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AZ
DD
Einträge zum Stichwort Mathematik
Kurze allgemeine Beschreibung des Bundeswettbewerbs Mathematik
Für wen ist der Wettbewerb gedacht?
Der ist ein mathematischer
Schülerwettbewerb für alle an Mathematik Interessier
Für Schüler der Klassen 1-13 gibt es hier alle 2-3 Monate neue Aufgaben, und wenn man die richtige Lösung bis zum Abgabetag einsendet, dann bekommt man eine staatliche Urkunde! Meine Tocher hat schon mal eine bekommen und sich darüber sehr gefreut. [die links funktionieren leider nicht mehr]
Ein Wettbewerb für Teams oder ganze Schulklassen. Fragt doch Euren Mathelehrer, ob ihr teilnehmen könntet.
Aus den Teilnahmebedingungen:
Zum vierten Geburtstag des Mathe-Treffs findet für alle Schüler/innen der Jahrgangsstufen 5-12 ein Online-Team-Wettbewerb am Montag, dem 2. Juli 2001 statt.
Ich möchte auf eine Veranstaltung der LMU München hinweisen:
TAG DER MATHEMATIK 2001
am 7. Juli 2001 in München
für Schülerinnen und Schüler von der 5. bis
zur 10. Jahrgangsstufe
Im Programm sind Vorträge, Wettbewerbe un
: Interessierte Studenten :: News :: Wissenschaft Mathematik :: Über Wissenschaft :: Zeitschrift :: Wettbewerbe :: Mathematik :Wer Lust hat, nicht nur etwas über Mathematik zu erfahren, sondern
auch Tipps zu Filmen und Büchern sowie vieles andere mehr, schaue
doch bei www.kreiszahl.de vorbei. Die e-zine's stehen als pdf-Dateien zum Download bereit! Viel Freude beim Lesen!
Man ermittle alle Trippel (x,y,z) ganzer Zahlen, die jede der folgenden Gleichungen
erfüllen
(a) x³ - 4x² - 16x + 60 = y
(b) y³ - 4y² - 16y + 60 = z
(c) z³ - 4z² - 16z + 60 = x .
Vor Wochen hatte - ich glaube eine gewisse Kathy -
Pierre de Fermat wurde Ende 1607 oder Anfang 1608 in Beaumont-de-Lomagne geboren und starb am 12. Januar 1665 in Castres.
Fermat war ein französischer Mathematiker und Jurist.
Er hat wichtige Beiträge zur Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Variations- und Differentialrechnung geleistet.
Dieser Artikel beinhaltet eine Biographie Fermats und die Lösung der Fermatschen Vermutung mit zahlreichen Links.
Zwischen Genie und Wahnsinn – das Leben des genialen Mathematikers John Forbes Nash
Manchmal schreibt das Leben Geschichten, die wundervoll und tragisch zugleich sind. Der Lebenslauf von John F. Nash ist zweifelsohne eine dieser Geschichten. Der Autor eines Bestsellerromans hätte sich eine solc
Leonhard Euler wurde 76 Jahre alt und war bereits mit 20 Jahren Professor (Akademiker). Er hat auf allen Gebieten der Mathematik gearbeitet, die damals bekannt waren. Für manche mathematischen Gebiete gilt er als der Begründer. Daneben beschäftigte er sich mit Physik, Ast
Zum ersten soll es um Jakob I. Bernoulli gehen, der vorallem die Wahrscheinlichkeitstheorie geprägt hat.
Jakob I. Bernoulli (*6. Januar 1655 in Basel; † 16. August 1705 ebenda) war ein schweizerischer Mathematiker und Physiker.
Das angegebene Geburtsdatum bezieht sich auf den Gregorianischen Kalender, der zum Zeitpunkt der Geburt Bernoullis maßgeblich war.
Da in vielen anderen Regionen Europas zu dieser Zeit aber der Julianische Kalender galt, wurde er dementsprechend am 27. Dezember 1654 geboren.
Jean Le Rond d'Alembert - ein vielseitiger Physiker und Mathematiker [von Hans-Juergen]
(huepfer/Gockel)
(huepfer/Gockel)Ich greife einen Vorschlag von mudo-san auf, die sich Artikel über berühmte Physiker wünschte.
Diesmal soll es Jean-Baptiste le Rond, genannt d'Alembert, sein, der sowohl ein ausgezeichneter Physiker wie Mathematiker war.
Visualisierung des Sachverhalts durch ein Java-Applet (wireframe). Lösung durch Integrationsformel für Rotationskörper, hängt nicht vom Radius ab:
Challenge
Wer meine anderen Sites kennt, dem ist die Aufgabe vielleicht schon bekannt.
Wie lang ist die Periode der dezimal geschriebenen Zahl 1:10000019, und wie heißen ihre letzten fünf Ziffern?
Zeige: Der Graph von |x+y|+|x-y|=a ist in einem kartesischen Koordinatensystem ein Quadrat der Seitenlänge a.
Eine der größten öffentlichen Uhren ist die Turmuhr in
Berlin-Siemensstadt. Ihre Stundenzeiger ist 2,20m, der Minutenzeiger 3,40 m lang. Welche Wegstrecke legt die Spitze des
Minutenzeigers in einer Stunde zurück?
Ein Tipp ist unter Kommentare
Man zeige, dass alle Zahlen der Formen
sind und sage etwas über
das Aussehen der Wurzeln daraus aus.
Gegeben zwei sich nicht berührende Kreise K1, K2 mit den Mittelpunkten M1, M2 und den Radien r1, r2.
Schlage um den Mittelpunkt der Strecke M1M2 einen Halbkreis durch M1. Schlage um M2 einen Kreisbogen mit dem Radius r2-r1, der den Halbkreis im Punkt P schneide. Verlängere die Strecke M2P so, daß s
Dies ist eine Aufgabe der 4.Runde der Mathematik Olympiade für 11. - 13. Klässler:
Zu zwei sich berührenden Kreisen K1, K2, deren Mittelpunkte und Radien gegeben sind, soll mit Zirkel und Lineal eine gemeinsame Tangente t konstruiert werden. Dann soll ein dritter Kreis K konstruiert werden, der t und die beiden Kreise berührt.
(Wen 's interessiert - Lösungsansatz für den zweite
In einem normalen Koordinatensystem werden auf der positiven x-Achse der Punkt F und auf der positiven y-Achse der Punkt Q abgetragen. Der Mittelpunkt der Strecke QF sei M. Die Senkrechte durch QF bei M schneidet den Kreis K, dessen Mittelpunkt M und dessen Radius MQ ist, in 2 Punkten,
P+ und P-. Wie lauten die Gleichungen der Ortskurven dieser Punkte?
Der Ort aller Punkte, für die das Verhältnis der Abstände von 2 Punkten konstant ist, ist ...
Bekanntlich gibt es Summenformeln zu bestimmten Reihen, so ist zum Beispiel: 1+2+3+...+n = 1/2 * n * (n+1) Findet jemand eine entsprechende Formel zu:1^1+2^2+3^3+4^4+...+n^n
Gibt es eine solche Formel hier überhaupt ??? Viel Spaß beim Knobeln McJoe
... man habe eine unendliche Ebene, die eine unendliche Ansammlung von Punkten darstellt. Jeder dieser Punkte kann entweder schwarz oder weiß sein, aber nie beides.
Man beweise mir, dass es in dieser Ebene ein gleichseitiges Dreieck gibt, dessen Eckpunkte alle dieselbe Farbe haben.
Nichts hatte darauf hingewiesen. Die einschlägigen Usenet-Groups hatten keine Hinweise gegeben.
Vor dem heutigen Abschluß des dreiteiligen Vortrags von Chau Vi Ling - einem jungen chinesischen Mathematiker, der zur Zeit an der University of Oafishness im schottischen Diligence ein Forschungsjahr ve
Um Rekursion zu verstehen, muß man zunächst Rekursion verstehen.
Einen "Leitfaden Rekursives Programmieren" gibt es bei EducETH. Eine kurze Beschreibung des Wesens der Rekursion, anhand eines ernsten und eines nicht so ernsten Beispiels unter ...
: Algorithmen :: Angewandte Mathematik :: Interessierte Studenten :: Grundstudium Informatik :: Primzahlen :: Programmierung :: Zahlentheorie :: Miller-Rabin-Test :: Informatik :: Mathematik :Übersicht über starke Pseudoprimzahlen, den Miller-Rabin-Test und die RSA-Verschlüsselung
Berechnung von Pi in TurboPascal
: Mathematik :: Algebraische Kurven :: Algorithmen :: Elliptische Kurven :: Kryptographie :: Theoretische Informatik :: Angewandte Mathematik :: Informatik :Die Fortsetzung des Artikel über das Gruppengesetz elliptischer Kurven behandelt die Anwendungen der elliptischen Kurven in der Kryptographie. Speziell wird auf Diffie-Hellmann, ElGamal (Verschlüsselung und Signatur) sowie ECDSA eingegangen.
Desweiteren finden sich hier Erläuterungen zum Problem des diskreten Logarithmus' und zum Index-Calculus-Algorithmus.
Desweiteren finden sich hier Erläuterungen zum Problem des diskreten Logarithmus' und zum Index-Calculus-Algorithmus.
: Mathematik :: Informatik :: Kryptographie :: Elliptische Kurven :: Primfaktorzerlegung :: Primzahlen :: Zahlentheorie :Ein Artikel über Faktorisierungsverfahren. Es werden der Reihe nach die meisten wichtigen Verfahren vorgestellt und analysiert: Probedivision, Fermat-Faktorisierung, Lehman-Algorithmus, Pollard-Rho-Verfahren, (p-1)-Verfahren, Elliptische-Kurven-Methode, Quadratisches Sieb.
Da die meisten Gymnasiasten wohl den Umgang mit den römischen Ziffern erlernen (müssen) und dabei meiner Ansicht nach immer wieder kleinere Schwierigkeiten auftreten, möchte ich hier eine knappe Zusammenstellung der römischen Zahlzeichen geben.
: Mathematik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :: Leicht verständlich :: Schüler aufwärts :: Stochastik :In diesem Artikel möchte ich euch noch einmal einen kompletten Überblick bzw. eine Zusammenfassung über die vorangegangenen Artikel geben. Somit habt ihr das Wissen in dem Bereich "Wahrscheinlichkeitsrechnung" auf einen Blick zusammengefasst.
Außerdem werde ich noch einige Aufgaben mit Lösungen zum Selberüben anführen.
Auftakt der Reihe "Analysis für Schüler" - Inhalt des Artikels: Grenzwertbetrachtung, Zahlenfolgen, Stetigkeit
Die Christen kennen verschiedene Feiertage. Einige, wie zum Beispiel Weihnachten, werden an festen Tagen begannen, andere, wie zum Beispiel Ostern, fallen immer auf unterschiedliche Tage.
Wie man den Ostersonntag mit der Formel von C.F.Gauss berechnet ...
Wie man den Ostersonntag mit der Formel von C.F.Gauss berechnet ...
Bilder von Fraktalen, Softwaretipps und andere Links zu Fraktalseiten
Bei DMV, der Deutschen Mathematiker Vereinigung, genauer: deren Internet-Portal, findet man aktuelle Nachrichten zu und über Mathematik..Aus den letzen zwei Monaten gibt es ca. 10 Meldungen, deutlich weniger als von MKS im gleichen Zeitraum.
In Vorfreude auf die Ferien, im von der Frühlingssonne
reichlich beschienenen Bus sitzend, dachte ich
mir eine Funktion, deren Definitionsbereich zunächst,
bevor irgendetwas anderes untersucht werden sollte,
ermittelt werden musste. Während der Fahrt, als
sich der Bus dem Ziel näherte, tauft
Wie rechnet man 110*1110 (also 6*14) mit dualen Zahlen?
Gaußscher Rechentrick
Hallo, mein Name ist Thomas. Ich bekam letztens im Mathematikunterricht eine schwierige gestellt. Ich sollte ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren (ohne zu rechnen), von dem
nur die Bestimmungsstücke a und q gegeben waren, also eine Kathete und der nicht zugehörige Hypotenusenabschnitt.
Wie tief taucht ein Holzkegel (Grundkreisradius r, Höhe h) mit der Spitze nach unten in Wasser ein, wenn seine Dichte 0,8kg/dm³ beträgt?
Drücke die Eintauchtiefe angenähert als Bruchteil der Kegelhöhe aus!
Zeige: Die Gleichung 2p+1=k³ hat außer der Lösung 2*13+1=3³ keine weitere Lösung, bei der p eine Primzahl ist.
Lösung:
Zu zeigen ist, daß für k!=3 keine Primzahl p existiert mit 2p+1 = k3 Ich sehe mir das mal näher an für gerade k. Für gerade k ist k3 auch gerade. Aber 2p+1 ist ungerade. Da gibt
Frage 6: Warum gibt es unendlich viele Primzahlen?
Zwei Beweise in der Antwort:durch Widerspruchdurch vollständige Induktion.
Frage 7: Was sind Mirpzahlen?
Frage 8: Gibt es Formeln, mit denen man die Primzahlen berechnen kann?
Frage 9: Was sind Fermatsche Primzahlen?
: Schüler aufwärts :: Wissenschaft Mathematik :: Architektur der Mathematik :: Leicht verständlich :: Mathematik :Auswahl und Besprechung von möglichen Antworten,was Mathematik ist!
"Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschten, haben die Mathematiker allein eine Anzahl Beweise finden können, woraus folgt, daß ihr Gegenstand der allerleichteste gewesen sein müsse. Rene Descartes, 1596-1650 Das ist eine Frage, mit der sich Mathematik..."
"Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschten, haben die Mathematiker allein eine Anzahl Beweise finden können, woraus folgt, daß ihr Gegenstand der allerleichteste gewesen sein müsse. Rene Descartes, 1596-1650 Das ist eine Frage, mit der sich Mathematik..."
: Schüler aufwärts :: Vokabular der Mathematik :: Leicht verständlich :: Mathematik :: Beweistechnik :Lektionen zur Sprache der Mathematik in Teilen I-III
"Die mathematische Sprache bedient sich deutscher Wörter und Grammatik (wenigstens in Deutschland und einigen Nachbarländern, zumindest teilweise). Dieser Umstand führt dazu, daß vielfach Mathematisch mit Deutsch verwechselt wird, was zu immensen Mißverständnissen führen kann. "
"Die mathematische Sprache bedient sich deutscher Wörter und Grammatik (wenigstens in Deutschland und einigen Nachbarländern, zumindest teilweise). Dieser Umstand führt dazu, daß vielfach Mathematisch mit Deutsch verwechselt wird, was zu immensen Mißverständnissen führen kann. "
Ich möchte hier meinen
Algorithmus vorstellen, mit dem man
Funktionen geschlossen und ohne fallweise Definitionen darstellen kann.
Beispiel:
Ich arbeite als Informatik-Projektleiter in einem Stahl-Unternehmen.
Meine Arbeit ist nicht mathematisch. Meine Kollegen sind Ingenieure, Informatiker oder Betriebswirte.
Manchmal treffe ich bei meiner Tätigkeit auf ein mathematisches Problem.
Hier ist eines.
Es geht um Coils und deren Gewichte.
Als Hilfestellung stelle ich
zur Verfügung.
David Hilbert, der berühmte Mathematiker, besaß auch ein Hotel. Es hatte, wie es sich für einen Mathematiker gehört, natürlich unendlich viele Zimmer...
Als Parkettierung bezeichnet man die lückenlose Auslegung einer Ebene mit Flächenstücken, sogenannten Kacheln oder Fliesen. Sind diese gleich geformt, gleich groß und außerdem regelmäßige Polygone, gibt es nur drei Möglichkeiten: Quadrate, Dreiecke und Sechsecke.
Um einen Kreis sollen a Elemente der Art A und b Elemente der Art B angeordnet werden. Kombinationen, die durch Drehung auf sich selbst abgebildet werden können, werden nur einmal gezählt!
Sierpinski- und Pascal-Dreieck Das Sierpinski-Dreieck ist die bekannte Strichfigur: Man kann es auf (mindestens) zwei verschiedene Weisen annähern. > ...
Ein einfacher Beweis dieser Tatsache.
: Grundstudium Mathematik :: Leicht verständlich :: Lineare Algebra :: Wissenschaft Mathematik :: Mathematik :Jemand fragt:"Bin ich hier richtig zum Aufgabenstellen? Ich weiß nicht was ich bei der Aufgabe rechnen muss: Bitte um Hilfe! f sei diejenige Abbildung, die zu jedem Vektor (x1;x2;x3) e R³ den Vektor (x1+x2; x2-x3) e R² zuordnet. Zeigen Sie, dass f linear ist." Bemerkenswert an der Fragestellung ist ...
Wenn ein Kreis ohne zu gleiten auf einer Geraden abrollt, beschreibt ein mit ihm fest verbundener Punkt P eine Kurve, die man als gewöhnliche Zykloide bezeichnet (von lat. cyclus=Kreis).
3 Beispiele, die zeigen, was es heißt, exponentiell zu wachsen.
Der Anfang der Reihe... Definitionen und Grundwissen für den Umgang mit Gruppen.
Gruppenzwang II: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an [von Gockel]
(Gockel/Kleine_Meerjungfrau)
(Gockel/Kleine_Meerjungfrau)Faktorgruppen, das Zentrum einer Gruppe, das direkte Produkt und das Untergruppenkriterium: Alles ist hier zu finden
Wem hat schon nicht mal ein Taschenrechner gefehlt? Und gerade, wenn man dringend etwas ausrechnen muß. Zum Glück hat man dann seinen PC dabei, geht ins Internet und benutzt diesen Taschenrechner.
Was es nicht alles gibt!
Einführung in Gruppenhomomorphismen, Bild und Kern sowie den Homomorphiesatz
Hier wird das Horner-Schema beschrieben, mit dem man einfach Funktionswerte berechnen, Poylnomdivisionen durchführen und Nullstellen erraten kann
Standardwege, Tipps & schmutzige Tricks zum Lösen von Polynomgleichungen:
1. Lineare Gleichungen
2. Quadratische Gleichungen
3. Gleichungen dritten und vierten Grades
4. Weitere Lösungsverfahren für Spezialfälle
4.1 Kreisteilungspolynome
4.2 Die Biquadratische Gleichung
4.3 Andere durch Substitution lösbare Gleichungen
4.4 Spezialfall einer Kreisteilungsgleichung
4.5 Binom-Gleichungen
4.6 Gradreduzierung durch Ausklammern von x
4.7 Gradreduzierung durch Polynomdivision
5. Seltene Lösungsverfahren und Approximierungen
5.1 Methode des Quadrat-Extrems
5.2 Die Newton-Iteration
5.3 Regula falsi
5.4 Das allseits beliebte Raten
1. Lineare Gleichungen
2. Quadratische Gleichungen
3. Gleichungen dritten und vierten Grades
4. Weitere Lösungsverfahren für Spezialfälle
4.1 Kreisteilungspolynome
4.2 Die Biquadratische Gleichung
4.3 Andere durch Substitution lösbare Gleichungen
4.4 Spezialfall einer Kreisteilungsgleichung
4.5 Binom-Gleichungen
4.6 Gradreduzierung durch Ausklammern von x
4.7 Gradreduzierung durch Polynomdivision
5. Seltene Lösungsverfahren und Approximierungen
5.1 Methode des Quadrat-Extrems
5.2 Die Newton-Iteration
5.3 Regula falsi
5.4 Das allseits beliebte Raten
Pendragons umfassender Artikel mit Beweis zu den gebräuchlisten Beziehungen zw. den trigonometrischen Funktionen.
Ein sehr lesenswerter Artikel, der die Formeln von Cardano behandelt und herleitet.
Vor hundert Jahren formulierte Bertrand Russell sein Mengen-Paradox. Eingekleidet hat er dieses in eine Geschichte von einem Barbier, der alle Männer im Dorf rasiert, die sich nicht selbst rasieren.
: Schüler aufwärts :: Analysis :: Leicht verständlich :: Mathematik :: Integration :: Standardintegrale :Pendragons Artikel zu den Standardintegralen und den Strategien zu ihrer Lösung
Herleitung der Formel von Ferrari um Polynome 4.Grades aufzulösen.
Reisender sucht billiges Hotel
Stellt euch vor, ein Reisender kommt mit dem Wagen spät abends in eine fremde Stadt. Hier muß er übernachten.
Es gibt nur eine Straße mit Hotels.
Man sieht vor jedem Hotel auf Schildern den Preis und den Standard.
Welches Hotel wählt er aus ?
Der Reisende
Kannst Du schnell entscheiden, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl teilbar ist?
Wie steht es mit 2.169.252 : 3 ?
Nun, zum Glück gibt es einige nützliche Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17, 19 usw.
: Analysis :: Folgen und Reihen :: Leicht verständlich :: Schüler aufwärts :: Fibonacci-Zahlen :: Mathematik :: Rekursion :Eine rekursive Definition einer Funktion besteht aus einer Vorschrift, wie
für jedes Element des Wertebereichs der Wert f(x) über früher definierte Funktionen und Werte
von f für kleinere Argumente errechnet werden kann.
[Die Vorgehensweise bei der Rekursion kann man sich wie das Durchlaufen e
Pendragons Artikel zu Krümmungskreisen mit Herleitung der Formeln für Mittelpunkt und Radius.
Eine Abbildung einer Menge M in eine Menge N heißt surjektiv, wenn jedes Element n Î N in der Menge der Bilder von Elementen aus M unter dieser Abbildung vorkommt.
Kurz geschrieben:
f: M -> N heißt surjektiv : " nÎN $ m ÎM: f(m) = n.
Wieviele verschiedene surjektive Abbildungen gibt es, wenn
Im Teil 1 hatte ich eine Summenformel für die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer endlichen Menge M auf eine endliche Menge N hergeleitet.
Für diese Aufgabenstellung gibt es eine schöne Rekursionsgleichung:
Für die Anzahl A(n,k) der surjektiven Abbildungen einer n-elementigen Menge auf eine
Auf einem Kreis seien n Punkte gegeben. Je zwei Punkte seien durch eine gerade Linie verbunden. Durch die Linien wird das Innere des Kreises in Gebiete unterteilt.
Wie groß ist (höchstens) die Anzahl der Gebiete?
: Algorithmen :: Kombinatorik :: Schüler aufwärts :: Zahlentheorie :: Leicht verständlich :: Mathematik :Wie berechnet man "n über k" möglichst effizient?
Die Farbe ihrer Kopfbedeckung ist für Mathematiker ein kniffliges Problem.
Ein einfaches Spiel und die optimale Erfolgsstrategie.Ein Artikel aus Die Zeit, 2001-05-03, von Wolfgang Blum.
Mathematiker gelten gemeinhin als
Modemuffel. Für so profane Dinge wie chicke Kleidung, heißt es, fehle
: Mathematik :: Badewannenproblem :: Geometrie :: Dynageo :: Schüler aufwärts :: Leicht verständlich :Eine Badewanne lässt sich in 20 Minuten füllen. Durch den Abfluss fließt diese Wassermenge in 30 Minuten wieder ab. Wie lange dauert es, bis die leere Badewanne gefüllt ist, wenn Zu- und Abfluss gleichzeitig geöffnet sind?
Solche Aufgaben sind gefürchtet. Die algebraische Lösung für die gesuchte
: Vollständige Induktion :: Schüler aufwärts :: Unterhaltsame Mathematik :: Leicht verständlich :: Mathematik :Induktives Vorgehen beim Auffinden von Gesetzmäßigkeiten ist in der Physik wie in der Mathematik verbreitet und führt oftmals, aber nicht immer, zu brauchbaren Ergebnissen.
: Angewandte Mathematik :: Fraktale :: Leicht verständlich :: Schüler aufwärts :: Cantor-Menge :: Mathematik :In diesem Artikel möchte ich eine Verallgemeinerung der Cantor-Menge vorstellen.
1.Die Cantor-Menge
Diese Menge erhält man, indem man eine Gerade der Länge 1 in drei Teile teilt und anschließend den
mittleren Teil entfernt. Anschließend wiederholt man den Vorgang und teilt die kürzeren Geraden
: Vollständige Induktion :: Unterhaltsame Mathematik :: Schüler aufwärts :: Leicht verständlich :: Mathematik :: Beweistechnik : Frage: "Warum muß ich noch beweisen,
daß eine Aussage A(n) für alle n gilt, wenn ich durch probieren mich schon überzeugt habe,
daß die Aussage für alle n bis 1.000.000 gilt? Es kann doch nur so weiter gehen."
: Komplexe Zahlen :: Grundstudium Mathematik :: Leicht verständlich :: Schüler aufwärts :: Mathematik :Wo liegt der Fehler in folgendem 'Beweis'?
-1 = i² = (Ö(-1))² = Ö(-1)*Ö(-1) = Ö((-1)*(-1)) = Ö(1) = 1
Die Potenzrechenregeln für die reellen Zahlen gelten nicht für komplexe Zahlen - und i ist keine reelle sondern eine komplexe Zahl.
Die reellen Potenzrechenregeln gelten nur mit der Verei
: Beweistechnik :: Schüler aufwärts :: Zahlentheorie :: Transzendente und Irrationale Zahlen :: Leicht verständlich :: Mathematik :Die Beweistechnik des Unendlichen Abstiegs an zwei Beispielen erläutert.
Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks ist es bekanntlich einfach, (a+b)^n auszurechnen. Es gibt ein ähnlich einfaches Rechenschema, um (a+b+c)^n zu bestimmen, das trinomische Dreieck.
In der Geometrie und Philosophie der alten Griechen spielten die 5 platonischen Körper eine bedeutende Rolle. Sie galten als die perfekten geometrischen Körper:
Das Tetraeder mit 4 Flächen, 4 Ecken und 6 Kanten:
Dieser Artikel soll ein Gemeinschaftsprojekt sein und dazu dienen ein paar Integrale, die schon im Forum vorhanden sind hier aufzulisten, für all diejenigen, die mal sehen wollen wie so ein paar Integrale gelöst werden. Anders wie in meinem Artikel "Ein paar Integrale...", wo I
Das Lieblingsspiel meiner Kindheit hieß "Deutschland erklärt den Krieg".
Stunden- und tagelang spielten wir das mit unerschöpflichem Vergnügen.
Langweilig wurde es nie. Das Spiel gibt es heute nicht mehr. Ein Aspekt des Spiels steht im Zusammenhang mit heutigen Mobilfunknetzen.
: Angewandte Mathematik :: Fraktale :: Geometrie :: Interessierte Studenten :: Leicht verständlich :: Schüler aufwärts :: Mathematik :: Chaos :: Fraktale+Chaos :: Fraktale i.d. Schule :Nachdem ich jetzt auch schon eine ganze Zeit dabei bin, dachte ich mir, dass es jetzt auch Mal an der Zeit wäre, einen Artikel beizusteuern. Da das Semester ja grad' dem Ende entgegen geht und ich nicht die Zeit habe jetzt etwas ausgereiftes zu schreiben, werde ich euch erst Mal etwas anbieten, was
: Schüler aufwärts :: Pi :: Mathematik :: Analysis :: Flächenberechnung :: Kreis :: Leicht verständlich : Wie kann man den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises annähernd berechnen, wenn man aus dem Mathematik-Unterricht bislang nur
die Flächenberechnungen vom Rechteck, Parallelogramm und Dreieck sowie
den Satz von Pythagoras über die Quadrate des rechtwinkligen Dreiecks
kennt?
Bei einer abendlichen Zahlenspielerei sind wir auf eine mathematische Gesetzmäßigkeit gestoßen, die für die Menge der natürlichen Zahlen gilt.
: Mathematik :: Geometrie :: Winkeldreiteilung :: Origami :: Satz von Haga :: Unterhaltsame Mathematik :: Leicht verständlich :In diesem Artikel werde ich zeigen wie man mittels Origami beliebige Winkel dreiteilen kann und einen interessanten Satz beweisen.
Die Kunst des Origami wird uns dabei helfen, denn alles was wir im folgenden brauchen werden ist ein quadratisches Blatt Pa
ist ein noch relativ neuer Zweig in der Graphentheorie.
Es geht nicht direkt um Färbung von Graphen, mehr um eine Verschärfung des Farbenproblems, mit dem man aber durchaus Probleme lösen kann.
Zuerst, was heißt färbbar?
Durch ein wenig Spielerei mit einem Taschenrechner kommt man auf die
interessante und auch optisch ansprechende p-Näherung:
d. Verfasser (2002)
: Interessierte Studenten :: Grundstudium Mathematik :: Grundstudium Informatik :: Komplexe Zahlen :: Zahlentheorie :: Primzahlen :: Leicht verständlich :: Mathematik :Die Riemann'sche Vermutung und die Zusammenhänge zur Primzahlverteilung sind hier einzigartig dargestellt.
(Un)produktive Vektoren Teil I: Das Skalarprodukt
(Un)produktive Vektoren Teil II: Das Kreuzprodukt
(Un)produktive Vektoren Teil III: Das Spatprodukt
Man kann es sich vorstellen: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, (1805 bis 1859), sitzt an seinem Schreibtisch
in seinem Berliner Arbeitszimmer und sucht nach einem überzeugenden Argument, mit
dem er einen Beweis abschliessen kann.
Es gelingt aber nicht recht, und schließlich lehnt er sich
von
Koch'sche Flockenkurve
Im Grenzfall wird eine endliche Fläche von einem unendlichen Umfang
begrenzt.
Der Algorithmus:
Eine Strecke wird in drei gleichlange Teile zerlegt. Der mittlere bildet
die Grundseite ei
Diesen Artikel „Die Beweisverfahren“ möchte ich nutzen, um euch vier verschiedene Beweise vorzustellen, die ein Schüler zu Beginn der Oberstufe eines Gymnasiums beherrschen sollte.
Zuerst wird immer das Beweisverfahren an Beispielen erläutert, als nächstes folgt der allgemeine Beweis bzw. eine Zusammenfassung zu dem entsprechenden Beweis, danach weitere Aufgaben zum Lösen und als letztes eine allgemeine Zusammenfassung und Einschätzung zu dem Thema „Beweisverfahren“.
In diesem Artikel möchte ich Anfängern, die sich bis jetzt noch nicht mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt haben, einen ersten Überblick über die Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendungsgebiete geben. Weiterhin findet ihr am Ende des Artikels eine erste wichtige Zusammenfassung der ersten Ergebnisse und Erkenntnisse, die ihr aus diesem Artikel ziehen solltet. (Dieser Artikel ist speziell für Schüler der SekI geschrieben, die ihr Wissen im Bereich "Wahrscheinlichkeit" etwas auffrischen wollen.)
: Wahrscheinlichkeitsrechnung :: Leicht verständlich :: Schüler aufwärts :: Stochastik :: Mathematik :Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten, Schichtungssatz/totale Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes - mit Beispielen zu jedem Punkt
Dies ist nun der zweite Teil meiner Serie „Wahrscheinlichkeitsrechnung für Anfänger“.
Dieser Artikel wird etwas kürzer ausfallen als der erste, weil ich mich in diesem Artikel "nur" auf Bernoulli-Experimente und auf die Binomialverteilung beschränken möchte.
Teil zwei der Reihe beschäftigt sich mit dem Thema der Differentialrechnung und klärt zuerst die Grundlagen, d.h. die Definition der Ableitung und Ableitungsregeln.
: Schüler aufwärts :: Vokabular der Mathematik :: Leicht verständlich :: Mathematik :: Beweistechnik :Fortsetzung des Sprachkurses mit Teil II.
: Schüler aufwärts :: Vokabular der Mathematik :: Leicht verständlich :: Mathematik :: Beweistechnik :Fortsetzung des Sprachkurses mit Teil III.
Der Artikel soll einen Einblick in die Theorie der linearen und quadratischen Kongruenzen geben. Diese stellen einen Kernpunkt der elementaren Zahlentheorie dar und sind Ausgangspunkt und Grundlage vieler Gebiete der heutigen Mathematik.
Dieser Artikel soll der erste Teil einer kleinen Serie sein. Es geht um die Sätze von Ceva und Menelaus, deren Umkehrungen und um den erweiterten Sinussatz.
: Mathematik :: Kongruenzen :: Angewandte Mathematik :: Interessierte Studenten :: Leicht verständlich :Ein Überblick über die ISBN und EAN und die Eigenschaften dieser Nummern.
Eine neckische Kurzgeschichte über gerechtes und neidfreies Teilen
Statistische Auswertung von fünf verschiedenen Strategien für diverse Variationen des bekannten Autokartenspiels.
Eine Einführung und Beginn einer geplanten Reihe über Wavelets
In diesem Artikel soll eine möglichst vollständige Sammlung von speziellen Funktionen und ihren Eigenschaften entstehen. Mit speziellen Funktionen bezeichne ich hier Funktionen wie die Legendre-, Laguerrepolynome oder die Bessel-, sphärischharmonische- und Neumannfunktionen.
Es wurde bereits hier ein Artikel über den Satz von Schröder-Bernstein geschrieben. Dieser besagt folgendes:
Gibt es Injektionen A -> B, B -> A, so gibt es eine Bijektion A -> B.
Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an
Teil 1: Lineare Darstellungen
Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen.
Dies ist der erste von drei Teilen:
Teil 1: Lineare Darstellungen
Teil 2: Charaktertheorie
Teil 3
Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an
Teil 2: Charaktertheorie
Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen.
Dies ist der zweite von drei Teilen:
Teil 1:Lineare Darstellungen
Teil 2: Charaktertheorie
Teil 3: Unt
Mathematische Beweisprinzipien beim Königsberger Brückenproblem angewendet. Der berühmte Euler hat das Problem formuliert. Die Antwort verdeutlicht Begriffe wie "notwendige und hinreichende Bedingung" und es wird ein "indirekter Beweis" gegeben.
Durch Java-Applets wird die Fragestellung verdeutlich
: Interessierte Studenten :: Lineare Algebra :: Reine Mathematik :: Mathematik :: Hauptachsentransformation :Ein wenig
Hauptachsentransformation
bei gedrehten Kegelschnitten (KS)
Die Bergische Universität Wuppertal hat eine tolle Sammlung interaktiver Seiten. Hier geht es zu den Primzahlgeheimnissen
Bietet aussagekräftige Java-Applets, kurze Erklärungen, gute Verständlichkeit.
Bei den Primzahlen gibt's die Themen
- Primzahlen
- Eratosthenes
- Primzahlzwillinge
Eine Fast-Primzahl ist eine Zahl die nur 2 Teiler hat.
14=2*7
Die Zahl selber und 1 gelten nicht als Teiler.
Man kann zeigen, dass jede Fast-Primzahl
das Produkt von zwei Primzahlen sein muss.
Ein Artikel über das Sieb des Eratosthenes, Primzahlkriterien, Mersennesche Primzahlen, Vollkommene Zahlen und Zusammenhänge
Nachdem mein letzter Beitrag von Fast-Primzahlen gehandelt hat, spielen jene auch hier wieder eine Rolle.
Fermat hat bewiesen, dass der Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks mit ganzzahligen Seiten (3²+4²=5² als Beispiel) nie eine Quadratzahl sein kann.
Ich werde nun versuchen den - hoffe
Ein Artikel über die rekursiv definierte Hofstadter-Folge aus seinem Buch "Gödel, Escher, Bach"
Rekursive Definition:
Q(1) = Q(2) = 1
Q(n) = Q( n - Q(n-1) ) + Q( n - Q(n-2) )
[nach Douglas R. Hofstadter]
Im Laufe eines Mathematikstudiums begegnen einem Studenten viele, zum Teil verschiedenartige Strukturen: Gruppen, Körper und Vektorräume in der Linearen Algebra, Stetigkeit und Konvergenz (in metrischen Räumen), differenzierbare Strukturen (in normierten Vektorräumen) in der Analysis. Später begegne
Einleitung
In diesem Artikel werde ich meine Technik vorstellen, mit der man eine quadratische Funktion, die durch 0, eine frei wählbare Nullstelle und einen frei wählbaren Punkt geht, erzeugen kann. Das ganze wird anhand von Beispielen verdeutlicht.
Liebe Planetarier, Dieser Artikel ist einerseits als Fortsetzung des Artikels Kategorientheorie, in dem ich eine Einführung in die Sprache der Kategorien gab, gedacht. Andererseits will Ich ich eine Einführung in die Technik von Diagrammen und Sequenzen geben. Letztere sind sehr mächtige und effi ...
Ich moechte euch ein bisschen was ueber Hamiltonkreise erzaehlen, bzw. ueber Graphen und notwendige Bedingungen fuer die Existenz von Hamiltonkreisen. Deshalb zuerst eine kleine (wirklich kleine, ich erzaehl' nur das, was wir fuer die Hamiltonkreise brauchen) Einfuehrung in die Gr ...
In diesem Artikel möchte ich drei kleine Sätze über Primzahlen vorstellen.
Der Erste beantwortet die Frage: "Wann gibt es drei Primzahlen mit einer konstanten Differenz a, x, x+a und x+2a?". Der Zweite klärt eine Frage zur Faktorenzerlegung und der Dritte, das eigentliche Juwel, beinhaltet eine Ver
Der Satz von Burnside charakterisiert nilpotente Gruppen mit einer Vielzahl von zueinander äquivalenten Strukturaussagen.
Die 3 Isomorphiesätze werden hier bewiesen
In diesem Artikel wird das Ziegenproblem genauer untersucht.
Die Aufgabenstellung:
Ein Bauer habe eine quadratische bzw. runde Wiese und eine Ziege. Die Ziege sei in der Mitte einer
Wiesenseite mit einer Leine angebunden.
Die Frage ist nun, wie lang die Leine sein muss, damit die Ziege gena
Einführung in das Konzept der Gruppenoperation mit Beweis der Bahnformel, das Zentrum von p-Gruppen ist nichttrivial, Beweis der Sylow-Sätze
Subnormalreihen und Ausflösbarkeit werden hier besprochen
Ein wunderbarer Artikel zu Schleppkurven
(Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel [von cryptoworm]
(matroid/Gockel)
(matroid/Gockel)Hier wird das Integral von e-x2 von -oo bis +oo ausgewertet.
: Analysis :: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :: Pi :: Mathematik :: Transzendente und Irrationale Zahlen :Irrationalität von e und pi sowie die Transzendenz von e werden hier bewiesen.
: Analysis :: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :: Pi :: Mathematik :: Transzendente und Irrationale Zahlen :Beweis der Transzendenz von pi.
"Die Transzendenz von Pi Als Ferdinand LINDEMANN 1882 die Transzendenz von Pi bewies, hatte er ein zwei Jahrtausende altes Problem erledigt: Die Quadratur des Kreises, oder, in heutiger Sprache, die Konstruktion zweier Strecken mit dem Längenverhältnis Pi nur mit Zirkel und Lineal. ..."
"Die Transzendenz von Pi Als Ferdinand LINDEMANN 1882 die Transzendenz von Pi bewies, hatte er ein zwei Jahrtausende altes Problem erledigt: Die Quadratur des Kreises, oder, in heutiger Sprache, die Konstruktion zweier Strecken mit dem Längenverhältnis Pi nur mit Zirkel und Lineal. ..."
Hier werden interessante Sachen über algebraische Zahlen und deren MiPo bewiesen.
" Was hat es mit dem sogenannten "Körper der algebraischen Zahlen über Q" auf sich, wie zeigt man dessen Körpereigenschaften und wie bestimmt man das Minimalpolynom einer gegebenen algebraischen Zahl?"
" Was hat es mit dem sogenannten "Körper der algebraischen Zahlen über Q" auf sich, wie zeigt man dessen Körpereigenschaften und wie bestimmt man das Minimalpolynom einer gegebenen algebraischen Zahl?"
: Leicht verständlich :: Algebra :: Mengenlehre :: Pi :: Reine Mathematik :: Mathematik :: Transzendente und Irrationale Zahlen :Einführung in die Welt von transzendenten und irrationalen Zahlen
: Beweistechnik :: Grundstudium Mathematik :: Logik :: Reine Mathematik :: Mathematik :: buhs Montagsreport :Eine der allgemein unverständlichsten Logeleien ist die Tatsache, dass aus einer falschen Voraussetzung alles mögliche folgt. Einstein wurde einmal gefragt, ob er das verständlich erklären könne.
Seine Antwort: "Wenn 1+1 gleich 1 ist, bin ich der Papst."
Argumentation??
Das Brachistochronenproblem
: Interessierte Studenten :: Mengenlehre :: Reine Mathematik :: Mathematik :: Axiomatische Mengenlehre :Ich möchte in diesem Artikel einen Beweis des Satzes von Schroeder-Bernstein vorstellen, den ich für sehr schön halte.
: Interessierte Studenten :: Zahlentheorie :: Reine Mathematik :: Mathematik :: Potenzsummen :: Folgen und Reihen :: Polynome :: Bernoulli-Zahlen :Hier wird eine Verallgemeinerung des Gauss'schen Verfahrens zur Summation der Zahlen von 1 bis n besprochen.
Überblick über diese eher selten verwendete Art von Funktionen
: Zahlentheorie :: Fermats letzter Satz :: diophantische Gleichungen :: Reine Mathematik :: Interessierte Studenten :: Mathematik :"In dieser Arbeit möchte ich die diophantischen Gleichungen der
Form xn+yn=zn [...] betrachten."
- mit diesem zurückhaltenden Satz beginnt eine 23-seitige Ausarbeitung,
in der Geschichte und Beweise der Fälle n=1 bis n=7 konkret gegeben
werden und schließlich ein Überblick der weiteren Absch...
stellt eine Alternative zum erweiterten euklidischen Algorithmus, der z.B. hier vorgestellt wird, dar. Dabei werden in einem euklidischen Ring R für zwei Elemente p,q ein größter gemeinsamer Teiler c von p,q und Elemente r,s mit c = rp + sq gesucht.
: Algebra :: Gruppentheorie :: Interessierte Studenten :: Primzahlen :: Reine Mathematik :: Mathematik :Vollstänige Klassifizierung der endlichen Gruppen der Ordnung pq mit Primzahlen p und q.
: Algebra :: Gruppentheorie :: Interessierte Studenten :: Zahlentheorie :: Reine Mathematik :: Mathematik :...hat viele Anwendungen, etwa bei der Jordan'schen Normalform, beim Lösen von simultanen Kongruenzen und bei der Interpolation von Polynomen. Er ist in vielen Formen bekannt, sodass es sich lohnt, zunächst allgemeinere Untersu chungen durchzuführen.
: Zahlentheorie :: Komplexe Zahlen :: Elliptische Kurven :: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :: Mathematik :Gitter über komplexen Zahlen und ihre Verbindung zu elliptischen Kurven
: Interessierte Studenten :: Mengenlehre :: natürliche Zahlen :: Reine Mathematik :: Architektur der Mathematik :: Mathematik :Ordinalzahlen und natürliche Zahlen
: Architektur der Mathematik :: Interessierte Studenten :: natürliche Zahlen :: Reine Mathematik :: Mathematik :Ordinalzahlarithmetik, Definition von Addition und Multiplikation auf Ordinalzahlen, Beweis einiger Rechengesetze
Viele von euch haben bestimmt schon mal vom Vierfarbensatz gehört: Jede Landkarte lässt sich mit 4 Farben färben, so dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben.
Der Beweis dafür ist serh schwer. Für 5 Farben geht es aber einfacher, wie Fabi hier gezeigt hat.
: Architektur der Mathematik :: Interessierte Studenten :: natürliche Zahlen :: Reine Mathematik :: Mathematik :Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen
Einführung in diese Interessante Verbindung von Gruppen- und Graphentheorie.
Konstruktion der rationalen Zahlen als Quotientenkörper
Eine Kugel ist eine Kugel ist... sind zwei Kugeln?! - Der Satz von Banach-Tarski
Konstruktion der reellen Zahlen durch Dedekind-Schnitte aus den rationalen Zahlen
Beweis der Rechengesetze der natürlichen Zahlen anhand der Peano-Axiome.
Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere [von jannna]
(FlorianM/Kleine_Meerjungfrau)
(FlorianM/Kleine_Meerjungfrau)3. Teil der Serie "Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an" über Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere
Dass jeder ebene Graph 5-färbbar ist, hat Fabi bereits hier bewiesen.
Aber ich werde diesen Satz auf eine andere Art und Weise beweisen.
Kombinatorischer und mit Listenfärbung
: Auswahlaxiom :: Architektur der Mathematik :: Lineare Algebra :: Mengenlehre :: Reine Mathematik :: Mathematik :: Axiome :Beweis der Äquivalenz von "Jeder Vektorraum hat eine Basis" und dem Auswahlaxiom.
Formale und sehr ausführliche Betrachtung von Polynomringen
Ein interessanter Numerik-Artikel über die Singulärwertzerlegung und ihre Anwendungen in der Numerik.
Alle vollständig angeordneten Körper sind isomorph zu IR
Ein Polynom in der Unbestimmten x, das vollständig in die Linearfaktoren der Nullstellen zerfällt, lässt sich ausmultiplizieren. Die Koeffizienten vor den x-Potenzen sind Polynome in den Nullstellen. Doch wie sehen diese aus?
Der Unterschied von Kern und kern sowie ihr Zusammenhang zu Äquvalenzrelationen, Fasern, Faktorgruppen und Lösungräumen von LGS
: Architektur der Mathematik :: Interessierte Studenten :: Schüler aufwärts :: Reine Mathematik :: Mathematik :: Topologie :Geometrie der Einheitsquaternionen und ein wenig über stereographische Projektion
Die Abzählbarkeit der Rationalen Zahlen zeigt Cantors Beweis
Wie man die Gruppeneigenschaft an einem einzigen Axiom beweist.
: Mathematik :: Analysis :: Differentialrechnung :: Integration :: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :Eine motivierende Einführung in die Theorie der nichtganzzahligen Ableitungen [von scorp]
(matroid/Gockel)
(matroid/Gockel)
Werte Planetenbewohner,
mit diesem Artikel möchte ich nun endlich ein zwei Jahre altes Versprechen einlösen und ein wenig über nichtganzzahlige Ableitungen berichten. (Das Thema, welches mich bei Recherchen vor drei Jahren zufällig auf den MP verschlug.)
In diesem Artikel wird anschaulich erklärt, was ein Schema ist; ein zentraler Begriff der algebraischen Geometrie. Dabei werden nur die Ideen grob skizziert. Zum Verständnis sind nur algebraische und topologische Grundbegriffe nötig.
Beweis des Stone'schen Darstellungssatzes für Boole'sche Algebren mit und ohne Eins.
: Mathematik :: Analysis :: Integration :: Funktionentheorie :: Funktionalanalysis :: Reine Mathematik :Die Fortsetzung des Artikels über Bochner-Integrale. Dieses Mal wird das Pettis-Integral vorgestellt und ein paar wesentliche Eigenschaften bewiesen. Dazu werden als Anwendung ein paar Sätze über Funktionentheorie in beliebigdimensionalen IC-Vektorräumen bewiesen.
: Mathematik :: Algebraische Topologie :: Homologie und Kohomologie :: Fixpunkte :: Topologie :: Reine Mathematik :Der dritte Teil der Reihe beweist mit Mitteln der algebraischen Topologie den Brouwerschen Fixpunktsatz, den Jordanschen Kurvensatz und den Satz von der Invarianz des Gebiets.
: Mathematik :: Algebraische Topologie :: Windungszahlen :: Integration :: Vektoranalysis :: Abbildungsgrad :: Eulerscher Polyedersatz :: Funktionentheorie :: Graphentheorie :: Fixpunkte :: Reine Mathematik :: Homologie und Kohomologie :Dieser Artikel stellt den ersten Teil der Serie Algebraische Topologie dar und führt mit motivierenden Beispielen in die Ideen einiger Konstruktionen aus der Alg.Topologie ein. Beispiele aus Analysis, Funktionentheorie, Kombinatorik und anderen Bereichen werden gegeben.
: Mathematik :: Algebraische Topologie :: Homologie und Kohomologie :: Homotopie-Invarianz :: Ausschneidungssatz :: singuläre Homologie :: Reine Mathematik :Im vierten Teil der Reihe wird eine konkrete Homologietheorie konstruiert, während vorher nur rein axiomatisch argumentiert wurde.
Die Beweise der Eilenberg-Steenrod-Axiome werden zumindest skizziert, wenn auch nicht vollständig ausgeführt.
: Mathematik :: Algebra :: Lineare Algebra :: Multilineare Algebra :: Tensoren :: Reine Mathematik :Untersuchung der Sinnhaftigkeit von Tensorprodukten unendlich vieler Moduln. u.A. wird neben der üblichen Definition über multilineare Abbildungen eine weitere Definition für Algebren vorgestellt und deren Auswirkungen besprochen.
Elfter Teil der Gruppenzwangreihe. Hier geht es um Kranzprodukte, Äquivalenz von Gruppenerweiterungen, den Satz von Kaloujnine-Krasner und es werden die Sylowgruppen der GL(n,q) sowie Sym(n) klassifiziert.
: Mathematik :: Zahlentheorie :: Differentialgleichungen :: Rekursion :: Binomialkoeffizienten :: Erzeugende Funktion :: Reine Mathematik :: Folgen und Reihen :Dieser Artikel ist entstanden als Antwort auf ein Problem von spitzwegerich, das hier behandelt wurde. Die Ausgangssituation ist die Folge (a(n)), die durch folgende Rekursion definiert ist:
a(0)=1
a(1)=0
a(n+1)=a(n)+a(n-1)/((2n-1)*(2n+1)) für alle natürlichen n
a(0)=1
a(1)=0
a(n+1)=a(n)+a(n-1)/((2n-1)*(2n+1)) für alle natürlichen n
: Mathematik :: Algebraische Kurven :: Elliptische Kurven :: Gruppentheorie :: Zahlentheorie :: Kryptographie :: Leicht verständlich :: Reine Mathematik :Die Definition der Gruppenverknüpfung auf elliptischen Kurven sowie der Nachweis der Gruppenaxiome, insbesondere des Assoziativgesetzes auf elementare Weise.
: Mathematik :: Gruppentheorie :: Reine Mathematik :: Algebra :: Exakte Sequenzen :: Semidirektes Produkt :Zehnter Teil der Gruppenzwang-Reihe. In diesem Artikel werden Gruppenerweiterungen und semidirekte Produkte eingeführt. Als Anwendung wird der Satz von Schur-Zassenhaus bewiesen.
Außerdem werden Darstellung häufig benötigter Gruppen als semidirekte Produkte bewiesen.
: Mathematik :: Algebra :: Quaternionen :: Oktonionen :: Sedenionen :: Komplexe Zahlen :: Architektur der Mathematik :: Reine Mathematik :Artikel über die Konstruktion von IC, IH und IO aus den reellen Zahlen durch die Verdopplungskonstruktion von Cayley-Dickson. Es wird beweisen, dass IR, IC, IH, IO die einzigen reellen, normierten Divisionsalgebren sind.
: Analysis :: Integration :: Vektoranalysis :: Topologie :: Reine Mathematik :: Funktionalanalysis :: Mathematik :Vorstellung des Bochner-Integrals, einer Verallgemeinerung des Lebesgue'schen Integralbegriffs auf bestimmte vektorwertige Funktionen. Beweis einiger grundlegender Sätze dazu.
Verallgemeinerung des Dualitätssatzes von Gelfand-Naimark auf kommutative C*-Algebren ohne 1. Diese sind zu lokalkompaktem Räumen dual. Ein Beweis dieser Dualität und einiger seiner Konsequenzen finet sich hier.
Darstellung von Methoden zur Berechnung von Galoisgruppen, die über die üblichen Trivialitäten hinaus gehen.
Artikel über topologische und speziell lokalkonvexe Vektorräume. Grundlegende Eigenschaften wie Vollständigkeit, Kompaktheit, totale Beschränktheit werden für topologische Vektorräume eingeführt. Diverse Beispiele für lokalkonvexe Räume (wie etwa Distributionenräume) werden vorgestellt.
Ein Artikel über universelle Eigenschaften, Morphismen und Objekte in der Kategorientheorie.
: Mathematik :: Potenzsummen :: Folgen und Reihen :: Polynome :: Bernoulli-Zahlen :: Zahlentheorie :: Reine Mathematik :Darstellung einer rekursiven Formel für die Summe über n^m ohne Verwendung der Bernoulli-Zahlen.
Freie Gruppen, Erzeugende und Relationen
Cayley-Graphen, Satz von Schreier-Nielsen
Einführung in die Theorie der Ringe und Moduln. Behandelt die Untermoduln und Ideale, Homomorphismen, Quotientenringe und -moduln, Isomorphiesätze.
Inhaltsverzeichnis der Reihe Algebraische Topologie
Der Artikel definiert (exakte) Sequenzen und beweist einige wichtige Sätze darüber. Darunter das Schlangenlemma, Fünfer-Lemma und das Barratt-Whitehead-Lemma.
: Mathematik :: Algebraische Topologie :: Homologie und Kohomologie :: Einheitssphäre :: Reine Mathematik :Der zweite Teil der Reihe gibt die Definition der Eilenberg-Steenrod-Axiome an und leitet einfache Aussagen aus diesen Axiomen ab. Unter anderem werden die Homologien von Sphären bestimmt und der Satz über die Invarianz der Dimension bewiesen.
: Mathematik :: Algebraische Topologie :: Algebra :: Homologie und Kohomologie :: Reine Mathematik :In diesem Artikel geht es um Kettenkomplexe und deren Homologien.
In diesem zweiten Teil geht es nun darum, genauer zu erklären, was ein Schema ist. Dabei wird die Analogie zu glatten Mannigfaltigkeiten präzise gemacht.
Angenommen man hat 4 beschriftete Umschläge, und dazu 4 passende Briefe. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit wenn man die Briefe in die Umschläge tut, dass KEINER im richtigen Umschlag ist?
Konvergenzbeweis der Folge: a(n)=(1+1/n)^n
: Schüler aufwärts :: Kombinatorik :: vollständige Induktion :: Grundstudium Mathematik :: Mathematik :Anschaulicher Beweis des Satzes:
In einem rechteckigen Gitter mit x Spalten und y Zeilen lassen sich auf den Gitterlinien zeichnend 1/2*x*(x+1)*1/2*y*(y+1) verschiedene Rechtecke einzeichnen.
[Hinweise und Fragen erwünscht]
Aufgaben um Relationen gehören zur Basisausbildung von Mathematikern (und Informatikern). Es gibt für Erstsemester nichts schlimmeres, als Übungsaufgaben zu Äquivalenzrelationen.
Geht es z.B. um Extremwertaufgaben in der Differentialrechnung, dann geschieht es selte
Das
arithmetische Mittel von n postiven Elementen
wird definiert durch
Eine Anwendung sehe ich immer besonders bei Klassenarbeiten, von denen
man den Durchschnitt berechnen will. Hat man z.B. diesen Zensurenspiegel:
dann ist n=1+3+9+7+2+1=23 und somit das arithmetische
: Lineare Algebra :: Unterhaltsame Mathematik :: Grundstudium Mathematik :: Mathematik :: Permanente :: Permutationen :: Kombinatorik :: Derangement :Forum-Beiträge der letzten Woche haben mich dazu angeregt, eine Verbindung von Kombinatorik, Permutationen, Matrizen, Determinanten und Permanenten zu erkennen, und darüber zu schreiben. Nach den notwendigen Vorbereitungen beweise ich das Hauptergebnis:
Die Anzahl der ungeraden Permutationen ohne Fixpunkt ist gleich der Anzahl der Permutationen mit genau zwei Fixpunkten.
: Mathematik :: Permanente :: Permutationen :: Fixpunkte :: Lineare Algebra :: Interessierte Studenten :: Grundstudium Mathematik :Schon öfter habe ich mich nach einer expliziten Formel (oder mathematisch hochtrabender: „geschlossene Darstellung“ ;-) ), für die Anzahl aller Permutationen einer endlichen Menge, die eine bestimmte Anzahl an Fixpunkten besitzen, umgeseh
Aufbauend auf den Artikel zu gelösten Standardintegralen ist dies der ultimative Artikel zum Lösen von Differentialgleichungen
Hier wird einfach und verständlich erklärt, wie man Potenzreihen mit der Formel von Taylor/McLaurin findet.
In Ergänzung zu Pendragons Artikel über Taylor-Reihen ist dies ein Artikel, der Reihenentwicklung ohne Hilfe von Taylor demonstriert.
Über Widerspruchsbeweise. Arten des Widerspruchsbeweises
und Darstellung der Unterschiede.
: Schüler aufwärts :: Beweistechnik :: Grundstudium Mathematik :: Mathematik :: Leicht verständlich :: vollständige Induktion :: natürliche Zahlen :Eine umfangreiche Darstellung des Prinzips der Vollständigen
Induktion (Beweistechnik) und ihrer Anwendungsbereiche
Vektoranalysis --Vektorrechnung und Analysis,Übersichtliche Einführung für Anfangssemester der Physik.
Was ist Divergenz, Rotation, Gradient?
Was ist Divergenz, Rotation, Gradient?
Rechenverfahren und Beweistricks für Analysis I und Lineare Algebra I [von continuous]
(weserus/matroid)
(weserus/matroid)Sammlung von ausgewählten, nützlichen Rechen-und Beweistricks-empfehlenswert-, Integrale mit trigonometrischen Funktionen, Partialbruchzerlegung, Substitution rükwärts,Lineare Unabhängigkeit, Basisergänzung,Euklidischer Algorithmus und Isomorphie unendlicher Gruppen
: Grundstudium Mathematik :: Interessierte Studenten :: Unterhaltsame Mathematik :: Vokabular der Mathematik :: Mengenlehre :: Auswahlaxiom :: Lemma von Zorn :: Mathematik :: Axiomatische Mengenlehre :: Axiome :Stellt euch folgendes vor:
Ein König herrscht über ein Königreich mit 20 Provinzen.
In jeder Provinz gibt es einen Statthalter, der vom König ernannt wird.
Alle 5 Jahre werden alle Statthalter neu ernannt. Das ist natürlich
kein Problem für den Köinig - er geht einfach alle Provinzen der Reihe
: Analysis :: Grundstudium Mathematik :: Mathematik :: für Physikstudenten :: Laplacetransformation : Einführung
Ich habe gemerkt, dass es auf dem Matheplaneten nicht viele gibt, die sich mit Laplace- oder Fouriertransformation beschäftigen. Deshalb habe ich mich nun auch dazu entschlossen, einen kleinen Artikel über die Laplacetransformation und ihre Anwendung zu schreiben.
: Mathematik :: Schüler aufwärts :: Beweistechnik :: Grundstudium Mathematik :: Architektur der Mathematik :: Leicht verständlich :Der Sinn des Mathematik-Studiums ist, daß man das Beweisen lernt. Das geht so vor sich, daß in Vorlesungen, Büchern und manchmal Übungen das Beweisen vorgemacht wird.
Ein Beweis besteht aus einer geschlossenen und lückenlosen Ableitung einer zuvor formulierten Behauptung aus den zugrundeliegenden ...
Ein Beweis besteht aus einer geschlossenen und lückenlosen Ableitung einer zuvor formulierten Behauptung aus den zugrundeliegenden ...
Du bist auf einer Party, den Partyraum stellen wir uns als Tabelle vor. In jedem Tabellenfeld kann ein Gast stehen. Die Anwesenden verspüren unterschiedliche Sympathien zueinander, entsprechend versuchen sie einen gewissen Abstand zu den anderen Personen einzuhalten.
Ich habe einen Sohn, der studiert, Mathematik, schon im 2. Semester.
Mein Mann ist schon lange davon, aber komme auch ohne zurecht. Der Sohn bekommt Bafög und ich gehe arbeiten. Ist ein guter Sohn. Ich verstehe nicht, was er da lernt, aber ich wollte es mal wissen.
Die wirklichen Verhältnisse sind erwartungsgemäß komplex, Häuser liegen rechts und links am Weg, Straßen sind zu kreuzen und die Eingänge der Häuser liegen teilweise etwas
zurückgesetzt von der Straße, es gibt auch Einbahnstraßen, aber da Frau Palthen ihr Rad schiebt, muß man die nicht bea
Eine mögliche Herleitung von Zeta(2)=pi^2/6
: Mathematik :: Stochastik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :: Wahrscheinlichkeit+Statistik :: Grundstudium Mathematik :Einführung in die Stochastik (Teil I). Enthält Definitionen von Wahrscheinlichkeitsräumen allgemein, diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen, einige einfache Sätze und Beispiele
Ein 2-Stunden-Ticket des Berliner ÖPNV (Öffentliche Personen-Nur-Verspätung) kostet Euro 2,10.
Ein Semester dauert je nach vegetativer Lage (Sommer- oder Winter-) ein halbes Jahr.
Aufgabe 1
Berechnen Sie den finanziell notwendigen Einsatz eines Berliner Studenten, der pro Semesterarbeits
Diesen Artikel habe ich von einem Posting bei Zahlreich.de kopiert.
Warum? Ich hatte mal einen Professor, der sagte: "Wenn Sie Mathematiker sind und bei einer Eisenbahnfahrt ihren Mitreisenden davon erzählen, dann gibt es nur zwei Reaktionen. Erste: 'Ich konnte mit Mathematik nie etwas anfangen'. Z
In der Presseschau von DMV sind diese Artikel neu:
- Optimale Strategien im Stau (7/2001)
- Charles Babbage im ,,Spiegel" (7/2001)
- Millionär werden mit Mathematik (7/2001)
- Vietoris hatte Geburtstag. Zum 110. Mal. (6/2001)
- Streit zwischen Musikindustrie und Kryptologen! (6/2001)
: Forschung :: Reine Mathematik :: Wissenschaft Mathematik :: Über Wissenschaft :: Pi :: Mathematik :Warum diese Sucht nach Rekorden bei der Berechnung weiterer Dezimalstellen von ?
Der letzte Rekord steht bei 206.158.430.000 Dezimalstellen (siehe PI news by Kanada Laboratory. Wie viel das ist, kann ich mir schon nicht mehr vorstellen. Schon 100.000 Stellen füllen viele Seiten. Wer mag kann sich d
Mathematik ist nicht die Kunst des Rechnens. Mathematik ist auch nicht eine große Formelsammlung. Mathematik ist die Kunst des Beweisens.
Die MathematikerIn ist eine Art BaumeisterIn. Sie erbaut einen Palast der Theorie. Dabei fängt sie aber im Gegensatz zu normalen Baumeistern mit möglichst wenige
Ein Mathematik-Enthusiast aus Kanada hat mithilfe eines
weltumspannenden Computernetzwerks die größte bekannte
Primzahl gefunden: Die Zahl 2 hoch 13.466.917 minus 1
hat vier Millionen Stellen und ist wie alle Primzahlen
nur durch 1 und sich selber teilbar.
Der "Entdecker" ist der 20-jährige
: Humor :: Interessierte Studenten :: News :: Schüler aufwärts :: Spiel und Spaß :: Unterhaltsame Mathematik :: Zeitschrift :: Über Wissenschaft :: Mathematik :
Weil man Mathematik in den Medien so selten findet, ist es lohnenswert, sich folgende Seite anzuschauen.
Seit dem 12. 5. 2003 gibt es unter dem Namen 'Fünf Minuten Mathematik' in der "WELT" eine regelmäßig, jeweils am Montag erscheinende Kolumne zur Mathematik, sie wird -
Leopold Vietoris ist in der Nacht vom 9. zum 10. April 2002 in seinem 111. Lebensjahr verstorben.
Das Folgende bezieht sich auf den von buh eröffneten thread "Übungen zur Logik (2)". Als Diskussionsbeitrag würde es zu lang werden. Und noch eine Vorbemerkung: wenn ich "Schüler" schreibe, sind selbstverständlich auch Schülerinnen gemeint.
Wikipedia definiert:
Gilt für zwei aufeinanderfolgende Prim-
zahlen p_1 und p_2 die Beziehung p_1+2=p_2,
so heißen diese Primzahlzwillinge__.
Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen
ist (3;5). [...] Je höher die Zahlen
werden, desto weniger Primzahlen gibt es.
Alle 4 Jahre, anläßlich des International Congress of Mathematicians, wird seit 1936 die Fields Medaille für herausragende mathematische Leistungen verliehen.
Hinweis auf die Rubrik "5 Minuten Mathematik" in der WELT
Nach langer Krankheit verstarb im August diesen Jahres Professor Edsger Wybe Dijkstra, ein Pionier der Wissenschaft Informatik.
Dijkstra ist unter anderem bekannt aufgrund seines Algorithmus zum Problem der kürzesten Wege, sowie durch seinen Einsatz zur Verbannung der GOTO-Anweisung aus der P
Was macht das Schöne an der Mathematik aus? Ein kleiner Einblick zum Beginn des Studiums
Eine Geschichte zum Schmunzeln
: Grundstudium Mathematik :: Humor :: Leicht verständlich :: natürliche Zahlen :: Unterhaltsame Mathematik :: vollständige Induktion :: Mathematik :Es gibt keine uninteressanten natürlichen Zahlen. Wäre nämlich die Menge aller natürlichen Zahlen, die nicht hochinteressant sind, nicht leer, so hätte sie nach dem Wohlordnungsprinzip ein kleinstes Element. Und diese Zahl, die kleinste nicht hochinteressante natürliche Zahl, die ist doch nun wirkli
die linie zur geraden fand
den permanenten gleichabstand
mit parallelen nicht verwandt
nur hexenspuk? nur unverstand?
Hassan ul-Binomi; 2 n.b.
: Leicht verständlich :: Strategie :: Geometrie :: Schüler aufwärts :: Unterhaltsame Mathematik :: Spiel und Spaß :: Humor :: Mathematik :Beim munteren Beisammensein in Wirtshäusern spielen Studenten der Mathematik gern das folgende Spiel:
An einem rechteckigen Tisch sitzen zwei Spieler, die abwcheselnd einen runden auf den Tisch legen, und zwar so, dass alle Deckel ganz auf dem Tisch liegen und sich nicht überlappen. Wenn
: Unterhaltsame Mathematik :: Stochastik :: Humor :: Mathematik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :: Wahrscheinlichkeit+Statistik :Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig in einen Kreis gezeichnete Sehne länger als die Seite des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks?
Funktionentheorie existentiell
- Sartres Residuensatz
Wie oft habe ich seit Beginn meines Studiums von so vielen höheren Semestern gehört, Funktionentheorie sei die "Königin der Analysis", die schönste und klarste Mathematik zumindest im Grundstudium! Eigentlich ein guter Grund, sehr, sehr skept...
Reinhard Dumfart hat in de.sci.mathematik eine Frage gestellt:
Hallo Kollegen,
Irgendwie steh ich auf der Leitung und möchte Euch um Hilfe bitten.
Ich muß die Zahlen 7 und 5 miteinander multiplizieren. Ich komm aber
einfach nicht drauf, hilfe!
Die scheinbar einfache Frage hat es i
Mathematik wird Weltkulturerbe! Noch nicht gehört? Dann hier lesen.
Dieser Artikel soll euch einen kleinen Exkurs in die Gebiete Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Umkehrfunktionen und Ableitungsregeln bieten.
Dieser Artikel soll Kurvendiskussionen einiger Funktionen exemplarisch zeigen.
Es wird hier auf ganzrationale Funktionen, gebrochenrationale Funktionen, e-Funktion, Logarithmusfunktion (und Scharen), Wurzel-Funktionen und Trigonometrische Funktionen eingegangen.
Der Artikel soll aber weiterhin vervollständigt werden. (Alle sind aufgerufen)
Vorgesehen sind vor allem Funktionen, die Schüler begegnen. :-)
Hier sollen die allgemein bekannten Formeln für Oberfläche und Volumen der genannten Körper hergeleitet werden.
Rutscht der Fußpunkt einer an einer senkrechten Wand angelehnten Leiter ein Stück nach rechts, bewegt sich ihr oberes Ende um ein Stück nach unten, das im allgemeinen nicht gleich groß ist:
geo
e(320,180)
nolabel()
x(0,70)y(-4,40)
p(0,33,p1,hide) p(56,0,p2,hide)
c(tomato)s(p1,p2)
p
Im folgenden wird die Gleichung der Kettenlinie hergeleitet. Diese parabelähnliche Kurve hat ihren Namen von einer unter ihrem Eigengewicht durchhängenden Kette, doch tritt sie auch bei Seilen in
Erscheinung und läßt sich zum Beispiel an Hochspannungsleitungen
"Auf jeden Fall ist es für mich immer noch seltsam, dass man das Dreieck ABC mit den wenigen Angaben eindeutig berechnen kann, obwohl man es erst nicht glauben mag."
Das Folgende enthält Bekanntes zu diesem Thema mit Stoff zum weiteren Nachdenken.
Kettenbrüche sind eine besondere Darstellungsform rationaler und irrationaler Zahlen.
Graphische Interpretation komplexer Nullstellen quadratischer Gleichungen.
Die sind überall in der Kombinatorik anzutreffen.
Jeder Student ist erschlagen von der großen Anzahl Fragestellungen, bei denen als Lösung die auftauchen, und man fragt sich, ob es Bijektionen zwischen den
verschiedenen von diesen Zahlen gezählten Familien von Obje
: Mathematik :: Geometrie :: Euklid :: Parallelenaxiom :: Axiome :: Geschichte :: Schüler aufwärts :Über das Parallelenaxiom, ein historischer Streifzug von Euklid über Wallis, Legendre bis Bólyai
Im folgenden möchte ich einiges über das sogenannte
Parallelenaxiom berichten, das nicht jeder in dieser
Ausführlichkeit kennt.
Bekanntlich geht es auf Euklid (um 300 v. Chr.) zurück,
doch erscheint es dort nicht unter diesem Namen.
Guillaume François Antoine de l’Hospital war ein französischer Mathematiker und Aristokrat.
Er wurde 1661 geboren und verstarb 1704 im Alter von 43 Jahren.
Wegen eines Augenleidens widmete sich de l’Hospital der Mathematik anstelle des Offiziersberufs.
In diesem Artikel werden die Regeln von de l'Hospital erklärt.
Im folgenden habe ich einiges über die Parabel zusammengetragen, darunter Bekanntes und weniger Bekanntes, vielleicht zum Teil sogar Neues.
Sie ist eine ebene, nicht geschlossene Kurve, die zusammen mit der Ellipse und Hyperbel zu den Kegelschnitten gehört.
Zweiter Teil der Serie "Lineare Algebra und analytische Geometrie". Hier gibt es eine verständliche und sehr ausführliche Einführung in die analytische Geometrie, also in das weite Gebiet der Vektoren. Addition, Subtraktion und S-Multiplikation von Vektoren ist nur ein kleiner Ausschnit des Artikels.
In diesem Teil wird es um zwei ganz bestimmte Sätze gehen:
Um den Satz von Stewart und um den Satz von Steiner und Lehmus. Und zwar um deren Sätze, Beweise und Anwendungen
Der Satz von Stewart eignet sich zum Beispiel sehr gut, um Längen ganz bestimmter Strecken am Dreieck zu berechnen.
In diesem kleinen Exkurs werden Grundbegriffe wie Seitenhalbierende, Höhe, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende erklärt und in diesem Zusammenhang wird auf Schnittpunkte eingangen wie auf den Schwerpunkt, Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt.
Des Weiteren werden interessante Sätze im Kontext dieser "merkwürdigen" Punkte und Geraden erläutert.
Ein humorvoller Artikel über das Finden maximaler Matchings.
: Mathematik :: Näherungsverfahren :: Polynome :: Numerik :: Rekursion :: Approximationstheorie :: Sonstige Mathematik :Approximation der Kurve y=x3+ax2+bx+c durch die kubische Parabel y=x3, die durch die Startnäherung xn auf der x-Achse verschoben wird,
Über die kubische Gleichung ist hier schon viel referiert worden. Auch ich habe vor einiger Zeit ein Approximations-Verfahren postuliert, bei dem die kubische Parabel y = (x-x_[n])^3 an die Kurve y = x^3 + ax^2 + bx +c zur Nullstellenbestimmung angenähert wird.
Heute will ich jedoch eine
In der neuesten Ausgabe der Computerzeitschrift c't (Jg. 2005, Heft 10, S. 181) werden die sogenannten "" erwähnt, die durch eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten entstehen.
Der Satz des Pythagoras wird schon in der Schule vermittelt und es gibt fast niemanden der ihn nicht kennt.
Vielleicht hat man sich auch schon gefragt, ob es nicht vielleicht ein Analogon im Dreidimensionalen gibt. Dieser kleine Artikel soll diese Frage beantworten
: Mathematik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :: Schüler aufwärts :: Zufallsvariablen :: Bernoulli-Experiment :: Gaußsche Verteilung :: Zentraler Grenzwertsatz :: Stochastik :Ich hoffe, ich habe mir mit diesem Projekt nicht zu viel vorgenommen.
Aufgrund des starken Interesses an den Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und einem gewissen Mangel an Material hier auf dem Planeten ...
1. Ereignisräume und Gleichwahrscheinlichkeit
2. Bayessche Formel, Totale Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
3. Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung
4. Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz
5. Andere diskrete Verteilungen:
a) hypergeometrische Verteilung
b) geometrische Verteilung
c) Poisson-Verteilung
6. Faltungen
7. Grundsätzliches zu stetigen Verteilungen
8. Gaußsche Verteilung und Zentraler Grenzwertsatz
1. Ereignisräume und Gleichwahrscheinlichkeit
2. Bayessche Formel, Totale Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
3. Bernoulli-Experimente und Binomialverteilung
4. Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz
5. Andere diskrete Verteilungen:
a) hypergeometrische Verteilung
b) geometrische Verteilung
c) Poisson-Verteilung
6. Faltungen
7. Grundsätzliches zu stetigen Verteilungen
8. Gaußsche Verteilung und Zentraler Grenzwertsatz
Der Artikel ist dem folgenden Problem gewidmet:
Nachdem Peter das Produkt von zwei natürlichen Zahlen zwischen 2 und 100 und Simon deren Summe mitgeteilt wurde, wurden sie gefragt, ob sie die ur­sprüng­lichen Zahlen enträtseln können. Zwischen den beiden entwi
Einst vor langer Zeit lebte und herrschte ein tyrannischer König namens Mumidios in einem Reich namens Mumidien. Er war der 10-te Nachfolger des grossen Mumios, dem Gründer der glorreichen Mumios-Dynastie, und regierte das Land mit eiserner Hand äusserst erfolgreich.
D
: Mathematik :: Primzahlen :: Zahlentheorie :: Idealtheorie :: Groebner-Basen :: Ringe :: euklidischer Algorithmus :: Polynome :: Standardbasis :: Buchberger-Algorithmus :Eine Einfuehrung in die Theorie der Standardbasen (Groebner-Basen) von Idealen in Polynomringen.
Der Divisionssatz als Verallgemeinerung des euklidischen Algorithmus und der Polynomdivision. Das Ziel ist es, darzustellen, dass der Algorithmus nicht immer einwandfrei funktioniert, um die Gröbner-Basen eines Ringideals zu motivieren.
Der Divisionssatz als Verallgemeinerung des euklidischen Algorithmus und der Polynomdivision. Das Ziel ist es, darzustellen, dass der Algorithmus nicht immer einwandfrei funktioniert, um die Gröbner-Basen eines Ringideals zu motivieren.
Vektorteilräume und lineare Hüllen, konvexe Mengen und konvexe Hüllen, (toplogisch) abgeschlossene Mengen und Abschluss, Sigma-Algebren und erzeugte Sigma-Algebren, Gruppen und erzeugte Gruppen... In der Mathematik stösst mensch immer wieder über derartige Strukturen. Dieser Artikel betrachtet was a
: Mathematik :: Funktionentheorie :: konformen Abbildung :: Parameterkurven :: Lemniskate :: Geometrie :: Kurvenverwandtschaften :: Kardioide :: Kegelschnitte :: Sonstige Mathematik :Bewegt sich bei der konformen Abbildung w=1/z (z=x+iy, w=u+iv) der Originalpunkt in der z-Ebene auf einem Kreis, der nicht durch den Ursprung geht, so trifft das bekanntlich auch für den Bildpunkt in der w-Ebene zu. Man spricht deshalb
: Mathematik :: Cassinische Kurven :: Parameterkurven :: Analytische Geometrie :: Astronomie :: Geschichte :: Physik :: Leicht verständlich :: Sonstige Mathematik :
Die Abstände eines variablen Punktes P der Ebene von zwei festen Punkten F1 und F2 spielen in der Geometrie eine nicht geringe Rolle. Ist ihre Summe konstant, entsteht bekanntlich eine Ellipse, bleibt ihre Differenz unverändert, eine Hyperbel.
Was sich ergibt, wenn das Verh
: Mathematik :: Perkolation :: mathematisches Modell :: Angewandte Mathematik :: Sonstige Mathematik :Was ist Perkolation (engl. percolation)?
Sickern einer Flüssigkeit durch ein ungesättigtes, poröses Medium, z.B. Wasser im Boden unter dem Einfluß der Gravitation.
Langsame Bewegung von Wasser in einem porösen Medium.
Wasserverlust eines Kanales oder eines anderen Gewässers durch Versi ...
: Mathematik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :: Wahrscheinlichkeit+Statistik :: Gängige Irrtümer :: Sonstige Mathematik :Mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung lernt man Chancen zu bewerten.
Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim Würfeln ist 1/6. Die Chance für 6 Richtige im Lotto beträgt 1:13983816.
Die Wahrscheinlichkeit ist in diesen Fällen der Quotient aus günstigen Ergebnissen und möglichen Ergebnisse
In letzter Zeit habe ich mich eingehend mit Gleichungen 3. Grades beschäftigt. Dabei hatte ich die Idee für folgendes Näherungsverfahren:
Der Grundgedanke des Verfahrens besteht in der lokalen Approximation der Kurve y = x³ + ax + b durch die kubische Parabel y = x³, die durch y = (x - x[n])³ auf
: Mathematik :: Graphentheorie :: Eulerscher Polyedersatz :: Fermats Letzter Satz :: Sonstige Mathematik :Der Eulersche Polyedersatz, zur Erinnerung: e+f-k=2, sieht
so einfach zu handhaben aus, aber schon bei der Anwendung auf ein
Dreieck scheint man zu versagen:
3 Ecken, 3 Kanten, 1 Fläche ergibt hartnäckig: 3+1-3=1 und nicht 2.
Die unten angegebene Figur 1 wird oft zum Beweis des Sat
Wer möchte seinem Computer nicht mal alle Fehler und Abstürze heimzahlen? Eine effektive Methode ist, ihn mit der Suche nach Primzahlzwillingen zu quälen.
Die Voraussetzung dafür ist ein Primzahlen-Testprogramm, wie es beispielsweise MAPLE zur Verfügung stellt. Solche Tests gibt es heute sogar auf
Nachdem Sie im November 2001 einen Link auf meine Delphi-Ecke setzten (Sparte Umwandlung eine Dezimalzahl in eine Dualzahl) erlaube ich mir, Sie auf weitere Themen, die in Newsgroups häufig angesprochen werden und für die ich Erläuterungen gegeben habe, hinzuweisen:
Der erweiterte euklidische Algo
Angeregt durch den Thread "Die Münzsammlung" in der Knobelecke hier eine verallgemeinerte Formulierung und Lösung.
Der gesamte Algorithmus muss 5 mal durchlaufen werden, bis alle Münzen so verteilt sind, dass jedes Kind von jedem Wert und aus jedem Land genau eine Münze besitzt.
Der gesamte Algorithmus muss 5 mal durchlaufen werden, bis alle Münzen so verteilt sind, dass jedes Kind von jedem Wert und aus jedem Land genau eine Münze besitzt.
Ein Auto hat an Stelle der normalen, kreisrunden Reifen quadratische Würfelreifen verpaßt bekommen. Wie muß die Straße dafür aussehen, daß es nicht rumpelt?
Gibt es für jede beliebige Dimension d und jede natürliche Zahl x einen Quader in jener Dimension, dass die Anzahl der Kästchen, die an einer oder mehrerer Kante(n) liegen, gleich 1/x der Gesamtkästchen ist? Wenn ja, wie müssen die Abmessungen gewählt werden?
Dies ist der dritte Beitrag des Sommerausflugs in die Kombinatorik.
Die früheren Teile waren:
1. Teil: Begriffe, Defintionen,
2. Teil: Rekursive Ansätze
Heutiges Ziel: Ansatz mittels Erzeugender Funktion und Anwendung in einem selbstgeschriebenen Programm.
Heutiges Ziel: Ansatz mittels Erzeugender Funktion und Anwendung in einem selbstgeschriebenen Programm.
Manchmal erwischt einen die Mathematik im unpassendsten Moment.
Da sitzt man völlig arglos mit seiner Familie an einem sonnigen
Tag draußen am Teetisch und freut sich des Lebens.
Wie durch Zufall fällt der Blick in die Teetasse - und es ist
um die Harmonie
: Kombinatorik :: Mathematik :: Duales Problem :: Rekursion :: Summenzerlegungen :: Sonstige Mathematik : Im ersten Beitrag war definiert worden, was eine Summenzerlegung
einer natürlichen Zahl n ist und u.a. gefragt worden:
Wieviele verschiedene Summenzerlegungen gibt es für eine natürliche Zahl n?
Heute will ich mit der Erforschung des Problems beginnen.
Rekursive Ansätze,Summenzerlegungen nach der Größe bzw. Anzahl der Summanden, Dualität
: Kombinatorik :: Mathematik :: Pentagonalzahlen :: Kartenhauszahlen :: Summenzerlegungen :: Sonstige Mathematik :Was haben Pentagonalzahlen mit Kartenhäusern zu tun? Und in welcher Weise helfen beide bei der Frage nach den möglichen Summenzerlegungen einer natürlichen Zahl?
Mathematik bringt oft unglaubliche Beziehungen zutage.
[Dieser Artikel ist Teil 4 des Sommerausflugs in die Kombinatorik.]
: Mathematik :: Borromäische Ringe :: Unmögliche Figur :: Topologie :: Knotentheorie :: Sonstige Mathematik : Drei Ringe, die nicht voneinander gelöst werden können - entfernt man einen, so liegen die beiden anderen offen und unverbunden da.
Ist das eine unmögliche Figur, die nur als optische Täuschung existieren kann?
Nein! Diese Anordnung von 3 Ringen, die ihren Namen nach einem italienischen Adel
Ein Ausflug in die Kombinatorik, der die Frage behandelt, wieviele Summenzerlegungen einer natürlichen Zahl n in natürliche Summanden - auch Partitionen genannt - es gibt.
Gegeben sind zwei Quader im Raum, in allgemeiner Lage.
Gesucht ist ein Verfahren, mit dem bestimmt werden kann,
ob diese beiden Quader sich schneiden oder nicht.
Lösungsvorschläge sind erwünscht, insbesondere solche, das Problem auf effiziente Art lösen.
In diesem Artikel möchte ich Euch, liebe Planetarier, einige schöne Anwendungen der Topologie in der Geometrie und auch im Alltag vorstellen. Als "Höhepunkt" werde ich die Frage beantworten, ob es immer möglich ist, dass man ein belegtes Brötchen, ganz egal wie die Teile aufei
Neulich war ich beim Kaffeetrinken gesessen, als ein Bekannter ein nettes kleines Zahlenspiel vorgeführt hat. Ich möchte es mit Euch spielen und natürlich will ich den Beweis, dass und wie es funktioniert, nicht schuldig bleiben.
: Mathematik :: Angewandte Mathematik :: Chaos :: Fraktale+Chaos :: Interessierte Studenten :: Leicht verständlich :: deterministisches Chaos :: Sonstige Mathematik :Einführung in die Theorie des deterministischen Chaos am Leitfaden von "Chaos - Bausteine der ordnung" von Pleitgen
: Mathematik :: Angewandte Mathematik :: Chaos :: Interessierte Studenten :: Leicht verständlich :: Schüler aufwärts :: Periodenverdopplung :: Sonstige Mathematik :Dies ist nun der lange angekündigte zweite Teil der Reihe zur Chaostheorie. Der Artikel beschäftigt sich mit der Periodenverdopplung und verschiedenen Formen von Chaos.
Das Collatz-Problem lautet: Man beginne mit einer beliebigen natürlichen Zahl x_0 und bilde damit die rekursive Zahlenfolge x_(n+1)=fdef(1/2*x_n, für x_n gerade;3*x_n+1, für x_n ungerade) Die Folge endet, wenn sie den Wert 1 erreicht hat.
Die Vermutung ist nun, daß die Folge schließlich immer die 1 erreicht und dann periodisch wird.
: Mathematik :: Analytische Geometrie :: Einheitssphäre :: p-Norm :: Hyperkugel :: Interessierte Studenten :: Sonstige Mathematik :Wir leben in einer Welt 2. Typs; das erkennt man an folgendem:
1. Der Satz des Pythagoras gilt
2. Es gibt bewegungsinvariante Flächenmaße
3. Mit jedem Zirkel kann man Kreise zeichnen
Doch was wäre, wenn wir etwa in einer Welt 3. Typs leben würden?
Wenn der "Satz des Pythagoras" etwa lauten würde:
a3 + b3 = c3 für rechtwinklige Dreiecke?
1. Der Satz des Pythagoras gilt
2. Es gibt bewegungsinvariante Flächenmaße
3. Mit jedem Zirkel kann man Kreise zeichnen
Doch was wäre, wenn wir etwa in einer Welt 3. Typs leben würden?
Wenn der "Satz des Pythagoras" etwa lauten würde:
a3 + b3 = c3 für rechtwinklige Dreiecke?
Was ist eine fermatsche Pseudoprimzahl? Was sind ihre Eigenschaften
Kurzbeschreibung, was Fraktale sind.
: Mathematik :: Angewandte Mathematik :: Algebraische Kurven :: Elliptische Kurven :: Zahlentheorie :: Primzahlen :: Faktorisierung :: Sonstige Mathematik :Dritter und Letzter Teil der Artikelreihe über elliptische Kurven und ihre Anwendungen. Dieses Mal gehts um die Anwendungen in der Zahlentheorie, speziell die Elliptic-Curves-Method zur Faktorisierung natürlicher Zahlen und das Goldwasser-Kilian-Zertifikat, das die Primalität einer Zahl beweist.
Dies soll der Beginn einer Artikelserie über fraktale Geometrie sein. Es wird sich dabei um eine topologische Einführung in das Thema handeln und soll die fraktale Geometrie vorstellen, wie ich sie auch schon in meinem Artikel über das Sierpinski-Dreieck angewandt habe.
Zunächst sind drei Teile gep
Nachdem wir im ersten Artikel die topologischen Grundlagen gelegt haben, werden wir uns nun mit den iterierten Funktionensystemen beschäftigen. Wir werden diese Systeme definieren und einen Konvergenzbegriff für iterierte Funktionensysteme erarbeiten. Wir werden festellen, dass unter gewissen Umstän
Im dritten und letzten Teil meiner Reihe zur Fraktalen Geometrie möchte ich euch nun einige Beispiele präsentieren. Dabei werde ich beim ersten Beispiel immer wieder auf die entsprechenden Passagen der ersten beiden Artikel verweisen. Für die anderen Beispiele müsst ihr dann bei Bedarf eben selbst n
Eine physikalische Lösung des Paradoxon des griechischen Philosophen Zenon.
Punkte weisen ein paar Besonderheiten auf, an die man nicht immer denkt. Sie sind Gegenstand der folgenden Überlegungen. Bei einigem rechne ich mit Widerspruch.
Zeichnet man einen Punkt auf Papier oder an die Tafel, entsteht in Wirklichkeit eine kleine Fläche oder ein kleiner Kreidehaufen.
Bei der Beurteilung von Erfolgschancen zweier in irgendeiner Weise konkurrierender Arten entscheidet die angeborene oder erworbene "Fitness" darüber, welche Art langfristig überlebt.
Die Fitness ist ein Maß für die Anpassung und Eignung der Art an die Lebensumstände.
stress Konstruktionen und Kalkulationen von und mit Würfelnetzen
big Zusammenfassung
Aufbauend auf den erarbeiteten Grundlagen im Artikel Die Signatur der Würfelnetze betrachten wir nun die schrittweisen Konstruktionsmechanismen von Würfelnetzen vom einzelnen Quadrat bis zum G
: Mathematik :: Dynageo :: Geometrie :: Geometriesoftware :: Analytische Geometrie :: Vektorrechnung :: Raumgeometrie :: Tools :In die dynamische Raumgeometrie unter Verwendung des Programmes Archimedes Geo3D wird anhand eines typischen Beispiels eingeführt.
Artikel über die Potenz eines Kreises.
Der Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, lässt sich auch über die Mersenne-Zahlen führen, so dachte ich mir, als ich mich eine Weile mit den Mersenne-Zahlen beschäftigt hatte...
stress 1. Definition
Es sei n el IN_>0 . Dann ist M_n =2^n-1 die n-te Me
In den vergangenen Monaten wurde von FlorianM in verschiedenen Artikeln viel über die Eigenschaften von Dreiecken berichtet. Die folgende kurze Betrachtung soll daran anschließen.
Artikel über die Simson - Gerade und den Satz von Ptolemeaus.
Der 6. Teil der Serie "Vergessene Sätze am Dreieck."
Viele kennen den , denn jeder hat damit in der Schule schon einmal gerechnet. Ihr bekommt einfach gesagt:
p=-(x_1+x_2)
q=x_1*x_2
Wundert Dich, warum es so ist und nicht anders? Bewiesen wurde es zu meiner Schulzeit nie.
Dieser Artikel ist f
Mit diesem Artikel möchte ich eine Einführung in das Software Octave geben.
Kapitel 3 der Serie "Oberstufenmathematik verständlich erklärt - Lineare Algebra und analytische Geometrie" .
In diesem Abschnitt werden Geraden und Ebenen erläutert und Lageuntersuchungen dieser Gebilde vorgenommen.
Eine Mitschrift von einem Vortrags eines Mathewochenendes.
Der Artikel behandelt Fibonaccizahlen, mit dem Schwerpunkt bei Teilbarkeitsfragen.
In diesem Artikel möchte ich beginnen ein wenig über orthogonale Polynome an einem Intervall zu erzählen. Genauer, werde ich über dem Umweg von orthogonalen Polynomen jedem Wahrscheinlichkeitsmass eine Jacobimatrix zu ordnen.
Da ich diesen Artikel nur als Appetizer zum Thema sehe, verzichte ich d
Seit der Antike gibt es eine bestimmte Art geometrischer Konstruktionen, die allein mit Zirkel und Lineal ausgeführt werden.1) Das Lineal darf keine Markierungen haben, während über den Zirkel nichts weiter vorausgesetzt wird. Als selbstverständlich
Vergessene Sätze am Dreieck
Teil 7:
Liebe Freunde der Geometrie,
mit diesem Artikel wird meine Serie "Vergessene Sätze am Dreieck" erweitert. Ich werde nicht nur Sätze am Dreieck, sondern diesmal auch an n, vor allem an Vierecken und Sechsecken erläutern.
Zuerst wird es eine
stress Würfeltexturen und ihre Bedeutung
big Zusammenfassung
Aufbauend auf den erarbeiteten Grundlagen in den Artikeln Die Signatur der Würfelnetze [SW], Die Mechanik der Würfelnetze [MW] und Vom Würfelnetz zum Raumquant [WR] betrachtet dieser Artikel nun die Texturen der
: Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :: Komplexe Zahlen :: Schule :: Schüler aufwärts :Eine Einführung für Schüler und Schülerrinnen in das interessante Gebiet der komplexen Zahlen.
Ihr lernt, wie man komplexe Zahlen definiert, mit ihnen rechnet, sie dargestellt und eine Menge weiterer interessanter Sätze und Formeln.
: Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :: Schule :: Stochastik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :Eine ausführliche Erläuterung der Binomialverteilung mit Anwendungen und Beispielen. Speziell für Schüler.
: Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :: Schule :: Stochastik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :Eine kurze Herleitung der Tschebyschew-Ungleichung.
: Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :: Schule :: Stochastik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :Dieser Artikel führt auf Schulniveau die Begriff Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung ein.
oder Die Koinzidenz...
- die Summe der beiden darüberstehenden und an den Enden jeder Zeile eine Eins, oder eine Tabelle der Binomialkoeffizienten
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Was haben Determinanten und gewichtete, azyklische und gerichtete
Graphen gemeinsam? Nichts? Nicht ganz, im folgenden Artikel wird
das Lemma von Gessel-Viennot bewiesen, das eine wunderbare Verbin-
dung zwischen den erwähnten Graphen und Determinanten herstellt.
Mit Hilfe dieses Lemm
Ein Einblick in die Numerik für Schüler und/oder angehende Studenten.
Wir werden Verfahren zur numerischen Nullstellenbestimmung und Integralrechnung und zur Interpolation angeben.
Wir suchen nun eine ''einfache'' Funktion p: I -> \IR, welche die Interpolationsbedingung erfüllt.
Natürlich versteht jeder unter "einfach" etwas anderes, so dass ich hier einige Beispiele bringen und dann die Interpolation mit kubischen Splines etwas näher beleuchten möchte.
: Mathematik :: Wahrscheinlichkeit+Statistik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :: Schule :: Schüler aufwärts :: Stochastik :Was versteht man unter der hypergeometrischen Verteilung? Warum steht sie in engem Bezug zur Binomialverteilung?
In diesem Artikel werden wir auf diese Fragen eingehen und euch anhand von zahlreichen Beispielen diese Verteilung näher erklären.
Kürzlich wurde hier [1] gefragt, wie man zu einer gegebenen Kurvenschar die Einhüllende, auch Hüllkurve oder Enveloppe genannt, ermittelt. Der Fragesteller (oder die Fragestellerin?) meinte, daß die Erklärungen dazu im Internet nicht ausreichen. Das mag s
Betrachtet man die Zahlen 11111... in einem Zahlensystem mit der Basis q, so scheinen diese kaum Quadratzahlen zu repräsentieren. Zumindest dann nicht, wenn sie mehr als zweistellig sind.
Vor längerer Zeit wurde hier im Forum über dieses Problem ausgiebig diskutiert, speziell über die Basis 3. Da
Ich schreibe diesen Artikel wegen der im Forum häufig auftretenden
Aufgabe, Spezialfälle folgender Reihe zu berechnen.
Berechnung der Reihe:
sum(1/((n+a)*(n+a+1)*...*(n+a+b)),n=1,inf )
mit b el IN und a beliebig außer -1,-2,-3...
Über Einzelheiten bei der Abbildung w=a/z
Vor kurzem wies unser Mitglied tevlon auf ein schönes Video hin, das der Möbius-Transformation [1] gewidmet ist. Bei ihr handelt es sich um eine gebrochen-lineare Funktion zwischen den komplexen Variablen z=x+iy und w=u+iv. Die reellen Zahlen x,y,u und v
Einführung in die p-adischen Zahlen, mit funktionentheoretischer Motivation und algebraischer Konstruktion, ergänzt durch Demonstration von Berechnungen durch ein Computer-Algebra-System.
Eulers Werk ist sehr umfangreich. Seine gesammelte Werke, die "Opera Omnia" bestehen zur Zeit aus 74 Bänden. Dies macht es sehr schwer diesen Mann zu würdigen. Man müsste auf seine mathematische Notation verweisen, welche noch heute verwendet wird. Seine Beiträge zur Analysis, Zahlentheorie, Statik,
PRIMZAHLZWILLINGE
1. MOTIVATION
Zwillinge, ja genauer , wozu dienen sie? Steckt ein Sinn dahinter, oder sind sie nur eine Definition? Wieso soll man sich mit n beschäftigen, worin liegt der Sinn darin? Obgleich in meinen Augen bisher nicht
big Zusammenfassung
Was haben Primzahlen mit der Addition zu tun? Nach einer bekannten Aussage von Landau nicht viel. In diesem kurzem Artikel soll aber gezeigt werden, dass Primzahlen bzgl. der Addition interessante Eigenschaften besitzen, die zu neuen Erkenntnissen führen können.
Vergessene Sätze am Dreieck
Teil 8: Der Schmetterling und der Satz von Morley
Liebe Geometrie – Freunde,
der achte Teil meiner Serie „Vergessene Sätze am Dreieck“ kehrt noch einmal im gewissen Sinne zu eigentlichen Dreiecken, nachdem wir uns im siebten Teil mit Vielecken beschäftigt haben, zurüc
In diesem Artikel geht es um verschiedene Arten von figurierten Zahlen. Dazu gehört natürlich zuerst einmal die Erklärung: Was ist eine figurierte Zahl?
Ausgehend von den Primzahlzwillingen werden Verwandtschaftbeziehungen (Geschwister und Cousins) unter den Primzahlen eingeführt und anhand dieser besonderen Abstands-Struktur die Problemstellung zu den Primzahlzwillingen erweitert. Interessante Vermutungen runden diese ab.
Exkurs über Gruppen, Untergruppen, zyklische Untergruppen, Satz von Lagrange...
Einführung zu Symmetriegruppen. Was sind Symmetrien und wie beschreibt man diese mit Hilfe der Gruppentheorie?
Was ist eine Kurve? Wie ist sie definiert? Was ist eine Parametrisierung? Was versteht man darunter, wenn eine Kurve nach Bogenlänge parametrisiert ist?
All diese Fragen und noch viele mehr werden in diesem Artikel beantwortet.
Dies ist eine Fortsetzung des ersten Teils über unendliche Tensorprodukte. Dieses mal soll das multilineare Tensorprodukt von Vektorräumen allgemein untersucht werden. Im einzelnen geht es um eine Zerlegung des Tensorproduktes in Limites von endlichen Tensorprodukten und um Dualisierungs-Homomorphismen.
Der chinesische Restsatz und die Berechnung der Galoisgruppe eines Kompositums finden in einem einfachen Lemma eine gemeinsame Verallgemeinerung. Anschließend wird der chinesische Restsatz geometrisch formuliert.
Es wird gezeigt, dass die Kardinalität einer linear unabhängigen Teilmenge eines freien R-Moduls durch den Rang nach oben beschränkt ist. Daraus wird sich auch ergeben, dass die Kardinalität eines Erzeugendensystems durch den Rang nach unten beschränkt ist. Insbesondere ist der Rang eindeutig.
Im zweiten Teil der Serie Kurven im IR^2 und IR^3 wird der Begriff der Länge motiviert und definiert. Wir werden zwei Definitionen geben und zeigen, dass diese beiden äquivalent sind.
Die Berechnung des Ausdrucks sum(n^m,n=1,N) kann auf sehr verschiedene Weise vorgenommen werden.
Einige davon sind bereits auf dem Matheplaneten vorgestellt worden, z.B. im Artikel Endliche Summen oder hier im Forum. Hier folgt noch ein weiterer Ansatz.
Krümmung von Kurven im R², R³ und allgemein im R^n mit ausführlichen Beispielen.
Ein Artikel über den Satz von Fenchel, der angibt, wie stark sich eine Raumkurve krümmen muss, um sich zu schließen bzw. wie man einer Kurve ansieht, ob sie in einer Ebene liegt oder nicht.
In diesem Artikel geht es um verschiedene Dimensionen, wie man damit rechnen kann, wie man sie definieren und wie man sie sich vorstellen kann.
Der Schwerpunkt ist dabei auf die vierte Dimension gesetzt.
Einführung der reellen Zahlen, Vollständigkeit, Supremum und Infimum werden Begriffe sein.
Ein Artikel über metrische und topologische Räume mit Sätzen unteranderem von Heine-Borel, dem Kompaktheitsbegriff und vieles mehr.
Was ist eine Norm? Was ein normierter Vektorraum oder ein Banachraum? Solche Fragen werden in diesem Artikel mit zahlreichen Beispiel beantwortet.
Motivation und Einführung zur Galoistheorie.
Stetige Abbildungen in metrischen Räumen und topologischen Räumen und Banachräumen.
/Fibonacci-Zahlen
Ihre erste Erwähnung bekommt sie unter dem Namen „maatraameru“ um 450 v.Chr. bzw. 200 v.Chr. Ausführlicher behandelt wurde die Folgen dann auch von Virahanka(6. Jh.) und später dann auch von Acharya Hemachandra (1089-1172).
In der westlichen Welt war es zu
Gruppen und Permutationsgruppen. Das Wichtigste für die Galoistheorie.
Diese Arbeit beschäftigt sich mit der fraktalen Geometrie und ist als eine Einführung zu verstehen.
1. Vorbemerkungen
Der folgende Artikel richtet sich in erster Linie an SchülerInnen, die Probleme bei der Scheitelbestimmung quadratischer Funktionen haben. Selbstredend freue ich mich auch über jeden anderen Leser und hoffe, diese mit meinem Artikel nicht allzusehr zu langweilen.
Ich will gan
Die diophantischen Gleichungen der Form big a*(x^n-1)/(x-1)=D*y^m sind seit vielen Jahrzehnten immer wieder im Fokus zahlentheoretischer Fragestellungen. Aber trotz erheblicher Bemühungen und bemerkenswerter Fortschritte sind diese und ähnliche
Das Konjugierte-Gradienten-Verfahren
mit exakter Arithmetikbei quadratischen Zielfunktionen
1 Einleitung
Das Konjugierte-Gradienten-Verfahren (kurz: cg-Verfahren, cg Abk. für conjugated gradients) ist zunächst ein Abstiegsverfahren zur Minimierung konvexer, quadratischer Funktionen. Die
Da das Problem des minimalen zweifach zusammenhängenden Graphen auf einen explodierenden Algorithmus führt, wird die Forderung soweit abgeschwächt, dass das Problem mit einem nicht explodierenden Algorithmus zu lösen ist.
Ein junger Mathematikstudent verliebte sich in eine Kommilitonin, war aber zu schüchtern, ihr das zu sagen. Um es wenigstens anzudeuten, schickte er ihr eine Geburtstagskarte, die mit den folgenden Zeilen endete:
x=+-(-3t^2+2t+1)|sin|t
y=(-3t^2+2t+1)|cos|t
0
Die
Pi ist irrational (und sogar transzendent, was aber für das Weitere keine Rolle spielt). Seine Nachkommastellen, von denen inzwischen viele Milliarden berechnet wurden, weisen wie die Augenzahlen beim Würfeln keinerlei Regelmäßigkeit auf.
Regellosigkeit bedeu
Vorbemerkung: Mehrere in letzter Zeit auf dem Matheplaneten erschienene Artikel erfordern sehr spezielle Kenntnisse und sind dadurch vermutlich nur relativ wenigen verständlich. So ist es vielleicht ganz angenehm, zur Abwechslun
Bei dem - leider erfolglosen - Versuch, eine von Buri gestellte Aufgabe zu lösen, suchte ich im Internet nach einem Zusammenhang zwischen unendlichen Kettenbrüchen und Reihen, fand aber außer ein paar Andeutungen kaum etwas dazu. Statt dessen stieß ich auf etwas wenig
Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?
Mit dieser Fragestellung beschäftigt sich der vorliegende Artikel. Manche Zahlen wie zum Beispiel 13=2²+3² lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben, während die Zahl 7 keine solche Darstellung bes
, gebildet aus einer Oktave,
die in 12 gleiche Schritte
eingeteilt ist.
Die Naturtonreihe, die aus Grund- und
Oberschwingungen einer schwingenden Saite entsteht, teilt die Oktave
in 5 Ganz- und 2 Halbtonschritte ein. Diese Ganztonschritte lassen
sich in jeweils zwei
20% auf Alles! Oder doch lieber 100% in der nächsten Mathe-Klausur? Dieser Artikel richtet sich an alle Interessierten, die sich gerne mit der ein wenig vertrauter machen würden.
Hallo liebe Differentialgeometer,
in diesem Artikel wollen wir uns mit Hodge-Theorie auf Mannigfaltigkeiten beschäftigen. Als zentrales Resultat wird der Zerlegungssatz von Hodge stehen, der angibt, dass jede p-Form zerlegt werden kann in eine har
Mit dem nachfolgenden Artikel hoffe ich einen kurzen Einblick in die Anwendbarkeit von graphischen Matroiden geben zu können.
Auch wenn Matroide oft als ein nur für die Theorie hilfreiches Instrument gelten, so sind sie doch häufig hilfreich, um Rechenverfahren zu entwickeln, wie es zum Beipiel be
Die Galoistheorie
Kapitel 2: Ringe und Polynome
Hallo Galois-Freunde,
da sich die Galoistheorie mit der Auflösung von Polynomgleichungen in einer Unbekannten beschäftigt, wollen wir mit diesem Artikel ein wenig über Polynome reden.
Dazu werden wir zunächst auf Ringe eingehen. Wir werden sie
Harmonische Abbildungen - Teil 2
Hallo Differentialgeometer,
im ersten Teil über die harmonischen Abbildungen, haben wir harmonische Abbildungen zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten eingeführt und definiert. Wir haben gesehen, dass harmonische Abbildungen einer semi-linearen partiell
Harmonische Abbildungen - Teil 1
Hallo Differentialgeometer,
eine Abbildung f: M -> N zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten M und N nennen wir harmonisch, falls sie ein kritischer "Punkt" des
Energie-Funktionals 1/2*int(abs(df)^2,mue,M,) ist.
Eine harmonische Abbildung zwischen R
In diesem Artikel will ich euch einen ersten Einblick in die Integralrechnung geben. Dieser Artikel ist speziell für Schüler geschrieben.
Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten.
In diesem Artikel möchte ich einen kleinen Überblick über Voronoi-Diagramme geben. Ich beschränke mich nicht auf das in Vorlesungen übliche klassische Voronoi-Diagramm, sondern erläutere auch das Voronoi-Diagramm von Liniensegmenten. Desweiteren gehe ich auf einige Anwendungen in der Informatik ein.
Ultrafilter sind sehr seltsame mengentheoretische Objekte. Kein Mensch kann sich vorstellen wie ein freier Ultrafilter aussieht. Trotzdem lässt sich damit eine Menge interessanter Mathematik betreiben. Wir verwenden Ultrafilter um eine Reihe spektakulärer Sätze zu Beweisen. Insbesondere beweisen wir Tychonoffs Produkttheorem und den Kompaktheitssatz der Aussagenlogik.
In meiner Arbeit beschreibe ich, wie man eigentlich zu quaternionischen Fraktalen kommt und gebe Ansätze, wie man sie untersuchen könnte.
Dabei will ich dem Leser vor allem nahe bringen, wie ich dabei vorgegangen bin - somit ist die ganze Arbeit chronologisch aufgebaut (also in der zeitlichen Reihenfolge, in der ich die verschiedene Erkenntnisse gesammelt habe)!
Vorstellung des Computeralgebra-Systems GAP und dessen Anwendung auf Elemente der Gruppentheorie und der Darstellungstheorie
: Mathematik :: Graphentheorie :: Vier-Farben-Satz :: Kantenfärbungen auf Graphen :: Interessierte Studenten :Etwas über Graphentheorie -
Vier-Farben-Satz, Kantenfärbungen, Snarks, Petersen-Graphen und die Äquivalenz gewisser Färbungs- und Flußprobleme auf kubischen Graphen.
stress Eine Einführung in neue Einblicke der Struktur von Würfelnetzen
big Zusammenfassung
Ein Würfel wird aufgefaltet. Dies gelingt auf 11 verschiedene Arten, so dass entsprechend viele Faltschablonen generiert werden. Es zeigt sich nun, dass diese Netze in besonderer Weise g
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Heute, Gestern, vor 2 oder 3 Tagen geändert
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