Die Mathe-Redaktion - 26.05.2018 12:14 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Juli
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 575 Gäste und 28 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Einfache Gruppen - Ergänzungen zu unitären und orthogonalen Gruppen
Freigegeben von matroid am Sa. 22. Februar 2014 10:47:47
Verfasst von Gockel -   687 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

Einfache Gruppen - Ergänzungen zu unitären und orthogonalen Gruppen



Wir haben in den letzten beiden Artikeln bereits unitäre und orthogonale Gruppen untersucht. Dabei haben wir immer vorausgesetzt, dass der Wittindex der jeweiligen Geometrie ungleich 0 ist, d.h. dass isotrope Vektoren existieren. Mit Hinblick auf die endlichen Gruppen ist die gerechtfertigt, da die orthogonalen und unitären Geometrien über endlichen Körpern fast immer isotrop sind.

Orthogonale und unitäre Gruppen und ihre zugrundeliegenden Geometrien verhalten sich grundlegend anders, wenn man diese Forderung fallen lässt. Die Struktur der Gruppen hängt im Allgemeinen viel stärker von den konkreten Eigenschaften des Grundkörpers ab, sodass die allgemeine Untersuchung orthogonaler Gruppen sich viel komplizierter gestaltet.

Dieser Artikel soll die reellen orthogonalen Gruppen und die komplexen unitären Gruppen beleuchten, die die motivierende Beispiele für das ganze Konzept der orthogonalen und unitären Gruppen sind. Für diese Gruppen lässt sich noch sehr viel unserer bisherigen Beweisstrategien retten und sehr ähnliche Resultate beweisen. Wir werden aber auch sehen, dass schon leichte Änderungen des Körpers die Struktur der Gruppen grundlegend ändern.

Zusätzlich werden wir einige Punkte nachholen, die wir in den letzten beiden Artikel ausgelassen haben.


Inhalt


Unitäre Gruppen über unendlichen Körpern



fed-Code einblenden

Die Operation der Transvektionen auf anisotropen Vektoren



fed-Code einblenden

Wir wollen also beweisen:
Satz 1

fed-Code einblenden

Bereits bewiesen haben wir zwei Spezialfälle:
(a) V ist eine hyperbolische Ebene und
(b) K ist endlich.
Beide Beweise befinden sich im Artikel über unitäre Gruppen. Jetzt wollen wir den Beweis um den Fall großer Körper vervollständigen.


Wir fassen kurz zusammen, was wir dazu brauchen:
Lemma: Grundlegende Eigenschaften von Spur und Norm

fed-Code einblenden



Ebenfalls werden wir mit orthogonalen Projektionen arbeiten:
Lemma/Definition: Orthogonale Projektion

fed-Code einblenden

Der Beweis hierfür ist im Wesentlichen reine Rechnerei, ich lasse das daher weg. Einiges davon habe ich schon in den anderen Artikeln vorgerechnet.


Kommen wir also zum Beweis von Satz 1 im letzten Fall:
Satz 1

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


Da dies das einzige Hindernis war, den Beweis aus dem Artikel über unitäre Gruppen allgemein anzuwenden, haben wir nun automatisch auch Folgendes bewiesen:
Satz: Einfachheit von PSU(V)

fed-Code einblenden



Einfachheit von <math>PSU_n(\mathbb{C})</math> und <math>PSO_n(\mathbb{R})</math>



Wir wollen als nächstes beweisen, dass die Gruppen des reellen und komplexen Standardskalarprodukts auch einfache Gruppen liefern, wie wir uns das wünschen, obwohl die Standardgeometrien nicht unsere bisherige Generalvoraussetzung erfüllen, dass isotrope, von Null verschiedene Vektoren existieren.
Dazu wenden wir, wie nicht anders zu erwarten, erneut das Lemma von Iwasawa an. Für PSU und PSO in ungeraden Dimensionen wird relativ straight-forward sein (zumindest verglichen mit dem Aufwand und den schmutzigen Tricks, die im Beweis für die endlichen orthogonalen Gruppen steckte).
Orthogonale Gruppen in geraden Dimensionen verhalten sich jedoch ganz anders als in ungeraden. Daher werden wir für PSO in geraden Dimensionen einen zusätzlichen Kniff brauchen. Hier werden zum zweiten Mal die Sätze über reguläre Normalteiler aus dem Artikel über alternierende Gruppen angewandt.

fed-Code einblenden

Ein Trick


Wir werden die nachfolgenden Beweise zudem mit einem Trick einfacher gestalten:
fed-Code einblenden

Tori



Wir schauen uns zunächst die abelschen Untergruppen der unitären und orthogonalen Gruppen an. Es stellt sich heraus, dass man diese Untergruppen vollständig klassifizieren kann.

Satz: Konjugieren mit unitären Matrizen

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


Einen ähnlichen Satz gibt es über orthogonale Matrizen:
Konjugieren mit orthogonalen Matrizen

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


fed-Code einblenden

Operation auf dem projektiven Raum




Der nächste Schritt ist die Operation auf dem projektiven Raum genauer anzusehen:
Satz: Operation auf dem projektiven Raum

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


Es wurde je bereits angekündigt, dass der Beweis für die orthogonalen Gruppen in zwei ganz verschiedene Fälle zerfallen wird, je nachdem, ob die Dimension gerade oder ungerade ist. Für die geraden Dimensionen brauchen wir folgende Aussage:

Reguläre Normalteiler

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden



Perfektheit und Einfachheit



Der letzte Schritt in allen unseren Einfachheitsbeweisen mittels Iwasawas Lemma war immer, die Kontrolle über die Kommutatorgruppe zu erhalten.

Perfektheit

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


Einfachheit

fed-Code einblenden

a. muss getrennt vom Rest bewiesen werden, da unsere Methoden auf diesen Fall nicht anwendbar sind. Ich habe aber bereits schon einmal einen Beweis dafür hier auf dem MP aufgeschrieben. Im folgenden Abschnitt wird ein unabhängiger Beweis mit rein algebraischen Methoden gegeben.

fed-Code einblenden



Die Ausnahmen



fed-Code einblenden

Wir verwenden zum Beweis die Identifikation der zweidimensionalen speziellen unitären Gruppe mit den Einheitsquaternionen, siehe Gruppenzwang Teil VII.

Satz: Quaternionen, <math>SO_3(\mathbb{R})</math> und <math>SO_4(\mathbb{R})</math>

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


Wir haben mit dem obigen Beweis, dass die spezielle orthogonale Gruppen in Dimension 3 einfach sind, damit also auch einen rein algebraischen Alternativbeweis zum topologischen Einfachheitsbeweis von <math>PSU_2(\mathbb{C})</math> gefunden.

Der Trick mit dem Erweitern des Homomorphismus liefert einen rein algebraischen Beweis dafür, dass das Bild jeweils mit der speziellen orthogonalen Gruppe übereinstimmt. Man kann das mit einem topologischen Argument abkürzen, indem man feststellt, dass beide Homomorphismen aus der Behauptung stetig sind und - da die Einheitsquaternionen zusammenhängend sind - daher in die Zusammenhangskomponente der 1 abbilden müssen und die ist in der speziellen orthogonalen Gruppe enthalten (in der Tat ist sind die beiden Untergruppen gleich).

Total anisotrope Geometrien



Trotz der Ankündigung, dass total anisotrope Geometrien sich widerspenstig verhalten, waren also die Standardgeometrien über den reellen und komplexen Zahlen doch noch nicht so schlimm.

Wir wollen nun ein Beispiel ansehen, welches belegt, dass die Situation für allgemeine Körper viel schwieriger ist.

Die unitären bzw. orthogonalen Gruppen anisotroper Räume sind tatsächlich im Allgemeinen ganz anders aufgebaut und haben eine grundverschiedene Normalteilerstruktur als wir das bisher kennen. Und das ist auch keine Frage von kleinen Dimensionen mehr. Es gibt in jeder Dimension Geometrien, deren Isometriegruppen ein für uns unerwartetes Verhalten zeigen. Wann das eintritt, hängt nicht mehr im Wesentlichen von der Dimension, sondern vom Grundkörper ab.

Eine die Klassifikation der total anisotropen Räume ist in einigen Fällen möglich, aber ein schwieriges Unterfangen. Wir haben ja selbst über endlichen Körpern bereits gesehen, dass im zweidimensionalen die Gesamtheit der quadratischen Erweiterungen von K eine Rolle spielt, wenn man die quadratischen Formen klassifizieren will. Das gibt einen Vorgeschmack auf die Schwierigkeiten im allgemeinen Fall. Die endlichen Körper und die reellen Zahlen haben gemeinsam, dass es genau eine quadratische Erweiterung gibt, sodass sich dieser Teil der Theorie sehr einfach gestaltet, doch schon für die rationalen Zahlen gibt es unendlich viele verschiedene quadratische Erweiterungen.


Wir sehen uns nun ein Beispiel an, in dem die orthogonale bzw. unitäre Gruppe schon des Standardskalarprodukts nicht mehr die erwartete Struktur hat, sondern sehr viele unerwartete Normalteiler auftauchen:
Beispiel: Laurentreihen

fed-Code einblenden

Für den Beweis werden wir zunächst ein technisches Lemma behandeln:
Lemma

fed-Code einblenden


fed-Code einblenden


Damit können wir die Behauptung über die orthogonalen Gruppen beweisen:

fed-Code einblenden



Abschluss



Dies soll es zu den orthogonalen und unitären Gruppen gewesen sein. Wir verlassen die unendlichen Gruppen aber nicht ganz. Im nächsten Artikel soll zumindest skizzenhaft vorgestellt werden, wie man alle endlichen Gruppen vom Lie-Typ systematisch konstruiert. Dazu werden wir u.A. die klassischen Gruppen über algebraisch abgeschlossenen Körpern benutzen.

Die Reihe "Einfache Gruppen"



Inhaltsverzeichnis
Vorheriger Teil der Reihe: PΩ
Nächster Teil der Reihe: Alternative Ansätze



\(\endgroup\)

Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Kommentare zeigen Kommentare  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Algebra :: Einfache Gruppen :: Gruppentheorie :: Geometrie :: Unitäre Gruppen :: Orthogonale Gruppe :: Sesquilinearformen :: Quadratische Formen :: Reine Mathematik :
Einfache Gruppen - Ergänzungen zu unitären und orthogonalen Gruppen [von Gockel]  
Besprechung einiger offener Fragen aus den beiden Artikeln zu orthogonalen und unitären Gruppen. Insbesondere wird bewiesen, dass die klassischen unitären und orthogonalen Gruppen über IC bzw. IR einfach sind.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 687
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 41 externe Besuche in 2018.05 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com24.9%4.9 %
http://google.de3790.2%90.2 %
http://www.bing.com24.9%4.9 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 1 Aufruf in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2018.05.21 17:44https://www.google.de/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 37 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2014-2016 (37x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=

[Seitenanfang]

" Mathematik: Einfache Gruppen - Ergänzungen zu unitären und orthogonalen Gruppen" | 0 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]