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Physik: Das Paradoxon von Zenon
Freigegeben von matroid am Di. 21. März 2006 17:03:40
Verfasst von Nodorsk -   28920 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Physik

\(\begingroup\)
Das Paradoxon von Zenon



Vor ungefähr 2500 Jahren stellte Zenon von Elea ein
Paradoxon auf, das vielen bekannt sein wird.
Wenn der schnellfüßige Achilles in einem
Wettlauf der Schildkröte einen Vorsprung lässt,
wird er diese nie einholen können.          
Mit diesem und einigen anderen Beispielen vertrat Zenon die Auffassung, dass die Erkenntnisse, die wir mit den Sinnesorganen wahrnehmen, nicht unbedingt wahr sein müssen. Das Paradoxon mit Achilles und der Schildkröte sollte ein Beleg dafür sein, dass Bewegung unmöglich ist, sind doch in der Darstellung der Situation keine Widersprüche oder logischen Denkfehler vorhanden. Wie lässt sich das Paradoxon auflösen?

Das Paradoxon


Bild
Achilles will mit einer Schildkröte ein Wettrennen machen. Da die Schildkröte langsamer ist, bekommt sie einen Vorsprung. Nun geht das Rennen los. Achilles erreicht den Punkt an dem die Schildkröte zum Startzeitpunkt ist. In der Zwischenzeit ist sie aber auch ein Stück vorangekommen. Nun erreicht Achilles diesen Punkt und die Schildkröte ist wieder ein Stück weiter. So setzt sich das Rennen fort und Achilles wird seinen Gegner nicht einholen können, da dieser, wenn Achilles den jeweils letzten Punkt des Tieres erreicht, schon wieder ein Stück vorwärts ist.

Lösung eines Schülers


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Lösung mit Hilfe einer Reihe


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Bild
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Schlussbemerkung



Wie wir gesehen haben, holt Achilles die Schildkröte tatsächlich ein. Mit diesem für damalige Zeiten unauflösbarem Paradoxon wollte Zenon zeigen, dass die Welt nicht diskret ist, indem er davon ausgeht, dass sie es ist und mit Hilfe des Wettlaufes der beiden Kontrahenten zu einem Widerspruch kommt. Mit weiteren Paradoxa zeigte er, dass die Welt nicht kontinuierlich ist.
Das Unendliche, das auf diese Weise in die Analyse der Bewegung eindrang, beunruhigte die Mathematiker und Physiker bis ins 17. Jahrhundert und führte dadurch zur Differential- und Integralrechnung, die stark verbunden mit den Namen Leibniz und Newton ist, die die Kunst entwickelten, die Steigung der Tangente an eine Kurve zu bestimmen oder den Flächeninhalt eines Körpers, der von einer Kurve begrenzt wird. Seit dieser Zeit können wir die Bewegung makroskopischer Objekte sehr gut beschreiben. Doch, um es vorwegzunehmen, wissen wir noch immer nicht, ob die Welt diskret oder kontinuierlich ist. Gerade das Aufkommen der Relativitätstheorie und der Quantenphysik wirft im Hinblick auf diese Frage neue Probleme, aber auch Kenntnisse auf.
Ludwig Wittgenstein, österreichischer Philosoph des 20. Jahrhunderts, bemerkte einen "Fehler" in der Beweisführung des Paradoxons und weiterer mathematischer Konstruktionen. Er behauptete, dass Begriffe wie Grenzwert oder Reihe in sich widerspruchsfrei sind, aber nichts mit der Wirklichkeit zu tun haben. Wir können ja mal spaßeshalber einen Läufer und eine Schildkröte zur Hand nehmen und beide um die Wette laufen lassen. Wenn die Zeit, die wir berechnet haben, mit der gemessenen Zeit übereinstimmt, können wir annehmen, dass wir richtig liegen. Aber ist das auch tatsächlich ein Beweis? In wie weit erklärt die Mathematik die Natur und überhaupt, ist die Mathematik Entdeckung oder Erfindung des Menschen?
Es gibt noch viele offene Fragen, die zumindest eine Überlegung wert sind.
Die alten Griechen stehen uns in Wissbegierigkeit und Interesse am Verstehen der Natur in nichts nach und viele Fragen von damals sind auch heute noch
sehr aktuell.
Meinen Artikel möchte ich beenden mit einem Zitat über Zenon von Platon:
"Zenon sprach mit einer Kunst, die den Zuhörern dieselben Dinge gleichzeitig ähnlich und unähnlich, eins und viele, unbeweglich und beweglich erscheinen ließ."
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" Physik: Das Paradoxon von Zenon" | 31 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Das Paradoxon von Zenon
von AimpliesB am Di. 21. März 2006 20:36:25

\(\begingroup\)
Grosses Lob.\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von FlorianM am Di. 21. März 2006 20:45:31

\(\begingroup\)
Hi Nodorsk,
wunderbarer erster Artikel! Mach weiter so!

Gruss Florian\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 21. März 2006 20:50:45

\(\begingroup\)
Wesentlich interessanter finde ich das Paradoxon der Reihen in Bewegung ( jenen die es nicht kennen, hilft google gerne ). Es zeigt, das die Problematik der Relativität von Bewegungen in verschiedenen Bezugssystemen schon die alten Griechen beschäftigt hat.

Gruß Eurer Tarbaig, wie immer zu faul sich einzuloggen\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von cow_gone_mad am Di. 21. März 2006 20:52:45

\(\begingroup\)
Ach ihr smile Ich finde man sollte alles quantenmechanisch machen, siehe cosmicvariance.com/2006/02/27/quantum-interrogation/. biggrin biggrin\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Spock am Di. 21. März 2006 21:53:55

\(\begingroup\)
Hallo Dorsk,

das ist ein gelungener, schöner erster Artikel von Dir. Ich mag ihn, weil er mindestens so viele Fragen aufwirft, wie er beantwortet, und wegen dem Bild unter Deiner "Reihenlösung": Ist das tatsächlich eine griechischen Landschildkröte?

Gruß
Juergen

\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Wauzi am Di. 21. März 2006 23:15:01

\(\begingroup\)
Hallo,
diesem Paradoxon liegt, wie an einer Stelle im Artikel erwähnt, ein tieferes Problem zugrunde. Vordergründig die Frage nach kontinuierlich oder diskret. Aber weitergedacht ist dies eine Folge des damals noch nicht einmal ansatzweise verstandenen Unendlichkeitsbegriffs. Weder im Großen noch im Kleinen. Wir finden dies in der zeitgenössischen griechischen Wissenschaft an vielerlei Stellen. Am bekanntesten wohl der Atombegriff von Demokrit, der natürlich nicht auf naturwissenschaftlichen Überlegungen beruhte, sondern auch eine Folge der gedanklichen Inakzeptanz der Unendlichkeit (hier im Kleinen) war.
Man muß wohl weit in der Zeit voranschreiten, bis man dieses Problem als überwunden sehen kann. Sicher gibt es keine feste Zeitgrenze, ich persönlich neige dazu, die Namen Leibniz und Newton als Beginn der verstandenen Unendlichkeit zu sehen.
Und beim sogenannten Normalbürger ist die Unendlichkeit im Sinne einer unendlichen Aneinanderreihung, die zu etwas endlichem führt, bis heute nicht angekommen.

Gruß Wauzi\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 24. März 2006 14:01:37

\(\begingroup\)
Ich denke Folgendes:

Wenn jemand sagt, Archilles WÄRE an jenem Pukt angelangt, an dem die Schildkröte sich (irgendwann mal) befand, dann vergleicht er einen räumlichen (Orts)-Punkt mit einem zeitlichen (Zeit)-Punkt.

Und, das ist in letzter Konsequenz nicht zulässig.............

Vollkommen einverstanden.  
Michael\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Bernhard am Di. 18. April 2006 00:10:41

\(\begingroup\)
Gratuliere!
Ich finde es besonders schön, daß Du darauf hingewiesen hast, daß Zenon seine Paradoxa nicht einfach in die Luft gesetzt hat, weil ihm ein Spaß eingefallen ist, den er loswerden wollte. Er hat eben dadurch Beispiele bringen wollen, um aufzuzeigen, daß diese, geradezu "statische" Betrachtung einer Bewegung doch nicht ausreicht - obwohl wir auch heute immer wieder darauf hereinfallen.
Zur Ergänzung möchte ich hier beiden anderen Paradoxa anfügen:

Das zweite Paradoxon ist eine Art Umkehrung des ersten: Bevor ein Gegenstand, z.B. ein Pfeil die Hälfte seiner Flugbahn zurückgelegt hat, muß er erst ein Viertel des Gesamtweges durchqueren, vorher ein Achtel u.s.w. Diese Überlegung läßt sich beliebig oft wiederholen und ergibt eine unendliche Regression - womit gezeigt wäre, daß der Pfeil nicht nur nie ankommt, sondern auch nie abgeschossen worden ist!

Das dritte Paradoxon schaut auf die Bewegung an sich: Zenon betrachtet einen bewegten Gegenstand, z.B. wieder einen Pfeil während eines beliebigen Zeitpunktes im Raum und sagt "Er steht!". Wenn er aber zu jedem beliebigen Zeitpunkt sich gleichermaßen nicht bewegt, wie kann er dann fliegen?

Während die ersten beiden Paradoxa schon die Kernpunkte der Infinitesimalrechnung aufzeigen, kommt das dritte mit dem Problem der "gleichzeitigen" Messung von Ort, Zeit und Bewegung schon verdammt nahe heran an W. Heisenbergs Unschärferelation.

Nochmals ein Dankeschön für den anregenden Beitrag,
Bernhard
\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Nodorsk am Fr. 19. Mai 2006 22:48:34

\(\begingroup\)
Hallo,

ich bedanke mich bei euch wegen der positiven Kritik wink
Freut mich, dass der Artikel gefällt...

Gruß\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 22. Mai 2006 22:45:14

\(\begingroup\)
Hallo,
die rechnung sieht gut aus, jedoch glaube ich, dass ich einen fehler bei der berechnung gefunden....

an der folgenden stelle:

Statt

S_n = 1 + q(S_n - q^n)
S_n - q S_n + q^(n+1) = 1
S_n = (1 - q^(n+1))/(1 - q).

--> lim(n->\inf,S) = lim(n->\inf,(1 - q^(n+1))/(1 - q)) = 1/(1 - q)


müsste es heißen

S_n = 1 + q(S_n - q^n)
S_n - q S_n + q^(n+1) = -1
S_n = (q^(n+1) - 1)/(q - 1).

und somit
lim(n->\inf,S) = lim(n->\inf,(q^(n+1) - 1 )/(q - 1)) = 1/(1 - q)


d.h.

Sn = 1 + q^1 + q^2 + q^3... + q^n = (q^(n+1) - 1)/(q - 1)
 =! (1 - q^(n+1))/(1 - q)

es liegt ein vorzeichen fehler.


freundliche grüße

The One\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von huepfer am Di. 23. Mai 2006 15:59:51

\(\begingroup\)
Hallo The One,

wenn Du in der Originalversion sowohl Zähler als auch Nenner mit (-1) multiplizierst, erhälst Du Deine Version. Die beiden Brüche sind also identisch.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 12. Juni 2007 13:53:11

\(\begingroup\)
Hier wird die Negative Zeit außer acht gelassen! Die Schidkröte läuft langsamer als Achilles. Geschwindigkeit von S und A werden miteinander verglichen und voneinander abgezogen. Achilles 100 Kmh und Schidkröte 10 Kmh. Also 10 minus 100 gleich -90. minus 90 muss in die Rechnung mit eingebaut werden. Dadurch ist die Gleichung, auch als Paradoxon, lösbar (oder hat eine Lösung die kein Paradoxon ist)!

10 und 100 sind nur als Beispiel genommen, da ich nicht weiss wie schnell Achilles war und wie schnell die Schildkröte war oder ist.

\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 29. Januar 2008 22:18:02

\(\begingroup\)
Hallo The One, hallo Felix!
The One schreibt:
... müsste es heißen

(1) S_n = 1 + q(S_n - q^n)
(2) S_n - q S_n + q^(n+1) = -1
(3) S_n = (q^(n+1) - 1)/(q - 1).

Hier hast Du gleich 2 Fehler gemacht:
Bei (2) bleibt am Ende 1 und nicht -1
Aus Deiner Gleichung (2) folgt: S_n = (-q^(n+1) - 1)/(q - 1) und nicht die Gleichung (3).

Der eine Fehler hebt den anderen auf und am Ende, lieber Felix, stimmt es. Das geschieht leicht in der Mathematik!
Gruß, Michael\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 31. Januar 2008 08:30:24

\(\begingroup\)
Die - Rache des Achilles:
Als Achilles an die Startlinie der Schildkröte kam, stoppte er den Lauf und rief Zenon zu sich. Es entwickelte sich folgender Dialog: Achilles: Was siehst du, Zenon? Zenon: Ich sehe, dass die Schildkröte vor dir ist. Achilles: Stimmt. Und was siehst du jetzt hinter mir? Zenon: Oh, da ist ja noch eine Schildkröte. Wie kommt die da hin? Achilles: Das ist meine Haus-Schildkröte, die ich ohne dein Wissen mitbrachte und sie in die Mitte zwischen mir und deiner Schildkröte positionierte und die lief mit uns um die Wette. Sie befand sich beim Start vor mir und jetzt siehst du sie hinter mir. Kannst du mir nun erklären, wieso ich die eine überholen konnte und die andere nicht, obzwar beide gleichschnell gelaufen sind? Zenon überlegt heute noch, wie so etwas möglich ist. Gruß, Michael\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 01. Februar 2008 19:47:09

\(\begingroup\)
Lösung eines Schülers der Klasse 6

Es war einmal ein Opa, der spielte gerne mit seiner Enkelin. Als seine Annalena um die 3 Jahre alt war, hatten sie besonderen Spaß beim Nachlaufen. Später, als Annalena die vier Grundrechnungen beherrschte, stellte der Opa Annalena folgende Aufgabe:
Nehmen wir an, du hättest beim Nachlaufen einen Vorsprung von 12 m und du liefest immer nur gerade aus. Kannst du mir dann berechnen, wie weit du und ich laufen werden, bis ich dich einhole, wenn ich 3 Mal schneller laufen würde als du?
Nach einer Weile antwortete Annalena: Ich werde 6 m und du wirst 18 m weit laufen.
Auf die Frage des Opas, wie sie denn auf das richtige Ergebnis kam, antwortete sie:
Opa, das ist doch wirklich einfach, echt easy:

Wenn ich von deiner Laufstrecke meine, die 3 Mal kürzer ist abziehe, bleiben 2 meiner Laufstrecken für den Vorsprung. Ich muss somit 12 m durch 2 teilen und das ergibt 6 m für mich, und verschwand.

Eine Aufgabe für den nächsten Mathematik PISA-Test für Schulklasse 6!!!
Man kann somit auch ohne algebraische- oder Grenzwert-Kenntnisse den Einholweg berechnen. Gruß, Michael\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am So. 03. Februar 2008 10:08:27

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Hallo, Nodorsk!

Vergleiche ich deinen Artikel mit dem aus der Wikipedia, dann stelle ich fest, dass in der Wikipedia der Vorhang fällt und alle Fragen sind befriedigend beantwortet, während bei dir noch Fragen offen bleiben. Dieser Meinung bin auch ich und deine Präsentation gefällt mir auch ganz gut. Auch ich stellte mir die Frage:
Wie (zeitlich) lange laufen die beiden, bis sie einander begegnen?
Als Antwort fand ich nur eine bestimmte Länge des Einholweges von Achilles und der Schildkröte, wohingegen ihre gemeinsame Laufzeit unbestimmt bleibt.
Bei deiner Lösung eines Schülers enthält der letzte Term für den Einholweg, wie auch für die Einholzeit zwei unbekannte Größen. Es sind dies die Geschwindigkeiten der beiden Läufer. Diese sind unbekannt: Für Zenon gibt es nur ein schneller, aber kein schnell!  
Du kannst im Term des Einholweges Zähler und Nenner durch vs dividieren und erhältst so S = (W*k)/(k-1), wo k das Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten ist. Das ergibt einen bestimmten Zahlenwert. Das geht leider nicht beim Einholzeitterm. Die Einholzeit bleibt unbestimmt: [T = W/ (vs*(k-1))].
Wie groß sie ist, hängt von der Geschwindigkeit ab, mit der Achilles (und dann auch die Schildkröte) läuft. Für die Einholzeit gibt es so unendlich viele mathematische (theoretische) Antworten.
Die vorgestellten mathematisch-physikalischen Lösungsverfahren ergeben unendlich viele Lösungen.
In Wirklichkeit gibt es nur eine Lösung: Achilles wird mit der ihm größt-möglichen Geschwindigkeit laufen (er wird seine Beine mit größter Frequenz und mit größter Schrittlänge bewegen bzw. mit einem Kompromiss zwischen diesen).

Fazit:
Auch in den so genannten mathematisch-physikalischen Lösungen gibt es die Möglichkeit des . . ., und so weiter, des so Weitermachens.
Das Merkmal des Unendlichen ist somit nicht beseitigt, es äußert sich bloß in einer anderen Form:
Man kann  zu einer Lösung (einem Größenpaar Weg-Zeit), immer wieder eine andere Lösung angeben. Deshalb kann man behaupten, dass das Paradoxon so mathematisch-physikalisch nicht gelöst ist.
Zenon behält (mit seinen Voraussetzungen)  Recht.

Zenon führt ein Gedankenexperiment durch, um etwas vorauszusagen. Dazu benötigt er eine bestimmte Anzahl von Angaben, das sind bei ihm der räumliche Vorsprung und das Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten.
Wodurch bekommt er eigentlich die Möglichkeit des Weitermachens? Aus dem rein mathematischen Verfahren (mit den Grundrechnungen oder des Grenzwertes einer mathematischen Reihe) wird man nicht auf einen rettenden Gedanken stoßen, wohl aber aus dem algebraisch-physikalschen Verfahren: Es fehlt eine dritte Angabe.
Ein räumlicher Vorsprung schließt immer auch einen zeitlichen Vorsprung ein (seit Einstein-Minkovski heißt es: Es gibt keine Zeit oder Raum an sich, es gibt nur eine räumliche Zeit bzw. einen zeitlichen Raum).
Beim Wettlauf beziehen wir uns auf die Startlinie des Achilles. Gewährt man der Schildkröte einen Vorsprung, muss sie eigentlich erst dorthin kommen. Dafür braucht sie aber eine ganz bestimmte Zeit (auch bezogen auf die Startlinie des Achilles) und diese muss man angeben (so kennt man auch die Geschwindigkeit der Schildkröte). Die Möglichkeit des Unendlichen kann so nicht mehr erscheinen: Man erhält damit nur eine einzige, eine eindeutige Lösung.

Eine mögliche Erklärung, warum die alten Griechen das Paradoxon nicht lösen konnten:

Die Griechen des Altertums kannten den Bruch-Begriff nicht, sie sprachen nur von Verhältnissen, d. h. sie verglichen eine Zeit mit einer anderen und einen Weg mit einem anderen. Zeit und Weg, zu einer Einheit zusammenzufassen wäre für sie unvorstellbar, inakzeptabel gewesen. Erst nach Hunderten von Jahren, als die Bruchzahlen eine Selbstverständlichkeit waren, konnte man die geradlinig-gleichförmige Bewegung mit dem physikalischen Geschwindigkeitsbegriff vollständig beschreiben (seit dann gibt es die Einheit Raum-Zeit oder Zeit-Raum, so richtig bewusst, ist dies uns erst in unserer Zeit).

Zenons Verdienst liegt darin, dass er eine Lücke in der Gedankenwelt seiner Zeit aufspürte, doch leider hat er diese falsch interpretiert: Er war eben ein Kind seiner Zeit, so wie wir Kinder unserer Zeit sind.

Auf deine Bilder werde ich noch zurückkommen (Endfazit).
Gruß,
Michael












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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 05. Februar 2008 10:47:20

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Hallo, Nodorsk (Fortsetzung und Ende),

wie Recht doch Wittgenstein hat. Eigentlich wissen es ja alle schon längst:
Theorie und  Praxis (erfahrene Wirklichkeit) sind zwei Paar Stiefel.
Jede Theorie ist eine Verknüpfung von Begriffen, die ihrerseits Abstraktionen sind. Jede Abstraktion ist ein Ignorieren, es werden immer, mehr oder weniger Merkmale von dem was ich meine vernachlässigt, ignoriert. Je höher die Abstraktion ist, desto weniger Merkmale besitzt der Begriff, andererseits umfasst er aber quantitativ mehr Dinge. So umfasst der Begriff Punkt in der Mathematik und theoretischen Physik alles was sich bewegen kann. Achilles und die Schildkröte werden als Punkte aufgefasst. Aber auch die Orte, an denen sie gerade sind, und die Zeit natürlich auch. Nur was sind eigentlich Zeit-Punkte, Körper-Punkte, Orts-Punkte? Nichts als Abstraktionen auf der höchsten Ebene.

Und nun zu deinen zwei Bildern von Achilles und der Schildkröte. Das sind zweidimensionale Darstellungen von dreidimensionalen Geschöpfen, also fehlt schon einmal etwas. Die mathematisch-physikalische Lösung geht noch weiter und macht sie Null-dimensional, d. h. ignoriert alle Ausdehnungen. Nun mag das manchmal aufgehen, nicht aber bei lebenden Geschöpfen, denn diese bewegen sich dadurch, in dem sie sich selbst deformieren, ihre Ausdehnungen ändern. Das bringt mich zu Platon den du ins Spiel, in den Kontext bringst, dafür Danke ich dir. Wir sprechen von Achilles in der Einzahl unterscheiden aber äußere und innere Teile, wie Beine, Arme, Kopf oder Herz, Nervensystem u. s. w. (Bis zu den Molekülen, etc will ich gar nicht gehen), d. h.
Achilles ist nicht nur Eines für uns, sondern auch Vieles, nur kann ich nicht beide gleichzeitig Denken. Ich kann mich bewusst nur auf einen Aspekt konzentrieren (ich kann nur Einem nachlaufen und nicht Zweien, die in verschiedene Richtungen laufen). Nun ist es bei Achilles und der Schildkröte so, dass die Teile, die wir an ihnen unterscheiden sich während der Fortbewegung nicht gleich bewegen:
Die Beine bewegen sich anders als die Arme und anders als der Kopf, um nur einige zu erwähnen. Bewege ich nur die Arme, so werde ich beim Stehen auf den Füßen nicht fortschreiten können. Die Beine sind der entscheidende Faktor für die Fortbewegung. Wenn ich allerdings nur ein Bein bewege bin ich auch noch nicht fort-geschritten, erst die Einheit von einem Fuß nach vorne bewegt, gefolgt vom Nachziehen des zweiten ergibt eine fortschreitende Bewegung der Einheit Achilles. Anders gesagt:
Achilles kann sich gar nicht von Zeitpunkt zu Zeitpunkt bewegen sondern immer nur in einem Zeitintervall (was kein Zeitpunkt ist):
Es ist sinnlos (zumindest in diesem Fall) die Zeit ohne Ende weiter zu teilen (eine kleinere Zeiteinheit zu wählen).

Nun muss ich aber Schluss machen. Wer Lust und Zeit hat, kann den Faden weiter spinnen um daraus zu einer neuen Schlussfolgerung zu kommen.
Was mich immer wieder erstaunt und fasziniert, ist die Tatsache, dass es so viele Betrachtungsweisen (aus denen ich auch immer wieder was Neues erfahre) für so eine kurze und so einfache, um nicht zu sagen, banale Geschichte (Achilles muss nur dorthin laufen, wo die Schildkröte sein wird, und nicht dorthin wo sie war, auch dann, wenn dies ohne Ende (gedanklich) geht) gibt. Unter diesen gibt es welche die das gesteckte Ziel erreichen, andere aber in die Irre führen.

Besuche doch 'mal de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Istvancsek
Gruß,
Michael
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Die Lösung:
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 03. Mai 2012 23:38:59

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Stellen Sie sich vor, das Rennen zwischen Achilles und der Schildkröte wäre mit einer Filmkamera aufgenommen worden und unsere Beobachter sehen sich jetzt den Film an.
- Der naive Beobachter läßt den Film einfach ablaufen und freut sich dran.
- Der physikalische Beobachter läßt den Film an vier - zeitlich gleich weit entfernten Stellen anhalten, notiert sich die Zwischenstände und läßt dann jeweils weiter laufen.
- Zenon hingegen sieht sich den Film bis zur Hälfte ganz normal an, schaltet dann den Projektor auf Zehnfach-Zeitlupe, stellt fest, daß Achilles (bei der Projektion) für den wesentlich kürzeren Weg nun genauso lange braucht wie zuvor für den langen, schaltet nun auf hundertfache Über-Zeitlupe, macht wiederum die gleiche Beobachtung von Achilles Langsamwerden und schaltet dann auf Super-, schließlich auf Giga-Zeitlupe usw. usf.
Das heißt: Zenon "beobachtet" in diesem Gedankenexperiment gar nicht, daß Achilles die Schildkröte niemals einholen wird.
Sondern?
Sondern er weigert sich einfach, hinzuschauen, solange hinzuschauen, bis Achilles das Tier eingeholt hat. Indem er die Beobachtung, nur die Beobachtung, nicht den tatsächlichen Ablauf
ad infinitum zerdehnt, kommt er zu seinem sensationellen, beunruhigenden Paradox "Achilles ist ganz knapp hinter der Schildkröte. So, in der Bewegung eingefroren, wie die beiden
jetzt sind, lassen wir sie stehen und diskutieren die nächsten zweieinhalb Jahrtausende darüber, warum Achilles die Schildkröte nicht einholen kann."
Hätte Zenon die Geschichte auf diese Weise erzählt, hätte er niemals Generationen von Philosophen und Mathematikern zum Narren halten können. So aber zwingt er sie mit einem Taschenspielertrick zu komplexen Infinitesimalgleichungen, wo Kopfrechnen - ach was! - Nachdenken

www.theodor-rieh.de/heinrich/Matarazzo.html

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 08. Dezember 2012 10:09:45

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Zum Paradoxon von Zenon:

Hallo.

Ich bin zwar kein Mathematiker, aber ich dachte immer, dass Mathematik mit Logik zusammenhängt.

Nun beschäftige ich mich mit den Zenonschen Paradoxien fast 8 Jahre und kann es immer noch nicht fassen, dass es doch nicht so ist. Für die Physiker, die auch Mathematiker sind, gilt Newton als deren Er-löser, da er vermeintlich genial die Differentialrechnung erfand. Sie glauben fest daran, dass er damit die Zenonschen Paradoxien gelöst hat. Die Mathematiker sind zwar skeptisch, aber immer wieder sieht man mathematische vermeintliche Lösungen der Pfeilbewegung.

Ist es denn so schwer, zu verstehen, dass das Unendliche, das eben  »unbegrenzt« bedeutet, nicht durch mathematische Gleichungen begrenzt werden kann? Tut denn die Analysis nicht gerade dies?

Die Paradoxien sind doch in erster Linie ein philosophisches Problem. Denn die Bewegung hängt mit der gesamten universellen Existenz zusammen. Ob es eine Bewegung gibt oder nicht, ist doch die Kardinalfrage. Wie sollte es ohne Bewegung das geben, was wir wahrnehmen?

Die Paradoxien sind jedoch auch ein physikalisches Problem, da sie mit physikalischen Größen – wie Länge, Geschwindigkeit und Zeit – zusammenhängt.

Aber die dichotomische Bewegung in der Zenonischen Weise existiert in unserer Welt – die die Physik untersucht - nicht. Dabei scheint sie zum unendlich Kleinen zu führen. Damit wird allerdings das Problem gleichzeitig Metaphysisch.

Wenn Ihr sehen wollt, wohin die Reise führt, wenn man diese Probleme LOGISCH und nur LOGISCH anpackt, besucht doch meine kürzlich aufgestellte Seite:  www.stamoulis.de/
Ich hoffe dass Ihr so neugierig seid. Und solltet Ihr das getan haben, erzählt es auch Euren Kollegen. Das Thema ist nicht ein Kuriosum, wie es mehr oder weniger aufgefasst wird, sondern brisant. Es geht uns alle etwas an. Das müsste doch allmählich diskutiert werden.

Solltet Ihr sogar die Kurzfassung der Lösung in Eure Site aufnehmen könnt Ihr es tun – allerdings indem Ihr den Verfasser und die Quelle nennt und es mir mitteilt.

Meine Grüße
Basil Stamoulis
bstamoulis@yahoo.de

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 09. April 2013 18:59:36

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Soweit ich weiß ist das gar nicht das Paradoxon. Die Rechnung wurde schon  länger gelöst als vor dem 17.jahrhundert. Das eigentliche Paradoxon ist ja das folgende: Ist die Handlung zu Ende, dann müsste es doch einen letzten Schritt gegeben haben, doch die Unendlichkeit hat doch gar kein Ende, auch wenn sie in endlicher Zeit stattfindet.

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 22. April 2013 14:14:03

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Sie Nodorsk schreiben:
"Nun geht das Rennen los. Achilles erreicht den Punkt an dem die Schildkröte zum Startzeitpunkt ist. In der Zwischenzeit ist sie aber auch ein Stück vorangekommen. Nun erreicht Achilles diesen Punkt und die Schildkröte ist wieder ein Stück weiter."

Ich Istvancsek schreibe:
"Nun geht das Rennen los und Achilles läuft immer dorthin wo die Schildkröte (kurz vorher) war.  
Wie soll Achilles auf diese Art die Schildkröte einholen? "war" ist Vergangenheit!!!
Das Einholen findet aber in der Zukunft statt: Achilles muss bis dorthin laufen, wo die Schildkröte sein wird, wenn er sie einholen wird.
Das so genannte Paradoxon ist ein Sprach- und kein mathematisches Problem.


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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Wauzi am Di. 23. April 2013 00:51:22

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Dies ist kein Sprachproblem, sondern real mathematisch.

Er holt sie deshalb ein, weil er in endlicher Zeit unendlich viele Abschnitte durchläuft. Im Endlichen haben wir zwar das "war", aber dieses "war" konvergiert gegen das "ist", dh nach den unendlich(!) vielen Wegabschnitten fallen Vergangenheit und Gegenwart zusammen. Das ist vergleichbar dem "kleiner" bei einer konvergenten Folge, bei der für den Grenzwert nur noch "kleiner gleich" gilt\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 23. April 2013 09:01:52

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Istvancsek antwortet:
Man kann ein einfaches Ereignis auch furchtbar kompliziert beschreiben, wie es Wauzi unbedingt haben möchte. Um jemanden einzuholen benötige ich einen einzigen Zeitabschnitt und nicht unendlich viele. Wenn ich 10 Mal schneller laufe als die Schildkröte und diese einen Wegvorsprung von 90 m hat, so werde ich diese nach 100 m eingeholt haben. In welcher Zeitspanne bzw. Zeitabschnitt?

Es kann "mathematisch" bzw. theoretisch eine Milli-Sekunde oder auch ein Jahrhundert dauern, real hängt es davon ab, wie schnell ich laufen werde: Zenons Prämisse - schneller und Wegvorsprung -  führen zu beliebig viele Antworten bzw. Lösungen. Diese unendlich vielen Lösungen können Sie nur mit dem Begriff schnell und nicht mit dem relativen Begriff schneller auflösen. Anders gesagt:

Zenons Prämisse führen zu unbestimmten bzw. beliebigen Bewegungen, sie können nicht zu eindeutigen Bewegungen führen. Das ist das Problem. Zenon konnte den Begriff schnell nicht definieren!!! Es sollten noch über 20 Jahrhunderte vergehen, bis die Menschheit fähig war diesen Begriff zu definieren.
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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Wauzi am Di. 23. April 2013 23:13:46

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Natürlich wird die Schildkröte nach nur einer Zeitspanne eingeholt, dies ist eine Fundamentaltrivialität, weil ich beliebig viele Zeitspannen immer zu einer zusammenfassen kann.
Das Paradoxon geht aber von unendlich vielen, immer kleiner werdenden Zeitspannen aus. Und damit ist im endlichen Fall die Schildkröte eben nicht einholbar, sondern erst nach Durchlaufen unendlich vieler Zeitabschnitte, die in der Formulierung des Paradoxons definiert werden. Und damit ist die Erklärung, daß es sich um keinen Widerspruch handelt, nur in der Betrachtung der Unendlichkeit dieser Zeitspannen zu finden.
Bei der Beurteilung einer logischen Überlegung ist es nun mal geboten, sich an die Prämissen dieser Überlegung zu halten und nicht mit völlig anderen Gegebenheiten zu argumentieren.\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Bernhard am Mi. 24. April 2013 00:57:01

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Hallo Wauzi!

Ich habe tatsächlich auch schon einmal in diese Richtung gedacht. Teilweise scheint es wirklich ein Sprachproblem zu sein.
Hier sind zwei Wege, der von Achilles und der der Schildkröte, die sich aus immer kleiner werdenden Teilstrecken zusammensetzen.
Und daneben läuft die Zeit, die ebenfalls so beschrieben wird. Nur daß durch die Art der Erzählung der Geschichte, die Zeit des Achilles gegenüber der der Schildkröte quasi versetzt zu sein scheint. Wenn man sich das auf einem Diagramm als Kurven aufzeichnet, ist natürlich alles eindeutig. Aber in der sprachlichen Beschreibung, die ja kein gleichzeitig kennt, kann das schon irritieren.

Viele Grüße, Bernhard

PS.: Das ist übrigens auch ein Phänomen, daß einen bei vielen perpetuum mobile täuscht: Man vollzieht hintereinander einzelne Bewegungen, z.B. eines Eimer in einem Schöpfrad nach sieht, daß er, wenn er sich lehrt, den nächsten füllen würde, der das Rad weiter antreibt o.ä. Das würde vielleicht gehen, wären nicht gleichzeitig auf der anderen Seite noch die anderen Eimer, die ebenfalls laufen sollen.\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 24. April 2013 11:31:31

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Hallo Wauzi!
Istvancsek meint:
Die Prämisse im Paradoxon sind eindeutig: Achilles läuft schneller und die Schildkröte hat einen Weg-Vorsprung, nicht mehr und nicht weniger!  
Und jetzt stellt Zenon die notwendige Bedingung: Achilles muss vorher an den Startort der Schildkröte kommen, bevor er sie einholt. Damit hat er einwandfrei Recht. Der Begriff vorher teilt aber die Einholzeit in genau zwei - nicht mehr und nicht weniger - Zeitabschnitte. Das Problem ist nur, dass Zenon diesen Gedankengang stets wiederholt, was eigentlich nicht notwendig ist.
 
Der Startpunkt der Schildkröte ist irrelevant: die vorher Bedingung gilt für jeden Ort des Weges, der zwischen dem Startort des Achilles und dem Einholort liegt. Bevor Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht muss er doch alle voranliegenden Punkte erreichen. Erst nach dem Achilles den Startort der Schildkröte erreicht hat, kommt der Begriff schneller ins Spiel: die Strecken werden kürzer. Der Begriff schneller muss aber im Denkansatz enthalten sein, allein mit diesem kann man die Einhollänge - verständlich, ohne unendlich - bestimmen.

Zenon stellt eine notwendige Bedingung allein für den Weg bzw. Startort auf der Strecke, übersieht aber, dass er auch eine notwendige Bedingung für die Laufzeit stellen muss. Ich überlasse es Ihnen, Wauzi diese zu stellen.

Die Mathematiker bestimmen nur den Einholweg mit dem Grenzwert - nicht mehr und nicht weniger, lösen aber damit nicht das Paradoxon, den Denkfehler Zenons.

freundliche Grüße, Istvancsek



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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 24. April 2013 12:06:43

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Hallo Bernhard!

Wenn Sie Zeit und Lust haben, können Sie sich mal
www.zenon-achilles-schildroete.info ansehen.

freundliche Grüße, Istvancsek

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 24. April 2013 12:13:48

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Sorry!

es soll www.zenon-achilles-schildkroete.info heißen.

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 06. Januar 2014 04:45:53

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Hallo Istvancsek


Auf
www.zenon-achilles-schildkroete.info/

Unter "Zahlenaufgaben" 1. steht:

"Mit der Definition des Grenzwertes wird aber ein konstantes Element eingebracht: eine frei wählbare reelle Zahl ε > 0 – beliebig klein -, welche danach im Beweisverlauf nicht mehr geändert wird, die – de facto - einen festen, einen konstanten Abstand zum Einholpunkt festlegt."  


Für den Beweis eines Grenzwertes muss dies für jedes(!) (beliebig kleine) ε > 0 gezeigt werden. Das ist keine Konstante, sondern eine Variable und es muss für jede ihrer möglichen Werte gelten. Damit kommt die geom. Reihe dem Einholpunkt "beliebig nah" (was eine schwammige Formulierung ist, im Gegensatz zur formalen Grenzwert-Def. mit ε).

Abgesehen davon ist für die Auflösung des Paradoxons einzig entscheidend, dass die unendliche Reihe beschränkt ist, also nicht über jede Schranke ins Unendliche wächst. Es reicht irgendeine Schranke anzugeben, den exakten Grenzwert (= kleinste Schranke) braucht man nicht unbedingt.

 Deine Argumentation taugt nicht.

Conrad\(\endgroup\)

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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 04. Februar 2015 00:53:02

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Hallo Konrad

Sie haben Zenon nicht verstanden. Zenon behauptet doch nicht, dass irgendetwas uneingeschränkt groß wird. Zenon behauptet, dass der Abstand zwischen der Schildkröte und Achilles sich nicht auflöst. Ihre erwähnte Schranke gilt ja für beide, vor dieser Schranke gibt es aber den Abstand, den Weg-Vorsprung weiterhin.

Während der Beweisausführung ändert sich doch der einmal gewählte Epsilonwert nicht mehr. Anscheinend haben Sie noch nie den Beweis ausgeführt.

Istvancsek
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Re: Das Paradoxon von Zenon
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 04. Februar 2015 01:03:11

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Sorry, es soll Conrad heißen und nicht Konrad.

Zenon wollte eigentlich zeigen, dass man eine Strecke nicht in unendlich viele Teile teilen kann, endlos teilen kann.

Istvancsek  
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