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Mathematik: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
Freigegeben von matroid am Mo. 11. Dezember 2017 21:20:41
Verfasst von Marbin -   635 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)
Im folgenden Artikel zeigen wir die Identität \[ -\frac{4}{3}\cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}\cdot \left ( \psi^{(0)} \left (k+\frac{1}{2} \right)+\gamma +\ln(4) \right)}{k}=\zeta (2). \]
\(\psi^{(0)}\) ist hier die Digamma-Funktion und \(\gamma\) die Euler-Mascheroni-Konstante.

Bittte öffne die pdf-Datei.
\(\endgroup\)

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pdfpdf-Datei zum Artikel öffnen, 171 KB, vom 12.12.2017 18:59:04, bisher 260 Downloads


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" Mathematik: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)" | 13 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von Slash am Mo. 11. Dezember 2017 22:43:10

\(\begingroup\)
Vielleicht solltest du noch dazu schreiben, was an der Identität ungewöhnlich ist. Was macht sie besonders? Was hebt sie von anderen Identitäten ab?\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von Marbin am Mo. 11. Dezember 2017 22:54:36

\(\begingroup\)
Das geht bereits aus der anfangs beschriebenen Identität selbst hervor.\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von Wauzi am Mo. 11. Dezember 2017 23:02:56

\(\begingroup\)
Hallo,

zwischen (11) und (12) ist der Nenner bei der Digamma-Funktion zu viel.

Warum die absolute Konvergenz von (15) offen sein soll, erschließt sich mir nicht. Der Zähler ist doch >1

Eine recht schöne Ausarbeitung, endlich mal jemand, der sich traut, mit Mehrfachsummen umzugehen.

Gruß Wauzi\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von Slash am Mo. 11. Dezember 2017 23:12:48

\(\begingroup\)
Das geht bereits aus der anfangs beschriebenen Identität selbst hervor?

Tolle Antwort. Wie dumm von mir zu fragen. confused\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von Marbin am Mo. 11. Dezember 2017 23:32:06

\(\begingroup\)
Ja, richtig, zwischen (11) und (12) ist mir ein leicht ersichtlicher Schreibfehler unterlaufen.
\[\psi^{(0)}\left (k+\frac{1}{2}\right)=-\gamma -\ln(4)+2\cdot \sum_{j=1}^{k}\frac{1}{2\cdot j-1}.\] Ich bessere das in der PDF aus.\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von Marbin am Di. 12. Dezember 2017 00:03:06

\(\begingroup\)
Hallo Slash, finde einen einfacheren Beweis des Grenzwertes der beschriebenen Reihe, der trivial und damit nicht ungewöhnlich ist. Bis dahin ist die Identität ungewöhnlich.\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von digerdiga am Di. 12. Dezember 2017 12:42:04

\(\begingroup\)
Mir fehlt da der Beweis von (11).
Wenn ich ausgehend von der rechten Seite
\( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{4k} \sum_{j=1}^k  \frac{2}{2j-1} \)
...umforme, dann komm ich auf
\( \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+j-1}}{4j^2 + (4i-2)j-2i-2(2j-1)} = \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+j-1}}{2(i+j-1)(2j-1)}  \)

Andersherum ergibt die linke Seite
\( \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^k}{(2n-1)(2n+2k-1)} = \sum_{l=1}^\infty \sum_{n=1}^l \frac{(-1)^{l-n+1}}{(2n-1)(2l+1)} \)

Hab ich mich verrechnet oder wie kommst du darauf? Zumindest erscheint mir der Schritt also auf den ersten Blick nicht trivial.


Ansonsten würd mich noch zur Aussage von Slash interessieren, was genau er damit meint was sie von anderen Identitäten abhebt?\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von Marbin am Di. 12. Dezember 2017 16:42:32

\(\begingroup\)
Der Beweis von (11) läuft etwas anders. Für die innere Summe
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{\left (2\cdot n-1\right)\cdot \left (2\cdot n+2\cdot k-1\right )}\] lässt sich die folgende Partialsummenformel angeben, siehe hierzu auch: de.wikipedia.org/wiki/Digamma-Funktion

\[\sum_{n=1}^{m}\frac{(-1)^{k}}{\left (2\cdot n-1\right)\cdot \left (2\cdot n+2\cdot k-1\right )}=-\frac{(-1)^{k}\cdot \left (\psi^{(0)}\left (k+m+\frac{1}{2}\right)-\psi^{(0)}\left (k+\frac{1}{2}\right)-\psi^{(0)}\left (m+\frac{1}{2}\right)+\psi^{(0)}\left (\frac{1}{2}\right)  \right )}{4\cdot k}\]
Nun ist

\[\lim_{m \to \infty}-\frac{(-1)^{k}\cdot \left (\psi^{(0)}\left (k+m+\frac{1}{2}\right)-\psi^{(0)}\left (k+\frac{1}{2}\right)-\psi^{(0)}\left (m+\frac{1}{2}\right)+\psi^{(0)}\left (\frac{1}{2}\right)  \right )}{4\cdot k}= \frac{(-1)^{k}\cdot \left (\psi^{(0)}\left (k+\frac{1}{2}\right)+\ln(4)+\gamma \right)}{4\cdot k}\]
Und er meint mit ungewöhnlich, dass sich Zeta(2) als Grenzwert einer unendlichen Reihe, die die Digamma-Funktion beinhaltet, ergibt.\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von digerdiga am Mi. 13. Dezember 2017 02:13:35

\(\begingroup\)
Ich hab in dem von dir angegeben Artikel nichts genaues über deine Gleichung gefunden.

Zu Folgendem habe ich allerdings noch eine formale Frage:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2n-1)(2n+2k-1)}
= \sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{(-1)^k}{2k(2n-1)} - \frac{(-1)^k}{2k(2n+2k-1)} \right\} \)
Intuitiv würde ich in einer der Summen einfach einen Indexshift machen, so dass \(n \leftrightarrow n + k\). Allerdings würde das einer Umordnung der Terme entsprechen (ich schiebe die linken Terme in der Klammer quasi um k Klammern nach rechts) und schließlich ist auch ein sortieren von
\( \sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right\} \)
nicht erlaubt.
Dennoch führt diese Vorgehensweise auf das richtige Ergebnis
\( \sum_{n=1}^k \frac{(-1)^k}{2k(2n-1)} \).\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von Marbin am Mi. 13. Dezember 2017 11:35:58

\(\begingroup\)
In dem Wikipedia-Artikel steht eigentlich schon alles, um (11) zu zeigen. Es ist

\[\sum_{n=1}^{m}\frac{(-1)^{k}}{\left (2\cdot n-1 \right )\cdot \left (2\cdot n+2\cdot k-1  \right )}=\sum_{n=1}^{m}\frac{(-1)^{k}}{2\cdot k\cdot \left (2\cdot n-1 \right )}-\sum_{n=1}^{m}\frac{(-1)^{k}}{2\cdot k\cdot \left (2\cdot k+2\cdot n-1  \right )},\]
\[\sum_{n=1}^{m}\frac{(-1)^{k}}{2\cdot k\cdot \left (2\cdot n-1 \right )}=\frac{(-1)^{k}}{4\cdot k}\cdot \sum_{n=1}^{m}\frac{2}{2\cdot n-1}=\frac{(-1)^{k}\cdot \left (\psi^{(0)}\left (m+\frac{1}{2} \right)-\psi^{(0)}\left (\frac{1}{2} \right) \right)}{4\cdot k},\]
\[\sum_{n=1}^{m}\frac{(-1)^{k}}{2\cdot k\cdot \left (2\cdot k+2\cdot n-1  \right )}=\frac{(-1)^{k}}{4\cdot k}\cdot \sum_{n=1}^{m}\frac{2}{2\cdot (k+n)-1}=\frac{(-1)^{k}\cdot \left (\psi^{(0)}\left (k+m+\frac{1}{2} \right)-\psi^{(0)}\left (k+\frac{1}{2} \right) \right)}{4\cdot k}.\]\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von digerdiga am Mi. 13. Dezember 2017 12:21:24

\(\begingroup\)
Sorry da war ich wohl blind...
Meine generelle Frage zu dem Indexschift bei nicht absolut konvergierenden bzw. zwei in Teilen divergierenden Reihen verbleibt trotzdem.\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von Marbin am Mi. 13. Dezember 2017 13:27:15

\(\begingroup\)
Gegen eine Indexverschiebung spricht nichts. Das hat auch nichts damit zu tun, ob eine Reihe konvergiert, absolut konvergiert oder divergiert. Ich sehe hier aber keinen Sinn, den Index zu verschieben, da sich die Summe dadurch nicht einfacher berechnen lässt.\(\endgroup\)

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Re: Eine ungewöhnliche Identität von Zeta(2)
von digerdiga am Mi. 13. Dezember 2017 23:08:12

\(\begingroup\)
Ich weiß nicht was du meinst?
Wenn ich mir einen Indexshift (in diesem Fall!) anschaulich vorstelle, dann verschiebe ich einen Teil um k Plätze nach rechts/links. Beispielsweise

   (1/1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + (1/7 - 1/8) + ...
= 1/1 + 1/3 + 1/5
  + (1/7 - 1/2) + (1/9 - 1/4) + (1/11 - 1/6) + (1/13 - 1/8) + ...

Das sieht mir sehr wohl nach einer Verschiebung der Glieder aus!!
Zwar sind weiterhin alle Terme ( .. ) absolut konvergent, aber ich habe dennoch die Glieder einer der Summen (welche für sich divergieren) verschoben.\(\endgroup\)

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