Die Mathe-Redaktion - 24.10.2014 20:46
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Einträge zum Stichwort Polynome

Dies ist eine Aufgabe der 4.Runde der Mathematik Olympiade für 11. - 13. Klässler:
Berechnet man mit dem Computer den Term n7/7 + n5/5 + n3/3 + 34n/105 für n=1,2,3,...so ergeben sich anfänglich lauter natürliche Zahlen: 1, 28, 371, 2568, 11829, ...,
und es stellt sich die Frage, ob das immer so weiter geht oder nicht doch irgendwann auch Brüche vorkommen.

Hier wird das Horner-Schema beschrieben, mit dem man einfach Funktionswerte berechnen, Poylnomdivisionen durchführen und Nullstellen erraten kann
Standardwege, Tipps & schmutzige Tricks zum Lösen von Polynomgleichungen:

1. Lineare Gleichungen
2. Quadratische Gleichungen
3. Gleichungen dritten und vierten Grades
4. Weitere Lösungsverfahren für Spezialfälle
4.1 Kreisteilungspolynome
4.2 Die Biquadratische Gleichung
4.3 Andere durch Substitution lösbare Gleichungen
4.4 Spezialfall einer Kreisteilungsgleichung
4.5 Binom-Gleichungen
4.6 Gradreduzierung durch Ausklammern von x
4.7 Gradreduzierung durch Polynomdivision
5. Seltene Lösungsverfahren und Approximierungen
5.1 Methode des Quadrat-Extrems
5.2 Die Newton-Iteration
5.3 Regula falsi
5.4 Das allseits beliebte Raten
Ein sehr lesenswerter Artikel, der die Formeln von Cardano behandelt und herleitet.
Herleitung der Formel von Ferrari um Polynome 4.Grades aufzulösen.

Hier wird eine Verallgemeinerung des Gauss'schen Verfahrens zur Summation der Zahlen von 1 bis n besprochen.
Formale und sehr ausführliche Betrachtung von Polynomringen
Ein Polynom in der Unbestimmten x, das vollständig in die Linearfaktoren der Nullstellen zerfällt, lässt sich ausmultiplizieren. Die Koeffizienten vor den x-Potenzen sind Polynome in den Nullstellen. Doch wie sehen diese aus?
In diesem Artikel werden wir 9 Beweise dafür präsentieren, dass die Anzahl der Variablen eines Polynomrings eindeutig bestimmt ist. Das heißt, wenn K[X_1,...,X_n] und K[X_1,...,X_m] als K-Algebren isomorph sind, dann ist n=m.
Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton durch ein Dichtsheitsargument in der Zariski-Topologie.
Darstellung einer rekursiven Formel für die Summe über n^m ohne Verwendung der Bernoulli-Zahlen.

Demonstration der Lagrange-Interpolation an einem Beispiel

Wurzelschau [von luxi] Druckerfreundliche Ansicht (matroid/Gockel)
Graphische Interpretation komplexer Nullstellen quadratischer Gleichungen.

Approximation der Kurve y=x3+ax2+bx+c durch die kubische Parabel y=x3, die durch die Startnäherung xn auf der x-Achse verschoben wird,
Eine Einfuehrung in die Theorie der Standardbasen (Gröbner-Basen) von Idealen in Polynomringen.
Der Divisionssatz als Verallgemeinerung des euklidischen Algorithmus und der Polynomdivision. Das Ziel ist es, darzustellen, dass der Algorithmus nicht immer einwandfrei funktioniert, um die Gröbner-Basen eines Ringideals zu motivieren.

Potenzsummen [von trunx] Druckerfreundliche Ansicht (Anonymous/Gockel)
Die Berechnung des Ausdrucks sum(n^m,n=1,N) kann auf sehr verschiedene Weise vorgenommen werden. Einige davon sind bereits auf dem Matheplaneten vorgestellt worden, z.B. im Artikel Endliche Summen oder hier im Forum. Hier folgt noch ein weiterer Ansatz.

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