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Stern Mathematik: Die Riemann Vermutung
Freigegeben von matroid am Do. 09. September 2004 19:46:45
Verfasst von Diffform -   30060 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik


Die Riemann'sche Vermutung

Bereits 1900 wurde diese Vermutung von Hilbert in seine berühmte "Liste von 23 mathematischen Problemen" zu einem Jahrhundertproblem Bernhard Riemann 1826-1866 erhoben. Die meisten dieser Probleme sind heute bereits gelöst. Nicht jedoch diese Vermutung, sie wurde deswegen im Jahr 2000 zu einem der berühmten "7 Millenium Problems" des Clay Mathematics Institute erhoben. Jedem der eines dieser Probleme löst, winken dabei 1 Million Dollar. Vielleicht sind das und der damit verbundene Ruhm der Grund für so viele (bis jetzt fruchtlose) Beweis-Bemühungen. Dieser Artikel soll einen Überblick über die mathematischen Grundlagen der Riemann'schen Zetafunktion und ihrer Bedeutung für die Verteilung der Primzahlen geben.



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Leonhard Euler
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Jacques Hadamard

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Plot der normierten Primzahlfunktion
Plot der normierten Primzahlfunktion-Zoom1
Plot der normierten Primzahlfunktion-Zoom1

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Plot der normierten Primzahlfunktion-Zoom1Vielleicht würde ihm das gefallen.
Quellen
[1] Martens, Gerriet; Mathematisches Institut der Universität Erlangen; ps-file unter http://www.mi.uni-erlangen.de/~moch/1martens.ps
[2] Math 270 Lectures, May 24-28, 2004; pdf-file unter http://www.math.uchicago.edu/~bloch/math270040528.pdf
[3] Wolfgang Blum; DIE ZEIT 03/2001; Chaos hilf; Im Internet:
Quantenphysik und die Riemannsche Vermutung
[4] Carter Bays, Richard H. Hudson; A new bound for the smallest x with pi(x)>Li(x); Mathematics of Computation, Volume 69, Number 231, Pages 1285-1296
[5] Andrew Odlyzko; Tables of zeros of the Riemann zeta function; http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html


 
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Die Riemann Vermutung [von Diffform]  
Die Riemann'sche Vermutung und die Zusammenhänge zur Primzahlverteilung sind hier einzigartig dargestellt.
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" Stern Mathematik: Die Riemann Vermutung" | 27 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Die Riemann Vermutung
von Gockel am Do. 09. September 2004 20:28:28


Hi Bastl

Danke für diesen wunderbaren Artikel. Der ist dir echt hervorragend gelungen. Und spätestens seit dem letzten Bild ist mir der Herr Riemann richtig sympathisch geworden biggrin

mfg Gockel.

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Re: Die Riemann Vermutung
von Zaos am Do. 09. September 2004 20:40:33


Hi Bastl,

Klasse Arbeit. Ich hatte ja die Ehre vorher schon einen Blick in diesen Artikel, der einen wirklich guten Überblick in diese interessante Theorie gibt, zu werfen. Es hat mir Spaß gemacht, diesen Artikel zu lesen. Weiter so.

zaotische Grüße

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Re: Die Riemann Vermutung
von matroid am Do. 09. September 2004 21:13:19


Hi Bastl,

das ist genial! Die Darstellung ist lesbar und ohne Längen. Du gibt einen sehr guten Überblick und weckst Interesse. Gut finde ich vor allem einige gelungene Überleitungen, mit denen Du dem Leser Orientierung gibst, und auch, daß Du sehr fein Deine eigene Meinung über verschiedene Forschungsrichtungen andeutest, ohne sie aber für grundsätzlich schlecht zu erklären (Zahlenjagd).
Es müßte ja nun mit dem Teufel zugehen, wenn die RV nicht wahr sein sollte. wink

Da hast Du doch nun etwas besseres getan, als hier nur aufzuräumen.

Beste Grüße
Matroid

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Re: Die Riemann Vermutung
von Diffform am Do. 09. September 2004 23:30:41


Also, danke erstmal für das Lob! Ich muß noch dazusagen, dass ich im Rahmen einer Seminararbeit, zusammen mit zwei Studienkollegen, einiges davon schon für die Uni durchgearbeitet hab, insbesondere das oben erwähnte Programm. Ausserdem hats mir Spaß gemacht diese sehr interessante Materie durchzuarbeiten! wink
Danke Zaos, fürs wiederholte durchlesen! biggrin
Und danke Matro fürs wiederfinden einiger bei einem Computerabsturz verlorengegangener fed-Passagen! Dafür würd ich immer noch gern den MP mal aufräumen oder sowas smile

Bastl

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Re: Die Riemann Vermutung
von Wauzi am Fr. 10. September 2004 00:22:25


Mit Freuden habe ich diese schöne Arbeit gelesen. Endlich mal was (zumindest peripher) aus meinem Fachgebiet; es gibt also doch noch die analytische Zahlentheorie in der Praxis.
Eine wunderschöne Darstellung des Problems und auch ein etwas eigenwilliger und anspruchsvoller Einstieg in die Fortsetzung in die komplexe Ebene. Der Weg über Fouriertransformation war mir zugegebenermaßen neu. Ich kannte das nur anders.
Sehr schön auch die graphischen Darstellungen, der Ausflug in rechnerische Ergebnisse, numerische Abschätzungen und Zahlenwerte aus dem Grenzbereich.

Nochmals mein herzlicher Glückwunsch zu diesem hervorragenden Artikel, der den Wunsch nach mehr weckt. Das Thema ist ja schier unerschöpflich.
Na ja und eines fehlt natürlich noch: der von allen ersehnte Beweis..........

im nächsten Artikel????

 
Für die, die sich in dies ernsthaft einlesen wollen, noch eine Ergänzung zu den Quellen:
Das Standardwerk von Titchmarsh über die Zetafunktion und die Zahlentheoriebücher von Landau.

sehr nullstellenvermutend grüßt Wauzi

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Re: Die Riemann Vermutung
von huepfer am Fr. 10. September 2004 15:04:23


@Bastl,

ein sehr toller Artikel, auch wenn ich einiges davon noch nicht verstanden habe. Ich finde er gibt aber dennoch auch schon für mich einen guten Überblick über Aussage und Beweisversuche der RV, dei ich zwar im einzelnen nicht nachvollziehen, aber zum Teil schon grob verstehen kann.
Eine Frage stellt sich mir aber dennoch direkt, die zugegebenermaßen nicht tief in das Thema einsteigt, sondern nur den aller obersten Rand kratzt:
Bei der Euler entdeckten Identität:
fed-Code einblenden
verwendest Du da den Fundamentalsatz der Arithmetik? Oder sagst Du, dass die Aussage äquivalent ist? Im zweiteren Fall erscheint der Beweis mir nämlich sonst mit meinem bescheidenen Wissen nicht ganz vollständig.
Andererseits ist der Fundamentalsatz ja nicht besonders schwer zu beweisen und somit besteht auch in der Aussage nicht direkt ein Problem.

Gruß
   Felix

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Re: Die Riemann Vermutung
von Diffform am Mo. 13. September 2004 23:02:39


Hallo Huepfer,

du hast vollkommen recht, man verwendet für den Beweis dieser Identität den Fundamentalsatz der Arithmetik. Damit steckt der FdA ja in dieser Behauptung, bzw. die Behauptung gilt wenn der FdA gilt, bzw. diese Identität und der FdA sind äquivalent. ich denke mal, so kann man das betrachten. Vielleicht hätte ich das oben noch erwähnen sollen...

Gruss, Bastl

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Re: Die Riemann Vermutung
von trunx am Sa. 18. September 2004 22:37:39


Auch ich fand den Artikel toll, eine Frage allerdings bleibt: Wie sehen denn diese quantenchaotischen Systeme aus, von denen du zum Schluss sprichst? Vielleicht hast du ja dafür auch einen Link.

vielen Dank trunx

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Re: Die Riemann Vermutung
von Gockel am Do. 23. September 2004 17:47:02


Hi nochmals.

Eine Frage ist mir beim nochmaligen Durchlesen aufgefallen
"40% der NST leigen auf der kritischen Gerade"... wie kann man solche angaben sinnvoll deuten? Wir haben es ja nicht mit einer endlichen Menge zu tun, sondern mit einer unendlichen Menge von Nullstellen. Wie kann ich mir davon 40% vorstellen?

mfg Gockel.

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Re: Die Riemann Vermutung
von Diffform am Sa. 25. September 2004 15:52:50


Hallo Gockel,

eine richtige Argumentation dafür habe ich auch nicht gefunden, selbst bei Mathworld steht das genau so...
Mir fallen dazu zwei Argumentationen ein:
(1) Man kann für jede Schranke >0 sagen, dass 40% aller Nullstellen bis zu dieser Schranke auf der geraden liegen

oder
(2) was mir auch noch dazu einfällt, ist dass ich in diesem Zusammenhang auch etliches über Wahrscheinlichkeiten gelsen habe. Ich könnte mir vorstellen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nullstelle auf der kritischen Geraden liegt mit 40% beziffert werden kann (das mag nicht ganz mathematisch korrekt ausgeführt sein). Es gab aber in diesem Zusammenhang Untersuchung mit stochastischen Mitteln.

Vielleicht klärt das die Frage ein bisschen...

@Trunx, ich hab das leider erst jetzt gesehen. In sämtlichen Quellen im internet waren da immer nur Hinweise zu finden, konkreter wird es in oben angeführtem ZEIT-artikel, vielleicht wenn du mal nach diesen Physikern googelst...

Bastl

P.S. Ich weiß, daß ich dieses semester etwas zur Quantenmechanik in Funktionalanalysis lernen werde, wenn ich dazu dann genaueres weiß werde ich mich nochmal melden (-;

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Re: Die Riemann Vermutung
von Diffform am Sa. 25. September 2004 16:05:05


Hier noch ein paar Sachen die ich gefunden habe:

hier
Hugh Montgomery
investigated and found that the statistical distribution of the zeros
on the critical line has a certain property. The zeros tend not to be
too closely together, but to repel. Visiting at the Institute for Advanced Study in 1972, he showed this result to Freeman Dyson, one of the founders of the theory of random matrices, which is of importance in physics due to the fact that the eigenstates of a Hamiltonian, for example the energy levels of an atomic nucleus, satisfy such statistics.

Dyson saw that the statistical distribution found by Montgomery was exactly the same as the pair correlation distribution for the  eigenvalues of a random Hermitian matrix.
Subsequent work has strongly born out this discovery, and the
distribution of the zeros of the Riemann zeta function is now believed
to satisfy the same statistics as the eigenvalues of a random Hermitian
matrix, the statistics of the so-called Gaussian Unitary Ensemble. Thus
the conjecture of Polya and Hilbert now has a more solid basis, though
it has not yet led to a proof of the Riemann hypothesis.

hier


Hier gibt es ein Verzeichnis mit Arbeiten zu diesem Thema

Und noch viel mehr was man dazu finden kann....

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Re: Die Riemann Vermutung
von micro am Do. 14. Oktober 2004 20:58:54


Hey...

Habs zwar nicht ganz gelesen, aber dass elliptische Kurven vorkommen, macht das ganze sehr sympathisch... biggrin

LG, µ

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Re: Die Riemann Vermutung
von daspan am Di. 23. August 2005 00:03:47


Danke, Diffform! Endlich weiss ich mehr oder weniger (wobei das weniger mit meinen eher beschränkten Mathematikkenntnissen zusammenhängt), worum es bei der Riemannschen Vermutung geht!

Daumen hoch!

daspan

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Re: Die Riemann Vermutung
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 12. September 2005 19:14:57


Hei Ho,
super Artikel und vielen Dank für die publizierung im Netz!
Grüße,
Johannes

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Re: Die Riemann Vermutung
von Hans-im-Pech am Di. 08. November 2005 17:00:41


Hallo Diffform,

sehr schöner, sehr interessanter Artikel!

Ich fürchte zwar, daß ich Dir an vielen Stellen nicht folgen konnte, aber das Thema und Deine Darstellung sind wirklich spannend!


Viele Grüße,
HiP

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Re: Die Riemann Vermutung
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 26. Dezember 2005 10:13:38


Guten Tag Difform,

die Darstellung ist sehr schön, für Nichtmathematiker wird es allerdings spätestens bei der meromeren Formel schwierig. Gibt es irgendwo eine Ausführung der entsprechenden Rechenschritte im Detail(für Dummies?)-
Mich würde etwas interessieren, zunächst nur die ursprüngliche Formel zeta(s)=1/z^s, Re(s)>1 betreffend: Nehmen wir zunächst s-werte,z.B. 2 auf der x-Achse: Wir erhalten die geometrische Reihe, Grenzwert (pi^2)/6(o.ä.). Dabei werden immer kleinere Vektoren (z.B. 1/4), die in der x-Achse liegen, addiert. Nehmen wir nun s mit demselben Realteil und einem Imaginärteil z.B. 0,8, so müsste meiner Ansicht nach eigentlich alles beim alten bleiben, nur dass die Gerade, auf der sich die Summation abspielt, um den Winkel i(0,8 in rad) im Uhrzeigersinn um 0 gedreht sein müsste. (Die Länge der Einzelvektoren, die letztlich summiert werden, bestimmt sich doch über den Realteil von s, während der Imaginärteil lediglich zu einer Rotation um 0 führt). Auf dieser gedrehten Gerade(Bild der x-Achse) ergibt sich aber dann derselbe Absolutwert von zeta(s) für n ->unendlich(Da dieselben Einzelvektoren, lediglich gedreht, zueinander addiert werden). Also müsste die Höhe der Zetafunktion eigentlich für alle Werte mit demselben Realteil gleich sein. Würden wir nur den Realteil oder den Imginärteil von zeta(s) auftragen, so würde sich eine gleichmäßige(Co- oder)Sinus-funktion ergeben. Tatsächlich sieht man aber in den Darstellungen der Zeta-Funktion in der ursprünglichen Formulierung für Re(s)>1 einen nicht so gleichförmigen Verlauf, sieht eher wie ein gewelltes Tuch mit unterschiedlich hohen Falten aus.
Wo liegt da der Denkfehler?

Herzliche Grüße,
Thomas

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Re: Die Riemann Vermutung
von Ex_Mitglied_40174 am So. 04. Juni 2006 16:09:49


 
  Hallo Difform!
 
  Erstmal ein dickes Lob über die genaue Darstellung der meromorphen
  Fortsetzung von Zeta. Habe schon überall danach gesucht. Riemann
  selbst gibt zwar in seinem berühmten Paper eine kurze Darstellung
  darüber, habe ich aber nicht verstanden. frown
  Achso der Vollständigkeit halber wollte ich dich noch auf einen
  kleinen Fehler aufmerksam machen. In dem Abschnitt über die Null-
  stellen von Zeta ist in der komplexen Zahlenebene (Bild über die
  trivialen Nullstellen) 2 Pfeile die auf -1 und -3 zeigen!
  Nun noch eine kleine Verständnisfrage: Ist es bei Richtigkeit der
  RV prinzipiell möglich die n-te Primzahl exakt zu bestimmen?
 
  Vielen Dank für Rede und Antwort.  

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Re: Die Riemann Vermutung
von Gockel am So. 04. Juni 2006 20:41:39


Hi Anonymous.

Es ist bei solchen Sachen immer die Frage, was "exakt" ist. Es gibt  z.B. das Sieb des Eratosthenes, mit dessen Hilfe du die Primzahlen der Reihe nach auflisten kannst.
Es gibt aber auch jene Formel:
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Das alles geht ohne RV anzunehmen und ist auch (relativ) trivial. Ist es das, was du meintest, oder wolltest du auf etwas anderes heraus?

mfg Gockel.

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Re: Die Riemann Vermutung
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 08. Juni 2006 17:06:20



  Hallo Gockel.
 
  Vielen Dank erstmal für deine schnelle Antwort. Das Sieb des
  Eratosthenes ist mir bekannt, aber die Formel für die n-te
  Primzahl hab ich noch nie gesehen. Soll das eine Näherung für
  große n sein? Woher kommt diese Formel?
 
  Würde mich über nochmalige Antwort sehr freuen.
 
   

 [Bearbeiten]

Re: Die Riemann Vermutung
von Gockel am Do. 08. Juni 2006 19:55:23


Hi nochmal.

Nein, das ist keine Näherung, das ist eine exakte Formel. Sie stammt aus diesem Thread hier Eine nette Gleichung und basiert im Wesentlichen auf dem Satz von Wilson.

mfg Gockel.

 [Bearbeiten]

Re: Die Riemann Vermutung
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 09. Juni 2006 16:17:24


 Hallo Gockel!
 
  Alles klar, die eckigen Klammern sind Gaußklammern. Jetzt ver-
  stehe ich es auch. smile  Nochmals Danke!
  Aber nochmal zurück zu Zeta. Da man die Zetafunktion auf die
  gesamte komplexe Zahlenebene meromorph fortsetzten kann, er-
  geben sich ja endliche Werte für divergente Summen, wie z.B:
  Zeta(-1)=-1/12 (was ja der unendlichen Summe über n enrspricht).      
 
  Nun meine Frage: Wie kann man das mathematisch interpretieren,                                                   und was hat das mit Renormierung zu tun?  

       

 [Bearbeiten]

Re: Die Riemann Vermutung
von Gockel am Fr. 09. Juni 2006 16:30:35


Hi.

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mfg Gockel.


 [Bearbeiten]

Re: Die Riemann Vermutung
von kostja am Sa. 03. Februar 2007 12:00:17


Wow, dieser Artikel ist Klasse!

MfG Konstantin

 [Bearbeiten]

Re: Die Riemann Vermutung
von Ex_Mitglied_40174 am So. 20. Mai 2007 16:31:57


Der nette Artikel enthält zwei Fehler: Triviale Nullstellen sind nur bei negativen geraden Zahlen (im Bild anders). Der Spezialfall der R.V. für elliptische Kurven wurde schon von Weil bewiesen, lange vor Deligne.

 [Bearbeiten]

Re: Die Riemann Vermutung
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 03. Juli 2007 21:49:52


Wenn ich eine Formel hätte mit der man exakt berechnen kann ob
eine beliebige ungerade Zahl prim oder nicht prim ist, würde mir da jemand antworten?

z.B.: wenn jemand wissen will ob die Zahl 454645477 prim oder nicht ist
muß man doch immer irgend ein Testverfahren anwenden.
Ich behaupte daß ich das mit einer einzigen Rechenoperation bewerkstellige kann.
genauer gesagt ich führe eine Division aus u. weß dann sofort
ob die Zahl Prim oder nicht ist.

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen

Gruß  H.S.

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Re: Die Riemann Vermutung
von kostja am Do. 15. November 2007 21:22:56


Hallo H.S. das glaub ich Dir nicht smile

MfG Konstantin

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Re: Die Riemann Vermutung
von Mentat am Mi. 15. Juli 2009 10:35:39


Hallo,
ein etwas verspätetes, aber nichtsdestowewniger verdientes Lob für diesen hervorragenden Artikel. Eine Kleinigkeit hätte ich auch noch: Der gute Mann heisst Deligne, nicht Delinge.
Viele Grüße,
Mentat

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