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Physik: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
Freigegeben von matroid am Mi. 27. Dezember 2017 00:09:40
Verfasst von Frances -   354 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Physik

\(\begingroup\)
In diesem Artikel werden nicht-relativistische Herleitungen des Äquivalenzprinzips Energie-Masse und der dynamischen Massenformel gezeigt.

Im Februar 2005 schrieb Hans-Jürgen in seinem Artikel „Eine nicht-relativistische Herleitung der dynamischen Massenformel“ unter Anderem:
„Führt man heutzutage, etwa im Gymnasium, die Spezielle Relativitätstheorie ein, wird häufig (mit Zwischenschritten, die ich hier auslasse) diese Reihenfolge gewählt: Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit - Lorentz-Transformation - dynamische Masse - Äquivalenz von Masse und Energie.
Die Formel E=mc² steht hierbei am Ende einer langen Deduktionskette; doch ist, wenn man nur die Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit herleiten möchte, auch das Umgekehrte möglich. Dies wurde von Franz von Krbek in seinem Lehrbuch "Grundzüge der Mechanik" gezeigt  und wird im folgenden leicht verändert wiedergegeben.

Geht man von E=c²m aus, dann ist, da m als veränderlich vorausgesetzt wird, dE=c²dm.
Bezeichnet weiter F eine Kraft, unter deren Einfluß der Körper in ihrer Richtung den Weg s zurücklegt, gilt auch
dE=Fds.
Wird außerdem berücksichtigt, daß nach Newton die Kraft gleich der Ableitung des Impulses mv
nach der Zeit ist,
F=d(mv)/dt,
dann folgt mit ds=vdt und unter Beachtung der Produktregel:
c²dm=(vdm+mdv)·v.
Trennung der Variablen
dm/m=vdv/(c²-v²)
und Integration auf beiden Seiten mit der Integrationskonstanten mo (Ruhmasse) ergibt die bekannte Massenformel
m=mo/sqrt(1-v²/c²).  

Bemerkenswert an dieser Herleitung ist außer ihrer Kürze, daß sie ohne die von der Relativitätstheorie postulierten Eigenschaften von Raum und Zeit auskommt.“

Nun möchte ich dazu eine etwas veränderte Version des Artikels des Physikers Rohrlich, erschienen 1990 im American Journal of Physics, auf Seite 348, Volume 58, Issue 4, im Anhang als PDF präsentieren.
Es handelt sich um eine nicht-relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse E=mc².

Diese Herleitung und der Artikel von Hans-Jürgen zusammen zeigen, dass sich die Formel der Abhängigkeit der Trägheit von der Geschwindigkeit, allein aus der klassischen Physik herleiten lässt.
Frances

\(\endgroup\)

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" Physik: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse" | 11 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von MontyPythagoras am Mi. 27. Dezember 2017 14:03:43

\(\begingroup\)
Hallo Frances,
was ist das inhärente Ziel Deines Artikels und des PDF-Dokumentes? Zu zeigen, dass es die Relativitätstheorie nicht braucht, um die Masse-Energie-Äquivalenz herzuleiten? Dann überzeugen mich Deine Herleitungen nicht, weder im Artikel noch im PDF-Dokument. Nicht, dass sie mathematisch falsch wären, aber sie beruhen auf einem Zirkelschluss.
Du schreibst: "Bemerkenswert an dieser Herleitung ist außer ihrer Kürze, daß sie ohne die von der Relativitätstheorie postulierten Eigenschaften von Raum und Zeit auskommt." Nein, tut sie nicht, denn die bloße Annahme einer natürlichen oberen Schranke für jede Geschwindigkeit widerspricht bereits der klassischen Physik. In der klassischen Physik wäre es ohne weiteres möglich, beliebig große Geschwindigkeiten zu erreichen, und die Annahme $E=mc^2$, mit der Du Deine Herleitung beginnst, wäre pure Willkür. Schließlich lautet die Formel in der klassischen Physik ja $E=\frac12mv^2$, und zwar ohne Obergrenze.
Ähnliches gilt für das PDF-Dokument, das mit dem Satz beginnt: "Das Äquivalenzprinzip von Energie und Masse kann durch die klassische Physik aus dem Dopplereffekt elektromagnetischer Strahlung abgeleitet werden." Stimmt auch nicht. Der Autor geht hier mit den Annahmen $E=hf$ und $p=\frac{hf}c$ ins Rennen. Damit benutzt er einerseits Zusammenhänge aus der Quantenphysik und nicht aus der klassischen Physik (wo Energie "stufenlos" teilbar war), er macht andererseits unmittelbar von $E=mc^2$ Gebrauch, nämlich bei dem Zusammenhang zwischen der Energie und dem Impuls. Der Impuls lautet bei Lichtgeschwindigkeit ja $p=mc=\frac Ec$, und nur dadurch kommt die Formel $p=\frac{hf}c$ zustande. Insofern ist es nicht überraschend, dass $E=mc^2$ herauskommt, wenn man schon mit $E=mc^2$ hineingeht.

Ciao,

Thomas\(\endgroup\)

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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von traveller am Mi. 27. Dezember 2017 20:40:40

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@MontyPythagoras

Dein Abschnitt
"[...], er macht andererseits unmittelbar von E=mc2 Gebrauch, nämlich bei dem Zusammenhang zwischen der Energie und dem Impuls. Der Impuls lautet bei Lichtgeschwindigkeit ja p=mc=Ec, und nur dadurch kommt die Formel p=hfc zustande. Insofern ist es nicht überraschend, dass E=mc2 herauskommt, wenn man schon mit E=mc2 hineingeht."

ist unhaltbar. Die Formel \(p=\frac{hf}{c}\) für Photonen kommt nicht daher, dass man in \(p=mv\) einfach \(v=c\) setzt, denn erstens gilt relativistisch \(p=\gamma mv\), was bei \(v\rightarrow c\) divergiert, und zweitens gilt diese Formel ohnehin nur für massive Teilchen, zu welchen das Photon nicht gehört. Und aus dem selben Grund gilt auch \(E=mc^2\) für Photonen nicht, sondern nur für massive Teilchen in Ruhe.\(\endgroup\)

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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von MontyPythagoras am Mi. 27. Dezember 2017 22:43:27

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@traveller
Das sehe ich anders. Die Formel $p=\gamma mv$ divergiert nur für Teilchen mit von null verschiedener Ruhemasse, die ein Photon nun einmal nicht hat. Meine Physikvorlesungen sind zwar schon ein Weilchen her, aber die Herleitung des Impulses eines Photons, dem man durchaus über die Masse-Energie-Äquivalenz eine dynamische Masse zuordnen kann, ging genau so.
Aber selbst wenn Du stattdessen die Energie-Impuls-Beziehung bemühst, um das Dilemma mit der Division "null-durch-null" zu vermeiden:
$$E^2=m^2c^4+p^2c^2$$
und nun für das Photon $m=0$ setzt, folgt daraus $E=pc$ und daraus wiederum $p=\frac {hf}c$. Wie Du es auch drehst und wendest, die Energie-Impuls-Beziehung und/oder Masse-Energie-Äquivalenz ist von vornherein mit drin, und damit wird in dem PDF-Dokument nichts fundamental neues hergeleitet. Das wäre es nur, wenn er die beiden Formeln $E=hf$ und $p=\frac{hf}c$ herleiten könnte aus komplett verschiedenen Hintergründen, die nicht über die Energie-Masse-Äquivalenz zusammenhängen. Aber den Teil lässt er geflissentlich aus. Und selbst dann wäre die Frage, ob das dann irgendetwas an der SRT oder ART ändern würde, oder ob es nicht eher nur eine andere Herleitung wäre, die am Ende auf das gleiche Ergebnis führt, inkl. Lorentztransformationen.
Offenbar können sich manche Leute nicht damit abfinden, dass die Masse-Energie-Äquivalenz und die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit immer auch gezwungenermaßen die in der SRT und ART festgehaltenen Implikationen für Raum und Zeit mit sich bringen. Ich kenne inzwischen viele Herleitungen, vor und zurück, wo der Autor die Lorentztransformationen meidet wie der Teufel das Weihwasser, als könne man sie dadurch abschaffen.
(Ironischerweise ist in dem Dopplereffekt für elektromagnetische Wellen auch schon die Zeitdilatation enthalten, die er mit dem Hinweis auf die niedrige Geschwindigkeit gleich weglinearisiert hat. Jedenfalls stimmen die Formeln für den Dopplereffekt, so wie er sie anwendet, nicht.)

Ciao,

Thomas\(\endgroup\)

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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von traveller am Mi. 27. Dezember 2017 23:46:35

\(\begingroup\)
Die dynamische bzw. relativistische Masse wird in einigermassen zeitgemässen Büchern längst nicht mehr verwendet. Versucht man, dem Photon mit der Formel $E=mc^2$ (deren Anwendung nicht erlaubt ist, da $p\neq 0$) eine Masse zuzuschreiben um etwa die gravitative Ablenkung zu berechnen, führt dies zu falschen Ergebnissen. Im Mainstream gibt es heutzutage nur eine Masse (die Ruhemasse, wenn du so willst), und diese ist Lorentz-invariant und 0 beim Photon.

Er verwendet eben gerade nicht die Formeln zum relativistischen Dopplereffekt und linearisiert irgendwas weg, sondern den klassischen Dopplereffekt, was völlig konsistent mit den Voraussetzungen ist.

Selbstverständlich folgt aus der vollständigen Energie-Impuls-Beziehung $E^2=m^2 c^4+p^2 c^2$, dass für Photonen $E=cp$, gezeigt wird hier im Gegenteil, dass man aus diesem Spezialfall für masselose Teilchen eben gerade $E=mc^2$ für massive Objekte folgern kann.

Wie der Autor erwähnt, stammt die Grundidee zu dieser Herleitung von einem gewissen Fritz Rohrlich, und sie hat es immerhin auf Wikipedia geschafft. Rohrlichs Paper ist leider nicht frei zugänglich, dafür aber ein kritischer Kommentar.

Auch wenn man Sinn und Unsinn dieser Herleitung hinterfragen oder sich überlegen kann, ob vielleicht subtil noch weitere Annahmen gemacht werden, ein Zirkelschluss ist sie jedenfalls nicht.\(\endgroup\)

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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von MontyPythagoras am Do. 28. Dezember 2017 11:57:03

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Es besteht keine Notwendigkeit, die Fettschrift zu bemühen. Ich bin nicht begriffsstutzig, ich stimme Dir nur nicht zu. Das ist ein Unterschied.
Ich wäre voll bei Dir, wenn Du oder der Autor zeigen könnte, dass für das Photon $p=\frac Ec$ gilt, und zwar komplett auf dem Fundament der klassischen, Newtonschen Physik, ohne dafür auch nur irgendeine Formel oder Beziehung zu verwenden, die aus dem Reich der Relativitätstheorie stammt, denn das scheint ja sein Ziel gewesen zu sein. Das meine ich mit Zirkelschluss. Solange auch nur entfernt die SRT in den Annahmen drin steckt, ist ihm der Versuch missglückt, sich von ihr zu lösen.
Mir ist natürlich bewusst, dass der PDF-Artikel nicht die Original-Arbeit von Rohrlich ist, sondern vermutlich eine Zusammenfassung oder gekürzte Fassung, von wem auch immer erstellt, und vielleicht hat Rohrlich in seiner Arbeit für die Annahmen überzeugende Argumente geliefert. Aber in diesem PDF-Dokument werden die beiden entscheidenden Formeln aus dem Boden gestampft, indem der Autor ganz nonchalant daran "erinnert", und genau das ist mein Kritikpunkt.
Und was soll überhaupt der "klassische" Dopplereffekt sein? Etwa ähnlich dem akkustischen Dopplereffekt, der, wie Du sicher weißt, auf der Existenz eines Trägermediums beruht? Dann hat er, wie Du leicht nachlesen kannst, zufällig genau die Formeln gewählt, die ihm gerade mathematisch in den Kram passen, blöderweise die für ruhenden (!) Sender und bewegten (!) Beobachter (gegenüber einem durch den "Äther" vorgegebenen Absolutsystem, und davon wollen wir ja wohl nicht anfangen). Oder hat er die Formeln für ruhenden Beobachter und bewegten Sender genommen, und >>linearisiert<<? Wie er hier auf die Formeln für den Dopplereffekt kommt, erklärt er ja auch nicht, aber "selbstverständlich" ist die Formel, die er anwendet, mitnichten.

Ciao,

Thomas\(\endgroup\)

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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von julian-apostata am Do. 28. Dezember 2017 12:25:27

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Na dann schaun'mer doch mal, wie sich das mit dem klassischen Impulserhaltungsgesetz vereinbaren lässt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Stoß_(Physik)#Unelastischer_Stoß

https://de.wikipedia.org/wiki/Stoß_(Physik#/media/File:Inelastischer_sto%C3%9F.gif

Man muss noch nicht mal Physikkenntnisse besitzen um sich abzuleiten, dass nach dem Stoß die Massen sich mit v/2 weiter bewegen.

fed-Code einblenden

Und schon ergibt sich ein Widerspruch zu obiger Aussage. Wenn wir die Geschwindigkeit jedoch relativistisch halbieren, erst dann wird die Aussage bestätigt,

fed-Code einblenden \(\endgroup\)

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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von Frances am Do. 28. Dezember 2017 16:23:08

\(\begingroup\)
MontyPythagoras schreibt:
was ist das inhärente Ziel Deines Artikels und des PDF-Dokumentes? Zu zeigen, dass es die Relativitätstheorie nicht braucht, um die Masse-Energie-Äquivalenz herzuleiten? Dann überzeugen mich Deine Herleitungen nicht, weder im Artikel noch im PDF-Dokument. Nicht, dass sie mathematisch falsch wären, aber sie beruhen auf einem Zirkelschluss.
Du schreibst: "Bemerkenswert an dieser Herleitung ist außer ihrer Kürze, daß sie ohne die von der Relativitätstheorie postulierten Eigenschaften von Raum und Zeit auskommt."

Entschuldigung, aber ich habe nur zwei Artikel zitiert. Beide sind nicht von mir. Was soll ich denn für ein inhärentes Ziel verfolgt haben? Wenn Du möchtest stelle ich Dir gern einen dritten Artikel zur Verfügung.
 
In seinem Werk Die Relativitätstheorie Einsteins Max Born zeigt einen anderen Beweis des Äquivalentprinzips Energie-Masse, der … behauptet er… „von Einstein selbst stammt und keinen Gebrauch vom mathematischen Formalismus der Relativitätstheorie macht.“

Die Frage ist nun: was war das inhärente Ziel von Einstein?
 
Ich habe diese Herleitung in ein PDF-File gespeichert und ich würde es Dir gern zur Verfügung stellen. Ich weiß aber an dieser Stelle nicht wie es geht.

Frances
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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von MontyPythagoras am Do. 28. Dezember 2017 17:01:00

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Hallo Frances,
wieso, es hat doch geklappt. An dem Artikel oben hängt ein PDF mit dran. Oder meinst Du noch ein anderes? Du kannst in Deinem Notizbuch (ich weiß nicht, ob Du diese Funktion schon entdeckt hast) Dateien zum Download bereitstellen.
Wann immer jemand irgendeine Herleitung veröffentlicht und dabei betont, dass die Herleitung auf der klassischen Physik beruht und nicht von der Relativitätstheorie Gebrauch macht, werde ich misstrauisch. Wenn es einfach nur eine elegante Alternative sein soll, ohne die SRT oder die ART an sich in Frage zu stellen, dann gerne. Ich bin ein Freund von einfachen Herleitungen, schon aus didaktischen Gründen.
Aber meistens möchte der Autor damit aussagen: "Seht Ihr, es geht auch ohne Relativitätstheorie" (und meint implizit: "es geht auch ohne Längenkontraktion und ohne Zeitdilatation und den anderen Firlefanz, den kein normaler Mensch versteht"). Und eigentlich immer ist es so (das ist meiner Meinung hier auch der Fall), dass irgendwo versteckt in den Startannahmen halt doch schon die RT mit drin ist, und es der Autor entweder nur übersieht oder bewusst verschweigt.
Am Ende führen alle Wege nach Rom ( biggrin ), und die Schlussfolgerungen, die zur SRT und zur ART führen, sind unausweichlich. Ich mag auch den Begriff RelativitätsTHEORIE nicht, weil der Begriff "Theorie" beim naturwissenschaftlich weniger gebildeten Mitmenschen den Beigeschmack hat, dass es nur eine von vielen möglichen Theorien ist und es nur eine Frage der Zeit ist, bis jemand kommt und sie widerlegt. Insofern fände ich einen Begriff wie "Relativitätsprinzip" sinnvoller. Die SRT und ART sind in ihren entscheidenden Aspekten so oft experimentell überprüft und bestätigt worden, dass es absolut absurd wäre, sie in Frage zu stellen. Das einzige, was vielleicht irgendwann passieren wird, ist, dass jemand sie noch einmal verfeinert, weiterentwickelt, mit der Quantenphysik vereint zur GUT, was weiß ich. Aber dann werden die SRT und ART wiederum als Spezialfälle oder Approximationen in der neuen Theorie enthalten sein.

Ciao,

Thomas\(\endgroup\)

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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von Frances am Do. 28. Dezember 2017 19:40:08

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Hallo Thomas
Ich weiß. Die Diskussion über Relativitätstheorie ist belastet (vor allem in der Vergangenheit) von Meinungen  und Hinsichten, die sehr oft nichts mit Physik und auch nicht mit dem gesunden Menschenverstand das Geringste zu tun haben. Ich verstehe auch, dass überzeugte Anhänger der Relativität (zu denen ich mich selber zähle) wie Du darüber empfindlich reagieren, wenn versucht wird die Theorie in Frage zu stellen. Das ist aber auf keinem Fall mein Anliegen. Im Gegenteil.
Ich glaube eine andere, einfachere Möglichkeit gefunden zu haben, in die Theorie einzusteigen.
Abgesehen von der Elektrodynamik, aus der ursprünglich die Lorentz-Transformationen stammen, bildet in der Mechanik das Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit der Start der SRT.
Also ein Postulat. Kein theoretisch bewiesenes Gesetz, und noch dazu schwer zu verdauen, denn intuitiv zu begreifen ist es kaum.
Nun aber kann gezeigt werden, dass ein anderer Anstieg in die Theorie möglich ist, der nicht von der LT startet sondern aus dem Äquivalenzprinzip E-M. Dass dieses Prinzip durch eine nicht-relativistische Herleitung nachgewiesen werden kann, hat außer Rohrlich Einstein selbst bewiesen.
Nun ich möchte Dir das PDF mit dem Beweis von Einstein zukommen lassen aber wie? Ich weiß wie man ein PDF an einem Artikel anhängt, aber von der Position, von der ich jetzt schreibe? Ohne das vorherige File zu überschreiben? Wie kann ich es tun?
Ciao
Francesco
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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von MontyPythagoras am Fr. 29. Dezember 2017 11:40:49

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Hallo Frances,
vielleicht wäre es besser, die Diskussion in Deinem Thread fortzusetzen. Ich werde Dir dort in Kürze antworten.

Ciao,

Thomas\(\endgroup\)

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Re: Nicht relativistische Herleitung des Äquivalenzprinzips Energie-Masse
von Frances am Fr. 29. Dezember 2017 13:53:10

\(\begingroup\)
Hallo MontyPythagoras

Du schreibst:
„Ich wäre voll bei Dir, wenn Du oder der Autor zeigen könnte, dass für das Photon p=E/c gilt, und zwar komplett auf dem Fundament der klassischen, Newtonschen Physik, ohne dafür auch nur irgendeine Formel oder Beziehung zu verwenden, die aus dem Reich der Relativitätstheorie stammt, denn das scheint ja sein Ziel gewesen zu sein. Das meine ich mit Zirkelschluss.“

Du hast vollkommen Recht Thomas. Ich habe im meinen Artikel es versäumt zu zitieren woher die Relation p=E/c aus der klassischen Physik stammt.

Die Antwort gibt uns Max Born. In seinem Werk „Die Relativitätstheorie Einsteins“, (fünfte Auflage, Springer-Verlag) schreibt er auf Seite 244:

„Einsteins Gleichung (83) E=mc², die die Proportionalität von Energie und träger Masse feststellt, ist oft das wichtigste Ergebnis der Relativitätstheorie genannt worden. Darum wollen wir noch einen andern einfachen Beweis dafür geben, der von Einstein selbst stammt und keinen Gebrauch vom mathematischen Formalismus der Relativitätstheorie macht.
Dieser stützt sich auf die Tatsache der Existenz des Strahlungsdruckers. Daß eine Lichtwelle, die auf einen absorbierenden Körper auftritt, auf diesen einen Druck ausübt, folgt aus den Maxwellschen Feldgleichungen mit Hilfe eines von Poynting (1884) zuerst abgeleiteten Satzes; und zwar ergibt sich, daß der Impuls, der von einem kurzen Lichtblitz oder Lichtstoß von der Energie E auf die absorbierende Fläche ausgeübt wird, gleich E/c ist.“ Zitat Ende.

Es folgt die Herleitung von Einstein, die ähnlich wie die von Rohrlich auf der Interaktion Materie-Strahlung basiert.

Also Danke für den Hinweis. Ich weiß jetzt wie ich in Zukunft die Qualität meines Artikels verbessern kann.

Ciao

Frances
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