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Mathematik: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
Freigegeben von matroid am Fr. 20. Januar 2017 17:00:33
Verfasst von Triceratops -   767 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen


Dieser Artikel stellt eine Standard-Methode vor, mit der man einfache Beispiele von Galoisgruppen (und allgemeiner von Automorphismengruppen von endlichen Körpererweiterungen) gut berechnen kann, wie sie etwa im Rahmen einer Algebravorlesung auftreten. Die Idee ist, eine endliche Erweiterung durch einfache Erweiterungen sukzessive auszuschöpfen, und dann eine Beschreibung der Homomorphismen auf einfachen Erweiterungen mit Hilfe von Minimalpolynomen zu geben. Es werden einige Beispiele von Galoisgruppen berechnet.


Zwei Fakten zur Galoisgruppe

Die Galoisgruppe <math>\mathrm{Gal}(L/K)</math> einer endlichen Galoiserweiterung <math>L/K</math>, d.h. einer normalen separablen Körpererweiterung, besteht aus den <math>K</math>-Isomorphismen <math>L \to L</math>. Die Gruppenverknüpfung ist die Komposition von Abbildungen. Für die Berechnung von <math>\mathrm{Gal}(L/K)</math> ist es nützlich, sich erst einmal zwei Fakten klarzumachen:

Erstens ist die Ordnung von <math>\mathrm{Gal}(L/K)</math> gleich dem Grad <math>[L:K]</math> der Erweiterung. Das ist sogar eine der Charakterisierungen von Galoiserweiterungen. Den Beweis wiederholen wir nicht, zumal er sich aus den Überlegungen weiter unten ergibt.

Zweitens ist jeder <math>K</math>-Homomorphismus <math>L \to L</math>  bereits ein <math>K</math>-Isomorphismus. Für den Beweis sei allgemeiner <math>L/K</math> eine algebraische Erweiterung und <math>\sigma : L \to L</math> ein <math>K</math>-Homomorphismus. Für <math>a \in L</math> seien <math>a=a_1,\dotsc,a_n</math> die Nullstellen des Minimalpolynoms von <math>a</math> in <math>L</math>. Dann induziert <math>\sigma</math> eine Abbildung <math>\sigma' : \{a_1,\dotsc,a_n\} \to \{a_1,\dotsc,a_n\}</math>, denn <math>\sigma</math> bildet Nullstellen eines Polynoms über <math>K</math> auf solche Nullstellen ab. Weil <math>\sigma</math> injektiv ist, trifft dies auch auf <math>\sigma'</math> zu, und wegen der Endlichkeit dieser Nullstellenmenge ist <math>\sigma'</math> dann sogar bijektiv. Es folgt, dass <math>a</math> im Bild von <math>\sigma'</math> und damit im Bild von <math>\sigma</math> liegt.
 
Für die Berechnung von <math>\mathrm{Gal}(L/K)</math> ist der erste Fakt insofern nützlich, dass man bereits alle Elemente gefunden hat, wenn es <math>[L:K]</math> verschiedene Elemente sind. Und der zweite Fakt ist insofern nützlich, dass wir uns ab sofort nicht mehr um die Surjektivität kümmern müssen. Es stellt sich außerdem die Frage, wie die <math>K</math>-Homomorphismen <math>M \to L</math> aussehen, wobei <math>M,L</math> zwei beliebige endliche Erweiterungen von <math>K</math> sind. Dieses Problem ist zwar zunächst allgemeiner, aber gerade durch die Allgemeinheit werden wir eine rekursive Lösung dafür angeben können.

Ein notwendiges Kriterium

Seien also <math>M,L</math> zwei endliche Erweiterungen von <math>K</math>. Weil <math>M</math> endlich über <math>K</math> ist, können wir

<math>M=K(a_1,\dotsc,a_n)</math>

mit über <math>K</math> algebraischen Elementen <math>a_1,\dotsc,a_n</math> schreiben. Jeder <math>K</math>-Homomorphismus <math>\sigma : M \to L</math> ist bereits durch die Werte

<math>\sigma(a_1),\dotsc,\sigma(a_n)</math>

bestimmt. Denn sind <math>\sigma,\tau</math> zwei solche Homomorphismen mit <math>\sigma(a_i)=\tau(a_i)</math>, so ist <math>E:=\{x \in M : \sigma(x)=\tau(x)\}</math> ein Teilkörper von <math>M</math>, der <math>K</math> umfasst und die Elemente <math>a_i</math> enthält. Nach Definition von <math>K(a_1,\dotsc,a_n)</math> – es ist der kleinste Teilkörper von <math>M</math>, der <math>K</math> umfasst und die <math>a_i</math> enthält – folgt also <math>K(a_1,\dotsc,a_n) \subseteq E</math> und damit <math>\sigma=\tau</math>.

Es ist allerdings nicht so, dass jede Vorgabe der Werte <math>\sigma(a_1),\dotsc,\sigma(a_n)</math> von einem <math>K</math>-Homomorphismus <math>\sigma : M \to L</math> realisiert werden kann: Wir haben bereits wiederholt, dass jeweils <math>\sigma(a_i)</math> eine Nullstelle in <math>L</math> des Minimalpolynoms von <math>a_i</math> über <math>K</math> sein muss. Das sagt uns insbesondere, dass es nur endlich viele <math>\sigma</math> gibt.

Wenn wir uns zum Beispiel die <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen

<math>\mathds{Q}(\sqrt{2}) \to \mathds{Q}(\sqrt{2})</math>

anschauen, so muss <math>\sqrt{2}</math> auf eine Nullstelle von <math>T^2-2</math> in <math>\mathds{Q}(\sqrt{2})</math> geschickt werden. Die Nullstellen in <math>\mathds{C}</math> sind <math>\pm \sqrt{2}</math> und liegen beide in <math>\mathds{Q}(\sqrt{2})</math>. Es sind auch beide von einem Homomorphismus realisiert, nämlich von der Identität <math>a+b \sqrt{2} \mapsto a+b \sqrt{2}</math> bzw. dem Homomorphismus

<math>a+b \sqrt{2} \mapsto a-b \sqrt{2}.</math>

Die Galoisgruppe von <math>\mathds{Q}(\sqrt{2})</math> über <math>\mathds{Q}</math> hat also Ordnung <math>2</math>. Dasselbe trifft auf die Galoisgruppe von <math>\mathds{Q}(\sqrt{u})</math> zu, wenn <math>u</math> eine quadratfreie ganze Zahl <math>\neq 0,1</math> ist. Das Minimalpolynom von <math>\sqrt{u}</math> über <math>\mathds{Q}</math> ist dann nämlich <math>T^2-u</math>.
 
Es gibt allerdings keine <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen <math>\mathds{Q}(\sqrt{2}) \to \mathds{Q}(\sqrt{3})</math>, weil <math>T^2-2</math> keine Nullstellen in <math>\mathds{Q}(\sqrt{3})</math> besitzt, was man nachrechnen kann.
 
Die <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen
 
<math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2}) \to \mathds{Q}(\sqrt[3]{2})</math>
 
schicken <math>\sqrt[3]{2}</math> auf eine Nullstelle des Minimalpolynoms <math>T^3-2</math> in <math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2})</math>. Die einzige reelle Nullstelle ist allerdings <math>\sqrt[3]{2}</math> und wegen <math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2}) \subseteq \mathds{R}</math> ist dies also die einzige Nullstelle in <math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2})</math>. Es gibt also nur einen <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus <math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2}) \to \mathds{Q}(\sqrt[3]{2})</math>, was natürlich dazu passt, dass <math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2})</math> keine Galoiserweiterung von <math>\mathds{Q}</math> ist.
 
Für die <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen

<math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2}) \to \mathds{C}</math>

kommen allerdings tatsächlich alle drei komplexen Nullstellen in Frage. Wenn <math>c</math> eine der drei Nullstellen von <math>T^3-2</math> in <math>\mathds{C}</math> ist, so können wir einen <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus <math>\sigma : \mathds{Q}(\sqrt[3]{2}) \to \mathds{C}</math> mit <math>\sigma(\sqrt[3]{2})=c</math> explizit angeben: Weil der <math>\mathds{Q}</math>-Grad von <math>\sqrt[3]{2}</math> gleich <math>3</math> ist, hat <math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2})</math> als <math>\mathds{Q}</math>-Vektorraum die Basis <math>1,\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}^2</math>. Wir definieren nun <math>\sigma</math> durch die <math>\mathds{Q}</math>-lineare Fortsetzung von

<math>\sigma(1)=1</math>, <math>\sigma(\sqrt[3]{2})=c</math> und <math>\sigma(\sqrt[3]{2}^2)=c^2.</math>

Bei diesem Vorgehen ist es lästig, nachzurechnen, dass <math>\sigma</math> tatsächlich multiplikativ und damit ein <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus ist. Wir werden unten eine allgemeine Methode kennenlernen, welche uns hier sämtliche Rechnungen abnimmt.
 
Auch das Kriterium, dass Nullstellen der Minimalpolynome erhalten bleiben müssen, ist im Allgemeinen nicht hinreichend, jedenfalls wenn mindestens zwei Erzeuger vorliegen:
 
Betrachten wir dazu das Polynom

<math>T^4-2  \, T^2-1 \in \mathds{Q}[T]</math>

und dessen Zerfällungskörper <math>L/\mathds{Q}</math>. Die vier Nullstellen in <math>\mathds{C}</math> lassen sich mit der Substitution <math>X=T^2</math> und der quadratischen Lösungsformel bestimmen, sie lauten <math>\pm \sqrt{1 \pm \sqrt{2}}.</math> Sie lassen sich auch schreiben als <math>\pm a,\pm b</math>, wobei
 
<math>a=\sqrt{1 + \sqrt{2}}</math> und <math>b=i \sqrt{\sqrt{2}-1}.</math>
 
Es gilt also <math>L=\mathds{Q}(a,b)</math>. Nun beobachtet man, dass die Relation
 
<math>a^2+b^2=2</math>
 
gilt. Jeder <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus <math>\sigma : L \to L</math> muss daher auch die Relation
 
<math>\sigma(a)^2+\sigma(b)^2=2</math>
 
erfüllen, und das ist eine Einschränkung. Denn <math>a,b</math> haben dasselbe Minimalpolynom über <math>\mathds{Q}</math>, nämlich <math>T^4-2 \, T^2-1</math> – zum Beweis der Irreduzibilität substituiere man <math>T+1</math> und benutze das Eisenstein-Kriterium –, welches die Nullstellen <math>\pm a, \pm b</math> besitzt, und wegen der Relation <math>a^2+b^2=2</math> kann ein <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus zum Beispiel nicht <math>a</math> und <math>b</math> beide auf <math>a</math> oder <math>-a</math> schicken, weil ansonsten <math>a^2+a^2=2</math> folgen würde, was absurd ist. Gibt es denn einen <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus, der <math>a \mapsto b</math> und <math>b \mapsto a</math> abbildet? Und gibt es einen <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus, der <math>a \mapsto -a</math> und <math>b \mapsto b</math> abbildet? Das wird zwar durch unsere Relation nicht widerlegt, aber eventuell gibt es ja andere Hindernisse, die wir bisher übersehen haben.
 
Die Sache scheint also komplizierter zu sein. Die gute Nachricht ist, dass es eine recht systematische Lösung gibt. Wenn wir zum Beispiel zwei Erzeuger haben, also <math>M=K(a,b)</math>, so sollte man sich das Minimalpolynom von <math>a</math> über <math>K</math> anschauen wie bisher, aber nicht das Minimalpolynom von <math>b</math> über <math>K</math>, sondern über <math>K(a)</math>.

Die Methode

Wie bereits erwähnt, ist die allgemeine Methode rekursiv, d.h., wir reduzieren die Bestimmung der <math>K</math>-Homomorphismen

<math>K(a_1,\dotsc,a_n) \to L</math>
 
auf die Bestimmung der <math>K</math>-Homomorphismen

<math>K(a_1,\dotsc,a_{n-1}) \to L.</math>
 
Dabei entsteht <math>K(a_1,\dotsc,a_n)</math> durch Adjunktion eines Elementes <math>a_n</math> aus <math>K(a_1,\dotsc,a_{n-1})</math>. Schauen wir uns also allgemein an, was bei der Adjunktion eines Elementes passiert.
 
Sei <math>K</math> ein Körper. Seien <math>M,L</math> zwei (endliche) Erweiterungen von <math>K</math>. Sei ferner <math>M(a)</math> eine einfache endliche Erweiterung von <math>M</math>. Es sei

<math>\sigma : M(a) \to L</math>

ein <math>K</math>-Homomorphismus. Dann ist

<math>\tau := \sigma|_M : M \to L</math>

ebenfalls ein <math>K</math>-Homomorphismus. Wir stellen uns vor, dass wir die <math>K</math>-Homomorphismen <math>M \to L</math> bereits verstanden haben und fixieren den <math>K</math>-Homomorphismus <math>\tau : M \to L</math>. Dann ist <math>\sigma</math> als eine Fortsetzung von <math>\tau</math> zu verstehen, und <math>\sigma</math> ist durch <math>\sigma(a)</math> vollständig bestimmt.
 
Sei nun <math>f \in M[T]</math> das Minimalpolynom von <math>a</math> über <math>M</math>. Indem wir <math>\tau</math> auf die Koeffizienten von <math>f</math> anwenden, erhalten wir das Polynom <math>f^{\tau} \in L[T]</math>. Es ist dann <math>\sigma(a)</math> eine Nullstelle von <math>f^{\tau}</math>, denn es gilt, weil <math>\sigma</math> ein <math>K</math>-Homomorphismus ist,

<math>f^{\tau}(\sigma(a))=f^{\sigma}(\sigma(a))=\sigma(f(a))=\sigma(0)=0.</math>
 
Das stellt sich nun als das einzige Hindernis hinaus: Sei <math>c \in L</math> eine Nullstelle von <math>f^{\tau} \in L[T]</math>. Wir definieren zunächst mit Hilfe der universellen Eigenschaft des Polynomringes den <math>K</math>-Homomorphismus

<math>\rho : M[T] \to L</math>

durch <math>\rho|_M = \tau</math> und <math>\rho(T)=c</math>. Explizit gilt also

<math>\rho(u_0 + u_1 T + \dotsc + u_n T^n) = \tau(u_0) + \tau(u_1) c + \dotsc + \tau(u_n) c^n.</math>
 
Wegen <math>f^{\tau}(c)=0</math> gilt <math>\rho(f)=0</math>. Aus dem Homomorphiesatz folgt daher, dass sich <math>\rho</math> zu einem <math>K</math>-Homomorphismus
 
<math>\tilde{\rho} : M[T]/\langle f \rangle \to L</math>
 
fortsetzt. Er ist bestimmt durch <math>\tilde{\rho}|_M = \tau</math> und <math>\tilde{\rho}(\overline{T})=c</math>. Nun gibt es einen <math>M</math>-Isomorphismus

<math>M[T]/\langle f \rangle \xrightarrow{~~\cong~~} M(a),~\overline{T} \mapsto a</math>.
 
Denn das Minimalpolynom <math>f</math> ist gerade definiert als der normierte Erzeuger des Kerns des surjektiven <math>M</math>-Homomorphismus <math>M[T] \to M(a),\,T \mapsto a</math>. Wir erhalten also einen <math>K</math>-Homomorphismus
 
<math>\sigma : M(a) \xrightarrow{~~\cong~~} M[T]/\langle f \rangle \xrightarrow{~~\tilde{\rho}~~} L</math>
 
mit <math>\sigma|_M = \tau</math> und <math>\sigma(a)=c</math>, wie gewünscht. Fassen wir zusammen:
 
Sei <math>f \in M[T]</math> das Minimalpolynom von <math>a</math> über <math>M</math>. Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge der <math>K</math>-Homomorphismen <math>\sigma : M(a) \to L</math> und der Menge der Paare <math>(\tau,c)</math>, wobei <math>\tau : M \to L</math> ein <math>K</math>-Homomorphismus ist und <math>c \in L</math> eine Nullstelle von <math>f^{\tau} \in L[T]</math> ist.

Die Bijektion ist charakterisiert durch <math>c=\sigma(a)</math> und <math>\tau=\sigma|_M</math>.

Dieses Vorgehen hat auch den Vorteil, dass wir den Grad der Erweiterung gleich mitbestimmen: Es gilt nach dem Gradsatz

<math>[M(a):K] = [M(a):M] \cdot [M:K].</math>
 
Hierbei können wir <math>[M:K]</math> als bekannt voraussetzen, wohingegen <math>[M[a]:M]</math> der Grad von <math>f</math> ist. In der Praxis ist die Bestimmung von <math>f</math> der schwierige Teil. Der Satz ist übrigens wesentlich für den Aufbau der Galoistheorie (vgl. Bosch, Algebra, Abschnitt 3.4 ff), nicht nur für die Berechnung von Galoisgruppen.

Drei Beispiele

In dem obigen Beispiel mit
 
<math>L=\mathds{Q}(a,b),~a=\sqrt{1 + \sqrt{2}},~b=i \sqrt{\sqrt{2}-1}</math>
 
müssen wir zunächst einmal die <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen

<math>\tau : \mathds{Q}(a) \to L</math>
 
bestimmen, die also bijektiv den Nullstellen von <math>T^4-2 \, T^2-1</math> in <math>L</math> entsprechen. Die Nullstellen sind <math>\pm a,\pm b</math>, und es gibt entsprechend vier <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen, die wir mit <math>\tau_{\pm a},\tau_{\pm b}</math> bezeichnen. Als nächstes müssen wir das Minimalpolynom von <math>b</math> über <math>\mathds{Q}(a)</math> bestimmen. Nachdem wir bereits erkannt haben, dass <math>a^2+b^2=2</math> bzw.
 
<math>b^2+(a^2-2)=0</math>
 
gilt, sehen wir, dass das Minimalpolynom höchstens Grad <math>2</math> hat. Aber es kann nicht Grad <math>1</math> haben, denn dann folgte <math>b \in \mathds{Q}(a) \subseteq \mathds{R}</math>, Widerspruch zu <math>b \notin \mathds{R}</math>. Das Minimalpolynom lautet daher
 
<math>f=T^2+(a^2-2) \in \mathds{Q}(a)[T].</math>
 
Die Fortsetzungen von <math>\tau_{\pm a} : \mathds{Q}(a) \to L</math> auf <math>L</math> entsprechen bijektiv den Nullstellen von

<math>f^{\tau_{\pm a}} = T^2+(a^2-2) \in L[T]</math>
 
in <math>L</math>, und das sind <math>\pm b</math>. Die Fortsetzungen von <math>\tau_{\pm b} : \mathds{Q}(a) \to L</math> auf <math>L</math> entsprechen bijektiv den Nullstellen von
 
<math>f^{\tau_{\pm b}} = T^2+(b^2-2) \in L[T]</math>
 
in <math>L</math>, und das sind <math>\pm a</math>. Wir haben damit sämtliche <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen <math>L \to L</math> bestimmt: Es gibt vier <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen, die durch

<math>a \mapsto \pm a,~b \mapsto \pm b</math>
 
charakterisiert sind, wobei hier die Vorzeichen unabhängig voneinander gewählt werden können. Außerdem gibt es vier <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen, die durch

<math>a \mapsto \pm b,~b \mapsto \pm a</math>
 
charakterisiert sind, wobei hier die Vorzeichen ebenfalls unabhängig voneinander gewählt werden können.

Schauen wir uns ein etwas einfacheres Beispiel an: Es sei

<math>L=\mathds{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}).</math>

Die <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen

<math>\mathds{Q}(\sqrt{2}) \to L</math>

entsprechen bijektiv den Nullstellen von <math>T^2-2</math> in <math>L</math>, die durch <math>\pm \sqrt{2}</math> gegeben sind. Das Minimalpolynom von <math>\sqrt{3}</math> über <math>\mathds{Q}(\sqrt{2})</math> ist <math>T^2-3</math>, weil ansonsten <math>\sqrt{3} \in \mathds{Q}(\sqrt{2})</math> folgen würde, was man rechnerisch widerlegen kann. Das Polynom ändert sich also gar nicht beim Übergang von <math>\mathds{Q}</math> zu <math>\mathds{Q}(\sqrt{2})</math>. Dieser glückliche Umstand macht es besonders einfach, die Fortsetzungen der <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen zu bestimmen. Unabhängig von dem gegebenen Homomorphismus <math>\mathds{Q}(\sqrt{2}) \to L</math> müssen wir nur die Nullstellen von <math>T^2-3</math> in <math>L</math> bestimmen, und die sind <math>\pm \sqrt{3}</math>. Es gibt also genau vier <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen <math>L \to L</math>, nämlich

<math>\sqrt{2} \mapsto \pm \sqrt{2},~\sqrt{3} \mapsto \pm \sqrt{3},</math>

wobei hier die Vorzeichen unabhängig voneinander gewählt werden können. Übrigens gilt eine ähnliche Aussage ganz allgemein für <math>\mathds{Q}(\sqrt{u_1},\dotsc,\sqrt{u_n})</math>, wenn die <math>u_1,\dotsc,u_n</math> zueinander paarweise teilerfremde quadratfreie ganze Zahlen <math>\neq 0,1</math> sind. Aber der Beweis dafür ist nicht ganz so trivial, und wir wollen uns hier nur mit einfachen Beispielen befassen.

Wir betrachten schließlich noch das Beispiel

<math>L=\mathds{Q}(\zeta_3,\sqrt[3]{2}),</math>

den Zerfällungskörper von <math>T^3-2 \in \mathds{Q}[T]</math>. Hierbei bezeichnet <math>\zeta_3</math> eine primitive dritte Einheitswurzel. Das Minimalpolynom von <math>\zeta_3</math> über <math>\mathds{Q}</math> ist <math>T^2+T+1</math> mit den Nullstellen <math>\zeta_3,\zeta_3^2</math>. Jetzt müssten wir das Minimalpolynom von <math>\sqrt[3]{2}</math> über <math>\mathds{Q}(\zeta_3)</math> bestimmen. Es ist hier allerdings einfacher, die Reihenfolge umzudrehen: Wir starten mit <math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2})</math> über <math>\mathds{Q}</math> und schauen uns dann die Fortsetzungen an. Das Minimalpolynom von <math>\sqrt[3]{2}</math> über <math>\mathds{Q}</math> ist <math>T^3-2 \in \mathds{Q}[T]</math>. Die Nullstellen in <math>L</math> sind

<math>\sqrt[3]{2},~\zeta_3  \sqrt[3]{2},~\zeta_3^2 \sqrt[3]{2}.</math>

Das Minimalpolynom von <math>\zeta_3</math> über <math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2})</math> ist <math>T^2+T+1</math>, also genau wie über <math>\mathds{Q}</math>, denn ansonsten folgte <math>\zeta_3 \in \mathds{Q}(\sqrt[3]{2}) \subseteq \mathds{R}</math>, Widerspruch. Es gibt also drei <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen

<math>\mathds{Q}(\sqrt[3]{2}) \to L,</math>
 
und jeder davon besitzt zwei Fortsetzungen zu einem <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus <math>L \to L</math>. Die Galoisgruppe <math>\mathrm{Gal}(L/\mathds{Q})</math> hat also sechs Elemente. Sie sind gegeben durch

<math>\sqrt[3]{2} \mapsto \zeta_3^i \sqrt[3]{2},~\zeta_3 \mapsto \zeta_3^j</math> mit <math>i=0,1,2,~j=1,2.</math>

Die Gruppenstruktur

Bisher haben wir noch nicht die Galoisgruppen bestimmt, sondern lediglich ihre zugrunde liegenden Mengen. Weil allerdings die Bestimmung sehr explizit war, ist die Berechnung sämtlicher Kompositionen der Homomorphismen und damit der Gruppenstruktur eine reine Fleißarbeit. Üblicherweise folgt danach noch eine Einordnung in bereits bekannte Gruppen, wobei auch bekannte Operationen mit Gruppen wie zum Beispiel Produkte vorkommen können. Dabei ist es natürlich hilfreich, bereits etwas Vorwissen über die Klassifikation der endlichen Gruppen mitzubringen.

Fangen wir an mit

<math>L=\mathds{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}).</math>

Wir wissen bereits, dass

<math>\sigma(\sqrt{2})=\pm \sqrt{2},~\sigma(\sqrt{3})=\pm \sqrt{3}</math>
 
für jeden <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus <math>\sigma : L \to L</math> gilt, und dass jede Wahl von Vorzeichen vorkommt. Wir erkennen daher, dass die Abbildung

<math>\mathrm{Gal}(L/\mathds{Q}) \to \{\pm 1\} \times \{\pm 1\}, ~ \sigma \mapsto \bigl(\sigma(\sqrt{2})/\sqrt{2},\sigma(\sqrt{3})/\sqrt{3}\bigr)</math>

wohldefiniert und bijektiv ist. Außerdem ist es leicht, nachzurechnen, dass sie ein Homomorphismus ist, wobei <math>\{\pm 1\}</math> mit der üblichen Multiplikation versehen wird. Es handelt sich also um einen Isomorphismus von Gruppen. Es gilt daher

<math>\mathrm{Gal}(L/\mathds{Q}) \cong C_2 \times C_2.</math>

Hierbei bezeichnet <math>C_n</math> eine abstrakte zyklische Gruppe der Ordnung <math>n</math>. Alternativ hätte man sich hier überlegen können, dass jedes nichttriviale Element der Galoisgruppe Ordnung <math>2</math> besitzt, und verwenden, dass eine Gruppe der Ordnung <math>4</math> entweder zu <math>C_2 \times C_2</math> oder zu <math>C_4</math> isomorph ist.

An dieser Stelle ist es vielleicht interessant, anzumerken, dass tatsächlich jede endliche abelsche Gruppe ein direktes Produkt von zyklischen Gruppen ist, und auch als Galoisgruppe einer endlichen Galoiserweiterung von <math>\mathds{Q}</math> vorkommt, dass dies aber für beliebige endliche Gruppen ein großes ungelöstes Problem ist.

Kommen wir nun zu

<math>L=\mathds{Q}(\zeta_3,\sqrt[3]{2}).</math>

Die Galoisgruppe hat Ordnung <math>6</math>, und die einzigen Gruppen der Ordnung <math>6</math> sind bis auf Isomorphie die zyklische Gruppe <math>C_6</math> und die symmetrische Gruppe <math>S_3</math>. Nun betrachten wir einmal die beiden <math>\mathds{Q}</math>-Automorphismen <math>\tau</math> und <math>\sigma</math>, die durch

<math>\tau(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2},~\tau(\zeta_3)=\zeta_3^2,</math>

<math>\sigma(\sqrt[3]{2})=\zeta_3 \sqrt[3]{2},~\sigma(\zeta_3)=\zeta_3</math>

definiert sind. Es gilt

<math>\tau(\sigma(\zeta_3))=\tau(\zeta_3)=\zeta_3^2</math>

und

<math>\tau(\sigma(\sqrt[3]{2}))=\tau(\zeta_3 \sqrt[3]{2}) = \tau(\zeta_3) \tau(\sqrt[3]{2})=\zeta_3^2 \sqrt[3]{2}.</math>

Andererseits gilt

<math>\sigma(\tau(\zeta_3))=\sigma(\zeta_3^2)=\sigma(\zeta_3)^2=\zeta_3^2</math>

und

<math>\sigma(\tau(\sqrt[3]{2}))=\sigma(\sqrt[3]{2})=\zeta_3 \sqrt[3]{2}.</math>

Daran sehen wir, dass <math>\tau \circ \sigma \neq \sigma \circ \tau</math> gilt. Die Galoisgruppe ist daher nicht abelsch, also erst Recht nicht zyklisch. Sie muss daher zu <math>S_3</math> isomorph sein.
 
Man kann hier die Isomorphie auch noch konkreter machen und damit auch unabhängig von der Klassifikation der Gruppen der Ordnung <math>6</math> beweisen. Eine Möglichkeit ist, die gesamte Verknüpfungstafel zu bestimmen und mit der von <math>S_3</math> zu vergleichen. Eine andere Möglichkeit ist, die Relationen

<math>\tau^2=1,~\sigma^3=1,~(\tau \sigma)^2=1</math>
 
nachzurechnen; hierbei ist <math>1=\mathrm{id}</math> das neutrale Element der Galoisgruppe. Die symmetrische Gruppe <math>S_3</math> besitzt nun die Präsentation

<math>S_3 = \langle x,y \mid x^2 =y^3=(xy)^2=1\rangle,</math>
 
wobei <math>x</math> ein <math>2</math>-Zyklus und <math>y</math> ein <math>3</math>-Zyklus ist. Es gibt daher einen Homomorphismus

<math>S_3 \to \mathrm{Gal}(L/\mathds{Q})</math> mit <math>x \mapsto \tau,~y \mapsto \sigma.</math>
 
Das Bild kann nicht Ordnung <math>2</math> haben, weil es ein Element der Ordnung <math>3</math> enthält, und es kann nicht Ordnung <math>2</math> haben, weil es ein Element der Ordnung <math>3</math> enthält. Es muss also die gesamte Galoisgruppe sein. Der Homomorphismus ist also surjektiv. Weil beide Gruppen Ordnung <math>6</math> haben, muss der Homomorphismus schon bijektiv sein.
 
Im Beispiel

<math>L=\mathds{Q}(a,b),~a=\sqrt{1 + \sqrt{2}},~b=i \sqrt{\sqrt{2}-1}</math>
 
bezeichnen wir die acht <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen <math>L \to L</math> einmal suggestiv mit <math>\sigma_{\pm a,\pm b}</math> und <math>\sigma_{\pm b,\pm a}</math>. Es gilt

<math>\sigma_{a,-b}(\sigma_{b,a}(a))=\sigma_{a,-b}(b)=-b</math>

und

<math>\sigma_{b,a}(\sigma_{a,-b}(a))=\sigma_{b,a}(a)=b.</math>

Die Gruppe ist also nicht abelsch. Es gibt bis auf Isomorphie zwei nicht-abelsche Gruppen der Ordnung <math>8</math>, nämlich die Diedergruppe <math>D_4</math>, also die Isometriegruppe des Quadrats, und die Quaternionengruppe <math>Q</math>, also die aus den im Quaternionenschiefkörper gebildeten Einheiten

<math>\pm 1,\pm i, \pm j,\pm k</math>
 
besteht. Man sieht nun, dass die Galoisgruppe fünf Elemente der Ordnung <math>2</math> hat, nämlich

<math>\sigma_{a,-b},~\sigma_{-a,b},~\sigma_{-a,-b},~\sigma_{b,a},~\sigma_{-b,-a},</math>

wohingegen die Quaternionengruppe <math>Q</math> nur ein Element der Ordnung <math>2</math> hat, nämlich <math>-1</math>. Es kommt also nur die Diedergruppe <math>D_4</math> in Frage. Auch hier kann man wieder unabhängig von der Klassifikation der Gruppen der Ordnung <math>8</math> argumentieren, indem man entweder die Verknüpfungstabelle aufstellt, oder mit der Präsentation
 
<math>D_4 = \langle x,y : x^4=y^2=(xy)^2=1 \rangle</math>
 
argumentiert: Wegen

<math>\sigma_{b,-a}^4=1,~\sigma_{b,a}^2=1,~(\sigma_{b,-a} \sigma_{b,a})^2=(\sigma_{-a,b})^2=1</math>

gibt es einen Homomorphismus

<math>D_4 \to \mathrm{Gal}(L/\mathds{Q})</math> mit <math>x \mapsto \sigma_{b,-a},~y \mapsto \sigma_{b,a}.</math>

Es wird <math>\mathrm{Gal}(L/\mathds{Q})</math> von diesen beiden Bildern erzeugt. Aus Ordnungsgründen ist der Homomorphismus also bijektiv.

Ein komplizierteres Beispiel

Wir bestimmen die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers des Polynoms

<math>T^5-4 \in \mathds{Q}[T].</math>

Die komplexen Nullstellen lauten

<math>\zeta_5^i \sqrt[5]{4}</math> mit <math>0 \leq i < 5.</math>

Der Zerfällungskörper ist daher

<math>L=\mathds{Q}(\sqrt[5]{4},\zeta_5).</math>

Das Minimalpolynom von <math>\sqrt[5]{4}</math> über <math>\mathds{Q}</math> ist <math>T^5-4</math> – zum Beweis der Irreduzibilität substituiere man <math>T-1</math> und benutze das Eisenstein-Kriterium. Die Nullstellen sind wie gesagt <math>\zeta_5^i \sqrt[5]{4}</math> mit <math>0 \leq i < 5</math>. Das Minimalpolynom von <math>\zeta_5</math> über <math>\mathds{Q}(\sqrt[5]{4})</math> ist das fünfte Kreisteilungspolynom

<math>f=T^4+T^3+T^2+T+1</math>

mit den Nullstellen <math>\zeta_5^j</math> für <math>0 < j < 5</math>. Zum Nachweis der Irreduzibilität von <math>f</math> über <math>\mathds{Q}(\sqrt[5]{4})</math> kann man sich etwa klarmachen, dass die Nullstellen nicht in <math>\mathds{Q}(\sqrt[5]{4})</math> enthalten sind, was aus Gradgründen klar ist, und dass die in <math>\mathds{R}[T]</math> gebildeten quadratischen Faktoren

<math>T^2 + \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} T + 1</math>
 
nicht in <math>\mathds{Q}(\sqrt[5]{4})[T]</math> liegen. Die <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismen <math>L \to L</math>, insgesamt <math>20</math> Stück, sind demnach gegeben durch

<math>\zeta_5 \mapsto \zeta_5^j,~\sqrt[5]{4} \mapsto \zeta_5^i \sqrt[5]{4}</math> mit <math>0 \leq i < 5,~0 < j < 5.</math>
 
Es ist ratsam, diesen Homomorphismus <math>\sigma_{a,b}</math> zu schreiben als <math>\zeta_5 \mapsto \zeta_5^a</math> mit <math>a \in \mathds{F}_5^{\times}</math> und <math>\sqrt[5]{4} \mapsto \zeta_5^b \sqrt[5]{4}</math> mit <math>b \in \mathds{F}_5</math>, wobei

<math>\mathds{F}_5=\mathds{Z}/5\mathds{Z}</math>
 
der Körper mit fünf Elementen ist. Der Ausdruck <math>\zeta_5^b</math> ist hierbei wegen <math>\zeta_5^5=1</math> für <math>b \in \mathds{F}_5</math> wohldefiniert.

Zur Gruppenstruktur: Es ist <math>\sigma_{1,0}=1</math> die Identität. Man rechnet nun die Relation

<math>\sigma_{a,b} \circ \sigma_{c,d} = \sigma_{ac,ad+b}</math>
 
nach. Damit ist die Galoisgruppe bestimmt. Wir können sie noch etwas anders ausdrücken, nämlich als die Gruppe <math>\mathrm{Aff}(\mathds{F}_5)</math> der affin-linearen Isomorphismen <math>\mathds{F}_5 \to \mathds{F}_5</math>, also der Abbildungen der Form

<math>x \mapsto ax + b</math>

mit <math>a \in \mathds{F}_5^{\times}</math> und <math>b \in \mathds{F}_5</math>. Wegen

<math>a(cx + d) + b = (ac)x + (ad + b)</math>

erkennen wir genau die Verknüpfung in der Galoisgruppe wieder. Das heißt, es gibt einen Isomorphismus

<math>\mathrm{Aff}(\mathds{F}_5) \to \mathrm{Gal}(T^5-4),~(x \mapsto ax + b) \mapsto \sigma_{a,b}.</math>
 
Es lässt sich <math>\mathrm{Aff}(\mathds{F}_5)</math> auch als das semidirekte Produkt <math>\mathds{F}_5 \rtimes \mathds{F}_5^{\times}</math> interpretieren.

Die Galoisgruppe eines Polynoms

Eine besondere Situation ergibt sich, wenn man die Galoisgruppe eines Polynoms berechnen möchte. Die Galoisgruppe <math>\mathrm{Gal}(f)</math> eines separablen Polynoms <math>f \in K[T]</math> ist als die Galoisgruppe des zugehörigen Zerfällungskörpers <math>L/K</math> definiert. In diesem Fall ist

<math>L=K(a_1,\dotsc,a_n),</math>
 
wobei <math>a_1,\dotsc,a_n</math> die Nullstellen von <math>f</math> in <math>L</math> seien. Weil jeder <math>K</math>-Homomorphismus <math>L \to L</math> diese Nullstellen aufeinander abbildet und außerdem injektiv ist, erhalten wir also einen Homomorphismus von Gruppen

<math>\mathrm{Gal}(f) = \mathrm{Gal}(L/K) \to \mathrm{Sym}(\{a_1,\dotsc,a_n\}),~ \sigma \mapsto \sigma|_{\{a_1,\dotsc,a_n\}}.</math>
 
Dieser ist injektiv, weil <math>L=K(a_1,\dotsc,a_n)</math> gilt. Die symmetrische Gruppe <math>\mathrm{Sym}(\{a_1,\dotsc,a_n\})</math> ist isomorph zur symmetrischen Gruppe <math>S_n = \mathrm{Sym}(\{1,\dotsc,n\})</math>. Aber was die Bestimmung der Galoisgruppe angeht, ist es ratsam, mit der Nullstellenmenge <math>\{a_1,\dotsc,a_n\}</math> zu arbeiten.
 
Es ist also <math>\mathrm{Gal}(f)</math> zu einer Untergruppe von <math>\mathrm{Sym}(\{a_1,\dotsc,a_n\})</math> isomorph, und es stellt sich natürlich die Frage, wie diese Untergruppe aussieht. Das heißt: Für welche Permutationen <math>\pi : \{a_1,\dotsc,a_n\} \to \{a_1,\dotsc,a_n\}</math> gibt es einen <math>K</math>-Homomorphismus <math>\sigma : L \to L</math> mit <math>\sigma|_{\{a_1,\dotsc,a_n\}} = \pi</math>?

In unserem Beispiel

<math>f=T^4-2 \, T^2-1 \in \mathds{Q}[T]</math>

mit den Nullstellen <math>\pm a,\pm b</math>, die <math>a^2+b^2=2</math> erfüllen, muss eine Permutation <math>\pi</math> von <math>\{\pm a,\pm b\}</math> mindestens einmal

<math>\pi(-a)=-\pi(a),~\pi(-b)=-\pi(b)</math> und <math>\pi(a)^2+\pi(b)^2=2</math>

erfüllen, damit sie von einem Homomorphismus kommt. Das liefert die acht bereits zuvor gefundenen Permutationen. Und in unserem Beispiel

<math>f=T^3-2 \in \mathds{Q}[T]</math>

ist der injektive Homomorphismus von der Galoisgruppe in die symmetrische Gruppe
 
<math>\mathrm{Sym}(\{\sqrt[3]{2},\zeta_3 \sqrt[3]{2},\zeta_3^2 \sqrt[3]{2}\})</math>
 
bereits aus Ordnungsgründen bijektiv.

Zur allgemeinen Beantwortung der Frage müssen wir nicht nur die algebraischen Gleichungen von jeder einzelnen Nullstelle <math>a_i</math>, sondern die algebraischen Gleichungen zwischen allen Nullstellen <math>a_1,\dotsc,a_n</math> gleichzeitig ansehen. Genauer gesagt sei <math>p \in K[T_1,\dotsc,T_n]</math> ein Polynom mit

<math>p(a_1,\dotsc,a_n)=0.</math>

Für jeden <math>K</math>-Homomorphismus <math>\sigma : L \to L</math> gilt dann ebenfalls

<math>p(\sigma(a_1),\dotsc,\sigma(a_n))=0,</math>

denn die linke Seite ist gleich <math>\sigma(p(a_1,\dotsc,a_n))</math>. Dies ist das einzige Hindernis: Angenommen,

<math>\pi : \{a_1,\dotsc,a_n\} \to \{a_1,\dotsc,a_n\}</math>

ist eine Permutation mit der Eigenschaft, dass

<math>p(a_1,\dotsc,a_n)=0 \Longrightarrow p(\pi(a_1),\dotsc,\pi(a_n))=0</math>

für alle Polynome <math>p \in K[T_1,\dotsc,T_n]</math> gilt. Das heißt gerade, dass für den <math>K</math>-Homomorphismus

<math>\rho_{\pi} : K[T_1,\dotsc,T_n] \to L,~ T_i \mapsto \pi(a_i)</math>
 
die Inklusion

<math>\ker(\rho_{\mathrm{id}}) \subseteq \ker(\rho_{\pi})</math>

gilt. Es setzt sich also <math>\rho_{\pi}</math> nach dem Homomorphiesatz zu einem <math>K</math>-Homomorphismus

<math>K[T_1,\dotsc,T_n]/\ker(\rho_{\mathrm{id}}) \to L</math>

fort. Es gilt nach dem Isomorphiesatz

<math>L=K[a_1,\dotsc,a_n] \cong K[T_1,\dotsc,T_n]/\ker(\rho_{\mathrm{id}})</math>

vermöge <math>a_i \mapsto \overline{T_i}</math>. Insgesamt ergibt sich also ein <math>K</math>-Homomorphismus

<math>\sigma : L \to L</math> mit <math>\sigma(a_i)=\pi(a_i),</math>
 
wie gewünscht. Wir fassen zusammen:

Es ist <math>\mathrm{Gal}(f)</math> zur Untergruppe von <math>\mathrm{Sym}(\{a_1,\dotsc,a_n\})</math> isomorph, die aus den Permutationen besteht, welche die algebraischen, also polynomiellen Relationen zwischen den Nullstellen <math>a_1,\dotsc,a_n</math> erhalten.
 
So könnte man dann alternativ <math>\mathrm{Gal}(f)</math> auch definieren, ohne Körpererweiterungen überhaupt zu erwähnen. Diese Beschreibung ist natürlich sehr ähnlich zu unserem ersten Vorgehen, nur dass sie keine der Nullstellen bevorzugt behandelt und damit mehr potenzielle Symmetrien ausgenutzt werden können.

Mit der sogenannten Reduktionsmethode von Dedekind lässt sich die Untergruppe von <math>\mathrm{Sym}(\{a_1,\dotsc,a_n\})</math> auch in vielen Fällen bestimmen. Darüber wurde bereits ein Artikel auf dem Matheplaneten verfasst. Weiteres Material gibt es zum Beispiel auf der Homepage von Keith Conrad im Abschnitt Fields and Galois theory. Dort finden sich viele weitere Beispiele und praktische Berechnungsverfahren.


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" Mathematik: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen" | 4 Kommentare
 
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Re: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
von juergen007 am Sa. 21. Januar 2017 23:35:23



und wegen der Relation <math>a^2+b^2=2</math> kann ein <math>\mathds{Q}</math>-Homomorphismus zum Beispiel nicht <math>a</math> und <math>b</math> beide auf <math>a</math> oder <math>-a</math> schicken, weil ansonsten <math>a^2+a^2=2</math> folgen würde, was absurd ist

Gut. <math>a->a, b->a</math>, wäre ein Epimorphismus in Q. Aber kein Q-Automorphismus. Den führst du erst später ein.
Sicher hat <math>a^2+a^2 =2</math> Lösungen für a wenn a unbekannt ist.
Der Term <math>a^2+b^2 =2 </math> bleibt jedoch nur durch Automorphismen der Galoisgruppe invariant rational, und in diesen ist <math>a->a, b->a</math> oder irgendeine Fortsetzung nicht enthalten.
sonst super !
Danke!
Jürgen

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Re: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
von weird am So. 22. Januar 2017 08:19:44


Ja, ein sehr schöner Artikel, welcher viele grundsätzliche Probleme der Galoistheorie anspricht und sie dann auch auf eine sehr schlüssige Weise behandelt!

Besonders gefallen hat mir naturgemäß der Kernsatz darin:

Es ist <math>\mathrm{Gal}(f)</math> zur Untergruppe von <math>\mathrm{Sym}(\{a_1,\dotsc,a_n\})</math> isomorph, die aus den Permutationen besteht, welche die algebraischen, also polynomiellen Relationen zwischen den Nullstellen <math>a_1,\dotsc,a_n</math> erhalten.

Für mich besteht ja Galoistheorie - zumindestens wenn man sie "bottom up" und nicht "top down" betreibt - zu einem guten Teil einfach darin, einen "Minimalsatz" von solchen polynomiellen Relationen zwischen den Nullstellen des Polynoms zu finden, von denen hier die Rede ist.

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Re: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
von Triceratops am Mi. 25. Januar 2017 11:03:09


@Jürgen: Ich weiß nicht, was du mit "Epimorphismus in Q" meinst. Du hast aber recht, dass diese Vorschrift der Injektivität von Körperhomomorphismen widerspricht und daher sofort ausgeschlossen werden kann. Vielleicht werde ich das noch ergänzen.
 
Die Gleichung <math>a^2+a^2=2</math> ist in dem Kontext deshalb absurd, weil sie <math>a = \pm 1</math> implizeren würde, aber per Definition <math>a = \sqrt{1+\sqrt{2}}</math> gilt.
 
Deinen letzten Satz "Der Term ... nicht enthalten." verstehe ich nicht.

@weird: Eigentlich war es gar nicht mein Anliegen, die grundsätzlichen Probleme der Galoistheorie anzusprechen, denn dazu gehört auch die Theorie der algebraischen, normalen und separablen Erweiterungen, die aber für die Berechnung  von Automorphismengruppen, die im Spezialfall von Galoiserweiterungen dann Galoisgruppen genannt werden, keine so tragende Rolle spielt. Tatsächlich war ein solcher Artikel, der die Galoistheorie von Grund auf entwickelt, bereits in Planung, mit dem besonderen Merkmal, dass Körpererweiterungen als Homomorphismen <math>K \to L</math> definiert werden – die einzige Definition, die der Galoistheorie in Theorie und Praxis gerecht werden kann, bisher aber kaum verwendet wird. Aber der Artikel wurde zu lang und unterschied sich nicht wesentlich von Boschs Algebra-Buch. Daher habe ich mich auf eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen konzentriert, die ich zwar für Standard halte bzw. hielt, aber meiner Erfahrung nach öfters zu kurz kommt.
 
Der letzte Abschnitt des Artikels ist tatsächlich nur aufgrund deiner Bitte im Forum entstanden. Er bricht leider etwas mit der Methodik des restlichen Artikels, aber es spricht schon einiges dafür, diese Sichtweise der Vollständigkeit halber zu erwähnen.
Ich weiß nicht, ob der von dir so bezeichnete Kernsatz für die effiziente Bestimmung von Galoisgruppen geeignet ist. Vor allem bei komplizierten Polynomen wüsste ich nämlich nicht, wie ich algebraische Gleichungen zwischen den Nullstellen herausfinden könnte, die eine ausreichende Einschränkung der Permutationen darstellen, ohne das mathematische Genius eines Lagrange, Galois oder Ramanujan zu besitzen.

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Re: Eine Methode zur Berechnung von Galoisgruppen
von rofler am Do. 26. Januar 2017 05:51:29


Vielleicht könntest du noch etwas zu Grothendiecks Galoistheorie (SGA 1) schreiben?

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