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Mathematik: Einfache Gruppen - PSU
Freigegeben von matroid am Di. 12. Februar 2013 08:32:33
Verfasst von Gockel -   791 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

Einfache Gruppen - PSU



Nachdem im letzten Teil die symplektischen Gruppen besprochen wurden, wollen wir uns in diesem Teil der Reihe mit den unitären Gruppen beschäftigen, die als Isotropiegruppen von nichtentarteten hermiteschen Formen auftreten. Dabei werden wir uns zwar wie immer möglichst allgemein halten, jedoch nur die Resultate entwickeln, die wir tatsächlich für die Untersuchung endlicher, einfacher Gruppen benötigen. Das heißt u.A., dass wir die üblichen unitären Gruppen (d.h. die zum Standardskalarprodukt assoziierten Gruppen <math>U_n(\mathbb{C})</math> ausklammern werden.
Es wird jedoch später einen Artikel geben, in dem die Betrachtung dieser sehr wichtigen Gruppen zusammen mit der Untersuchung von <math>O_n(\mathbb{R})</math> nachgeholt werden wird.


Inhalt


Das Vorgehen



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Erinnerung: Klassifikation der unitären Geometrien



Wie auch bei den symplektischen Gruppen erinnern wir zunächst an die Ergebnisse, die wir in den Artikeln über Sesquilinearformen erhalten haben:

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Wir wollen die Bezeichnungen festhalten:
Definition: Schreibweisen

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Im dritten Artikel über Sesquilinearformen haben wir Ordnungsformeln bewiesen. Wir schauen jetzt genauer hin und erhalten:
Satz 1: Gruppenordnungen

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Die Operation auf dem projektiven Raum



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Sehen wir uns genauer an, wie SU(V) auf den isotropen Punkten des projektiven Raums operiert.

Lemma 2: Primitivität der Operation

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Damit haben wir diesen Teil schon erledigt.

Unitäre Transvektion I



Schon zweimal haben uns die Transvektionen gute Dienste als Erzeuger von klassischen Gruppen gedient und die Überlegungen zu zweidimensionalen unitären Räumen legen nahe, dass das auch dieses Mal klappen wird. Werfen wir also einen genaueren Blick auf die Transvektionen in U(V).

Lemma/Definition: Unitäre Transvektionene

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Dieser Satz liefert uns eine Motivation, vorauszusetzen, dass der Witt-Rang der Form mindestens Eins ist, denn sonst gäbe es keine isotropen Vektoren und damit auch keine unitären Transvektionen.

Definition

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Lemma

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Zweidimensionale unitäre Räume



Genau wie bei Sp(V) stellen wir fest, dass SU(V) in sehr kleinen Dimensionen zu einer speziellen linearen Gruppe isomorph ist:

Lemma 4: SU und SL

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Dreidimensionale unitäre Räume



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Satz 5: Dreidimensionale unitäre Räume

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Unitäre Transvektionen II



Ziel dieses Abschnittes ist es, zu zeigen, dass SU(V) von Transvektionen erzeugt wird (außer in einem Ausnahmefall). Dazu verwenden wir ein Transitivitätsargument, das dieselbe Grundidee hat wie der analoge Beweis für Sp(V). Wir zeigen, dass die von den Transvektionen erzeugte Untergruppe transitiv auf einer bestimmten Klasse von Vektoren operiert. Bei Sp(V) war das die Aussage, dass auf den hyperbolischen Paaren transitiv operiert wird. Hier werden wir zeigen, dass auf den anisotropen Vektoren transitiv operiert wird:

Satz 6: Transitivität

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Dazu beweisen wir nun dieses Lemma:

Lemma 7: Ein Spezialfall

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Nun zu der Aussage, die wir eigentlich zeigen wollen:

Satz 8: SU(V) wird von Transvektionen erzeugt

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Das große Finale



Jetzt haben wir alle Zutaten für Iwasawas Lemma beisammen außer der Perfektheit. Das werden wir in diesem Abschnitt beweisen.

Satz 9: Perfektheit von SU(V)

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Damit haben wir endlich alle Aussagen zusammen, die wir brauchen:

Satz 10: Einfachheit von PSU(V)

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Die Ausnahmen



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Satz 11: PSU(3,4)

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Satz 12: Transvektionen in SU(3,4)

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Abschluss



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Wir haben uns jetzt mit dem Beweis für PSU schon deutlich schwerer getan als im letzten Artikel über PSp. Im nächsten Artikel werden die orthogonalen Geometrien betrachten und feststellen, dass es in diesem Fall sogar noch eine Stufe verzwickter ist.

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Die Reihe "Einfache Gruppen"



Inhaltsverzeichnis
Vorheriger Teil der Reihe: PSp
Nächster Teil der Reihe: PΩ


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