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Mathematik: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga
Freigegeben von matroid am Sa. 01. Januar 2005 00:00:41
Verfasst von syngola -   15663 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)
Winkeldreiteilung und der Satz von Haga


In diesem Artikel werde ich zeigen wie man mittels Origami beliebige Winkel dreiteilen kann und einen interessanten Satz beweisen.
Die Kunst des Origami wird uns dabei helfen, denn alles was wir im folgenden brauchen werden ist ein quadratisches Blatt Papier. Origami heisst ganz schlicht uebersetzt Papierfalten (oru=falten, kami=Papier; in der Zusammensetzung wird aus dem k ein g) und so unglaublich das klingt, reicht es dennoch aus um klassische Probleme der Geometrie zu bewaeltigen, wie etwa die erwaehnte Winkeldreiteilung, die Verdopplung des Wuerfels und der Konstruktion von n-Ecken.

1. Winkeldreiteilung



Das klassische Problem der Trisektion eines beliebigen Winkels ist mit der klassischen Geometrie, also unter von Verwendung von Zirkel und Lineal, im allgemeinen nicht zu bewerkstelligen. Der Beweis hierfuer gelang Pierre Laurent Wenzel, indem er zeigte, dass die Winkeldreiteilung bereits fuer einen Winkel von 60 Grad unmoeglich ist.
Schauen wir uns aber die folgende Konstruktion an, so werden wir feststellen und beweisen, dass es doch geht, wenn man die Beschraenkungen von Lineal und Zirkel aufgibt.

1.1 Konstruktion der Trisektion



Als erstes nehme man sich ein beliebiges rechteckiges Blatt Papier. Hierbei ist nicht wichtig, dass es genau quadratisch ist.

Vor uns ausgebreitet falten wir zunaechst zwei Hilfslinien ins Papier, wobei die entstehenden Rechtecke gleichgross sein sollen. Dabei muss nur eines gelten: die Strecken AB und BC muessen gleich lang sein, die tatsaechliche Laenge spielt keine Rolle:

Bild

In diese Konstruktion hinein falten wir nun unseren beliebigen Winkel, der zwischen der unteren Kante und dem gerade gefaltetem Knick (Strecke DG) liegen soll:

Bild

als naechsten Schritt muessen wir nun den Punkt D auf die Strecke EB und den Punkt F auf die Strecke DG falten:

Bild

Die Punkte F, E und D erzeugen nun neue Punkte F', E' und D', wir markieren die Gerade durch diese Punkte durch einen weiteren Knick. Dann drittelt der "Knick" durch DD' unseren Winkel.

Bild

1.2 Beweis:



Bild

Bezeichne der Punkt I das von D' aus senkrecht gefaellte Lot, dann sind nach Konstruktion die Dreiecke DF'E', DE'D' und DD'I kongruent und der Winkel damit exakt gedrittelt.


2 Satz von Haga und Verallgemeinerung



Wenden wir uns nun einem anderen interessanten Thema zu, dem Satz von Haga. Mit diesem Satz kann man tatsaechlich fuer jedes natuerliche n>1 ein Quadrat in n^2 Teilquadrate unterteilen.

2.1 Satz von Haga



Fuer diesen Satz faltet man ein quadratisches Blatt Papier zunaechst in Mitte, so dass zwei kongruente Rechtecke entstehen:

Bild

Im naechsten Schritt faltet man A auf B, es entsteht folgende Figur:

Bild

Markiert man die entstehenden Dreiecke ergibt sich folgendes Bild:

Bild


Der Satz von Haga lautet dann:

Satz 1:


Die Dreiecke IHG, BDC und BEF sind aehnlich zueinander und ihre Seiten stehen jeweils im Verhaeltnis von 5:4:3 zueinander.

Beweis:


fed-Code einblenden
Aus diesem Satz kann man noch weitere Schlussfolgerungen ziehen:

Corollar 1.


fed-Code einblenden

Beweis:


fed-Code einblenden

Corollar 2.


fed-Code einblenden

Beweis:


fed-Code einblenden

2.2 Die Verallgemeinerung des Satzes von Haga



Eben haben wir nur bewiesen, wie der Satz von Haga aussieht, wenn man von einer initialen Teilung einer Quadratseite in zwei Haelften ausgeht. Man kann dies jedoch verallgemeinern, da man mit dem obigen Satz aus der Zweiteilung der Seite eine Dreiteilung erzeugen kann und diese als neue Ausgangssituation verwendet. Das Faltmuster, das dabei entsteht aendert sich im wesentlichen nicht, es werden nur die einzelnen Punkte etwas verschoben (kann man sich durch einfaches Nachfalten klar machen).


Satz 2.


fed-Code einblenden

Beweis


fed-Code einblenden

Mit n=2 erhaelt man dann wieder den Satz von Haga.


Analog lassen sich auch die Folgerungen verallgemeinern. Es gilt dann:

Corollar 1'


fed-Code einblenden

Beweis:


Analog zum Beweis von Corollar 1. qed



Corollar 2'


fed-Code einblenden

Beweis.


Abermals analog zum Beweis von Corollar 2. qed

3. Schlussbemerkung



Mit den vorangegangenen Konstruktionen kann man allerhand anfangen, wenn man sich fuer Origami interessiert. Mittlerweile ist diese vermeintliche Beschaeftigung fuer Kinder laengst zu einem (kleinen) Teilgebiet der Mathematik herangewachsen und Arbeiten wie die von Tomoko Fuse (absolute Expertin fuer modulares Origami) beweisen, dass mit durch Papierfalten ermoeglichte Geometrie erstaunliche Dinge vollbracht werden koennen. Im Internet findet man daher auch einiges an Material (Stichworte "math origami"), darunter auch ein Axiomensystem als Grundlage fuer eine "richtige" ausgefeilte Geometrie.

Ich hoffe also, dass ich dem einen oder anderen vermitteln konnte, dass Origami nicht nur aus Kraniche falten besteht und durchaus ein vielleicht nicht ganz ernst zu nehmendes Thema fuer Mathematikinteressierte sein kann.  
In Zukunft koennte ich mir vorstellen diesen Artikel noch etwas zu erweitern, z.b. durch die Konstruktion der dritten Wurzel aus 2 oder gewissen regulaeren n-Ecken, die nicht alle mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind.

Gruss, syn.

 
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Winkeldreiteilung und der Satz von Haga [von syngola]  
In diesem Artikel werde ich zeigen wie man mittels Origami beliebige Winkel dreiteilen kann und einen interessanten Satz beweisen. Die Kunst des Origami wird uns dabei helfen, denn alles was wir im folgenden brauchen werden ist ein quadratisches Blatt Pa
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" Mathematik: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga" | 3 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga
von Martin_Infinite am Fr. 31. Dezember 2004 19:56:46

\(\begingroup\)
Hi syn,
 
dieser, dein erster, ist dir super gelungen! Da kann man gleich mitbasteln smile

Mögen wir noch weitere Artikel von dir lesen können.
 
Sensationell ist auch, dass matroid den Artikel erst in der Zukunft freigeben wird, aber wir ihn jetzt bereits lesen können!

Bild

 Gruß
Martin\(\endgroup\)

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Re: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga
von matroid am So. 02. Januar 2005 16:11:54

\(\begingroup\)
Hi syngola,

das ist ein wunderbares Thema, so phantasieanregend. Schön, daß Du darüber geschrieben hast. Es ist auch alles gut verständlich, wozu sicher auch die vielen Skizzen beitragen. Es gefallt mir einfach gut.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)

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Re: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga
von syngola am Do. 22. Juni 2006 20:05:02

\(\begingroup\)
Hallo,

ich wurde darauf hingewiesen, das die Dreiteilung eines beliebigen Winkels doch moeglich sei (nach Karel Markowski). Dazu ist ein wichtiger Unterschied zu beachten: die Unmoeglichkeit bezieht sich auf die Verwendung eines (unmarktierten) Lineals und eines normalen Zirkels. Sobald man das Lineal markieren darf, loest sich das Problem in Luft auf, das ist schon lange bekannt.
Aufgrund dessen werde ich den Vorschlag des anonymen Hinweisenden nicht umsetzen koennen.

Gruss, Peter\(\endgroup\)

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