassischen Analysis-Vorlesung als Resultate bei der
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" Stern Mathematik: Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4)" | 4 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4)
von Hannes80 am Fr. 17. Dezember 2010 19:40:38

\(\begingroup\)
fed-Code einblenden
\(\endgroup\)

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Re: Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4)
von stefan69 am Sa. 18. Dezember 2010 12:32:24

\(\begingroup\)
Sehr schoener Artikel. Danke!\(\endgroup\)

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Re: Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4)
von muffinmaster23 am Mo. 06. August 2012 12:00:32

\(\begingroup\)
Besteht evtl. Interesse daran hier noch andere Lösungsansätze zu zeigen?
Ich habe dieses Thema im Proseminar behandelt und wäre gerne bereit die Ergebnisse zur Verfügung zu stellen.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4)
von Martin_Infinite am Mo. 06. August 2012 12:06:35

\(\begingroup\)
@muffinmaster23: Du kannst zum Beispiel einen neuen Artikel schreiben :).\(\endgroup\)

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