Die Mathe-Redaktion - 20.09.2014 03:52
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Reine Mathematik
5-Farben-Satz [von Kobe] Druckerfreundliche Ansicht (matroid/huepfer)
Dass jeder ebene Graph 5-färbbar ist, hat Fabi bereits hier bewiesen. Aber ich werde diesen Satz auf eine andere Art und Weise beweisen. Kombinatorischer und mit Listenfärbung
Der Artikel definiert (exakte) Sequenzen und beweist einige wichtige Sätze darüber. Darunter das Schlangenlemma, Fünfer-Lemma und das Barratt-Whitehead-Lemma.
Inhaltsverzeichnis der Reihe Algebraische Topologie
Dieser Artikel stellt den ersten Teil der Serie Algebraische Topologie dar und führt mit motivierenden Beispielen in die Ideen einiger Konstruktionen aus der Alg.Topologie ein. Beispiele aus Analysis, Funktionentheorie, Kombinatorik und anderen Bereichen werden gegeben.
Der zweite Teil der Reihe gibt die Definition der Eilenberg-Steenrod-Axiome an und leitet einfache Aussagen aus diesen Axiomen ab. Unter anderem werden die Homologien von Sphären bestimmt und der Satz über die Invarianz der Dimension bewiesen.
Der dritte Teil der Reihe beweist mit Mitteln der algebraischen Topologie den Brouwerschen Fixpunktsatz, den Jordanschen Kurvensatz und den Satz von der Invarianz des Gebiets.
Im vierten Teil der Reihe wird eine konkrete Homologietheorie konstruiert, während vorher nur rein axiomatisch argumentiert wurde. Die Beweise der Eilenberg-Steenrod-Axiome werden zumindest skizziert, wenn auch nicht vollständig ausgeführt.
Erster Artikel der Serie über globale Analysis. Es geht in diesem Teil um (Alternierende) Multilinearformen.
Mit Hilfe des Residuensatzes wird ζ(2) berechnet. Ein Artikel zum Satz des Jahres 2011.
Darstellung von Methoden zur Berechnung von Galoisgruppen, die über die üblichen Trivialitäten hinaus gehen.
Beweis der Rechengesetze der natürlichen Zahlen anhand der Peano-Axiome.
Beweis des Stone'schen Darstellungssatzes für Boole'sche Algebren mit und ohne Eins.
Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an Teil 1: Lineare Darstellungen Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen. Dies ist der erste von drei Teilen: Teil 1: Lineare Darstellungen Teil 2: Charaktertheorie Teil 3
Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an Teil 2: Charaktertheorie Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen. Dies ist der zweite von drei Teilen: Teil 1:Lineare Darstellungen Teil 2: Charaktertheorie Teil 3: Unt
Wie man die Gruppeneigenschaft an einem einzigen Axiom beweist.
Die Definition der Gruppenverknüpfung auf elliptischen Kurven sowie der Nachweis der Gruppenaxiome, insbesondere des Assoziativgesetzes auf elementare Weise.
Eine Kugel ist eine Kugel ist... sind zwei Kugeln?! - Der Satz von Banach-Tarski
Mathematische Beweisprinzipien beim Königsberger Brückenproblem angewendet. Der berühmte Euler hat das Problem formuliert. Die Antwort verdeutlicht Begriffe wie "notwendige und hinreichende Bedingung" und es wird ein "indirekter Beweis" gegeben. Durch Java-Applets wird die Fragestellung verdeutlich
Hier werden interessante Sachen über algebraische Zahlen und deren MiPo bewiesen.
" Was hat es mit dem sogenannten "Körper der algebraischen Zahlen über Q" auf sich, wie zeigt man dessen Körpereigenschaften und wie bestimmt man das Minimalpolynom einer gegebenen algebraischen Zahl?"
Ein wunderbarer Artikel zu Schleppkurven
stellt eine Alternative zum erweiterten euklidischen Algorithmus, der z.B. hier vorgestellt wird, dar. Dabei werden in einem euklidischen Ring R für zwei Elemente p,q ein größter gemeinsamer Teiler c von p,q und Elemente r,s mit c = rp + sq gesucht.
...hat viele Anwendungen, etwa bei der Jordan'schen Normalform, beim Lösen von simultanen Kongruenzen und bei der Interpolation von Polynomen. Er ist in vielen Formen bekannt, sodass es sich lohnt, zunächst allgemeinere Untersu chungen durchzuführen.
Viele von euch haben bestimmt schon mal vom Vierfarbensatz gehört: Jede Landkarte lässt sich mit 4 Farben färben, so dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben. Der Beweis dafür ist serh schwer. Für 5 Farben geht es aber einfacher, wie Fabi hier gezeigt hat.
Der Unterschied von Kern und kern sowie ihr Zusammenhang zu Äquvalenzrelationen, Fasern, Faktorgruppen und Lösungräumen von LGS
... ist ein endlicher topologischer Raum, den man sich so vorstellen kann: Er hat zwar nur vier Elemente, ist aber aus Sicht der Homotopietheorie nicht vom Einheitskreis S^1. In diesem Artikel werde ich erklären, was es damit auf sich hat.
Der Satz von Burnside charakterisiert nilpotente Gruppen mit einer Vielzahl von zueinander äquivalenten Strukturaussagen.
Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton durch ein Dichtsheitsargument in der Zariski-Topologie.
Ich möchte in diesem Artikel einen Beweis des Satzes von Schroeder-Bernstein vorstellen, den ich für sehr schön halte.
Es wurde bereits hier ein Artikel über den Satz von Schröder-Bernstein geschrieben. Dieser besagt folgendes: Gibt es Injektionen A -> B, B -> A, so gibt es eine Bijektion A -> B.
Dieser Artikel enthält einen Beweis des Satzes von Siepiński, der besagt, dass das Auswahlaxiom aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese folgt.
Die Abzählbarkeit der Rationalen Zahlen zeigt Cantors Beweis
In diesem Artikel werden wir 9 Beweise dafür präsentieren, dass die Anzahl der Variablen eines Polynomrings eindeutig bestimmt ist. Das heißt, wenn K[X_1,...,X_n] und K[X_1,...,X_m] als K-Algebren isomorph sind, dann ist n=m.
Beweis der Äquivalenz von "Jeder Vektorraum hat eine Basis" und dem Auswahlaxiom.
Beweis, dass "Beschränkt+abgeschlossen=kompakt" in normierten Räumen genau für die endlichdimensionalen richtig ist. Außerdem wird ein Beispiel für einen nicht-normierbaren Raum gegeben, in dem die Aussage trotzdem gilt: Der Raum der holomorphen Funktionen H(U).
  • <a href="article.php?sid=1175">Abschnitt 1: Alternierende Multilinearformen
  • Abschnitt 2: Differentialformen
    • <a href="#Diffform">2.1 Differentialformen
    • <a href="#Dachprodukt">2.2 Das Dachprodukt
    • <a href="#Cartan-Ableitung">2.3 Die Cartan-Ableitung
    • <a href="#Pullback">2.4 Der Pullback von Differentialformen
    • <a href="#Epilog">Schlussbemerkungen
Dieser Artikel beschäftigt sich mit einer Einführung in die Theorie der Distributionen mit einer Motivation aus der Physik.
In diesem Artikel möchte ich drei kleine Sätze über Primzahlen vorstellen. Der Erste beantwortet die Frage: "Wann gibt es drei Primzahlen mit einer konstanten Differenz a, x, x+a und x+2a?". Der Zweite klärt eine Frage zur Faktorenzerlegung und der Dritte, das eigentliche Juwel, beinhaltet eine Ver
Ein wenig Hauptachsentransformation bei gedrehten Kegelschnitten (KS)
Werte Planetenbewohner, mit diesem Artikel möchte ich nun endlich ein zwei Jahre altes Versprechen einlösen und ein wenig über nichtganzzahlige Ableitungen berichten. (Das Thema, welches mich bei Recherchen vor drei Jahren zufällig auf den MP verschlug.)
Eine zweiteilige Mini-Reihe über diverse Techniken, um Nichteinfachheit bei kleinen Gruppenordnungen zu erkennen. Highlight dieses Teils ist der Verlagerungssatz von Burnside.
Fortsetzung des Artikels zur Untersuchung Gruppen kleiner Ordnung auf Einfachheit. Es wird u.A. der Satz von Frobenius über p-Nilpotenz bewiesen.
Erster Teil der Reihe über Gruppenoperationen. Die Einfachheit von Alt(n) wird auf zwei verschiedene Weisen bewiesen.
Inhaltsverzeichnis der Artikelserie zu endlichen, einfachen Gruppen.
Hier wird eine Verallgemeinerung des Gauss'schen Verfahrens zur Summation der Zahlen von 1 bis n besprochen.
Einleitung In diesem Artikel werde ich meine Technik vorstellen, mit der man eine quadratische Funktion, die durch 0, eine frei wählbare Nullstelle und einen frei wählbaren Punkt geht, erzeugen kann. Das ganze wird anhand von Beispielen verdeutlicht.
Exkurs über Gruppen, Untergruppen, zyklische Untergruppen, Satz von Lagrange...
 Eine Fast-Primzahl ist eine Zahl die nur 2 Teiler hat.   14=2*7 Die Zahl selber und 1 gelten nicht als Teiler. Man kann zeigen, dass jede Fast-Primzahl das Produkt von zwei Primzahlen sein muss.
Verallgemeinerung des Dualitätssatzes von Gelfand-Naimark auf kommutative C*-Algebren ohne 1. Diese sind zu lokalkompaktem Räumen dual. Ein Beweis dieser Dualität und einiger seiner Konsequenzen finet sich hier.
Nachdem mein letzter Beitrag von Fast-Primzahlen gehandelt hat, spielen jene auch hier wieder eine Rolle. Fermat hat bewiesen, dass der Flächeninhalt eines rechtwinkeligen Dreiecks mit ganzzahligen Seiten (3²+4²=5² als Beispiel) nie eine Quadratzahl sein kann. Ich werde nun versuchen den - hoffe
Einführungsartikel, Inhaltsangabe und Auftakt zur Serie über Globale Analysis von kostja und Mentat.
Gitter über komplexen Zahlen und ihre Verbindung zu elliptischen Kurven
Ich moechte euch ein bisschen was ueber Hamiltonkreise erzaehlen, bzw. ueber Graphen und notwendige Bedingungen fuer die Existenz von Hamiltonkreisen. Deshalb zuerst eine kleine (wirklich kleine, ich erzaehl' nur das, was wir fuer die Hamiltonkreise brauchen) Einfuehrung in die Gr ...
Dieser Artikel ist entstanden als Antwort auf ein Problem von spitzwegerich, das <a href="viewtopic.php?topic=61766&start=0">hier behandelt wurde. Die Ausgangssituation ist die Folge (a(n)), die durch folgende Rekursion definiert ist:
a(0)=1
a(1)=0
a(n+1)=a(n)+a(n-1)/((2n-1)*(2n+1)) für alle natürlichen n
Diese Ausarbeitung beschäftigt sich mit einer Theorie der Strukturen. Die Mathematik hat bereits sehr viele Strukturen hervorgebracht, die sich von Gruppen, über Körper bis zu Vektorräumen erstrecken, um nur einige wenige Bekannte zu nennen. Allerdings werden die Strukturen immer komplexer und umfangreicher, mit verschiedensten Spezifikationen, um den Ansprüchen gerecht zu werden, die an sie gestellt werden. Die vereinheitlichte Theorie, die uns eine abstrakte Behandlung aller mathematischen Strukturen erlauben soll, ist die Kategorientheorie, mit der wir uns in diesem Artikel beschäftigen wollten.
Einführung in diese Interessante Verbindung von Gruppen- und Graphentheorie.
Teil 9 der Reihe behandelt Permutationsgruppen und elementare Eigenschaften der endlichen symmetrischen Gruppen, die im Zusammenhang mit Algebra I oft gebraucht werden.
Einführung in das Konzept der Gruppenoperation mit Beweis der Bahnformel, das Zentrum von p-Gruppen ist nichttrivial, Beweis der Sylow-Sätze
Subnormalreihen und Ausflösbarkeit werden hier besprochen
Dieser Teil der Serie behandelt topologische Gruppen und ihre Eigenschaften. Im zweiten Teil werden unitäre Gruppen untersucht und bewiesen, dass PSU(2) eine einfache Gruppe ist
Das Thema dieses Artikels sind interessante und nützliche Sätze über abelsche Gruppen sein: Der Struktursatz für endliche abelsche Gruppen und die Struktur der primen Restklassengruppen
Gruppenzwang VIII - Exkurs
Ein ausgelagerter Satz des achten Teils der Gruppenzwangreihe, der die Automorphismengruppen endlicher und endlich erzeugter abelscher Gruppen klassifiziert.
Zehnter Teil der Gruppenzwang-Reihe. In diesem Artikel werden Gruppenerweiterungen und semidirekte Produkte eingeführt. Als Anwendung wird der Satz von Schur-Zassenhaus bewiesen. Außerdem werden Darstellung häufig benötigter Gruppen als semidirekte Produkte bewiesen.
Elfter Teil der Gruppenzwangreihe. Hier geht es um Kranzprodukte, Äquivalenz von Gruppenerweiterungen, den Satz von Kaloujnine-Krasner und es werden die Sylowgruppen der GL(n,q) sowie Sym(n) klassifiziert.
Überblick über diese eher selten verwendete Art von Funktionen
Die Fortsetzung des Artikels über Bochner-Integrale. Dieses Mal wird das Pettis-Integral vorgestellt und ein paar wesentliche Eigenschaften bewiesen. Dazu werden als Anwendung ein paar Sätze über Funktionentheorie in beliebigdimensionalen IC-Vektorräumen bewiesen.
Vorstellung des Bochner-Integrals, einer Verallgemeinerung des Lebesgue'schen Integralbegriffs auf bestimmte vektorwertige Funktionen. Beweis einiger grundlegender Sätze dazu.
Die Bergische Universität Wuppertal hat eine tolle Sammlung interaktiver Seiten. Hier geht es zu den Primzahlgeheimnissen Bietet aussagekräftige Java-Applets, kurze Erklärungen, gute Verständlichkeit. Bei den Primzahlen gibt's die Themen  - Primzahlen  -   Eratosthenes  -   Primzahlzwillinge
Liebe Planetarier, Dieser Artikel ist einerseits als Fortsetzung des Artikels Kategorientheorie, in dem ich eine Einführung in die Sprache der Kategorien gab, gedacht. Andererseits will Ich ich eine Einführung in die Technik von Diagrammen und Sequenzen geben. Letztere sind sehr mächtige und effi ...
Dieser Artikel setzt Zaos' Einführung in die Kategorientheorie fort. Es werden die Begriffe Monomorphismus, Epimorphismus und Isomorphismus in beliebigen Kategorien eingeführt. Sie verallgemeinern die Begriffe Injektion, Surjektion und  Bijektion.
Im Laufe eines Mathematikstudiums begegnen einem Studenten viele, zum Teil verschiedenartige Strukturen: Gruppen, Körper und Vektorräume in der Linearen Algebra, Stetigkeit und Konvergenz (in metrischen Räumen), differenzierbare Strukturen (in normierten Vektorräumen) in der Analysis. Später begegne
Ordinalzahlarithmetik, Definition von Addition und Multiplikation auf Ordinalzahlen, Beweis einiger Rechengesetze
Konstruktion der rationalen Zahlen als Quotientenkörper
Konstruktion der reellen Zahlen durch Dedekind-Schnitte aus den rationalen Zahlen
Die Theorie linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Angabe der Standardlösungen für die homogene Gleichung und Beweis dessen. Lösungen für die inhomogene Gleichung.
Logik historisch [von buh] Druckerfreundliche Ansicht (matroid/huepfer)
Eine der allgemein unverständlichsten Logeleien ist die Tatsache, dass aus einer falschen Voraussetzung alles mögliche folgt. Einstein wurde einmal gefragt, ob er das verständlich erklären könne. Seine Antwort: "Wenn 1+1 gleich 1 ist, bin ich der Papst." Argumentation??
Es wird der Schauder'sche Fixpunktsatz - eine weitreichende Verallgemeinerung des Brouwer'schen Fixpunktsatzes - vorgestellt und der Spezialfall von Tychonoff bewiesen. Es werden Anwendungen in der Theorie der Differentialgleichungen vorgestellt.
Artikel über topologische und speziell lokalkonvexe Vektorräume. Grundlegende Eigenschaften wie Vollständigkeit, Kompaktheit, totale Beschränktheit werden für topologische Vektorräume eingeführt. Diverse Beispiele für lokalkonvexe Räume (wie etwa Distributionenräume) werden vorgestellt.
Einführung in die Theorie der Ringe und Moduln. Behandelt die Untermoduln und Ideale, Homomorphismen, Quotientenringe und -moduln, Isomorphiesätze.
Einführung in die multilineare Algebra mit einer ausführlichen Besprechung von multilinearen Abbildungen und Tensorprodukten.
Darstellung einer rekursiven Formel für die Summe über n^m ohne Verwendung der Bernoulli-Zahlen.
"In dieser Arbeit möchte ich die diophantischen Gleichungen der Form xn+yn=zn [...] betrachten."  - mit diesem zurückhaltenden Satz beginnt eine 23-seitige Ausarbeitung, in der Geschichte und Beweise der Fälle n=1 bis n=7 konkret gegeben werden und schließlich ein Überblick der weiteren Absch...
Formale und sehr ausführliche Betrachtung von Polynomringen
Vollstänige Klassifizierung der endlichen Gruppen der Ordnung pq mit Primzahlen p und q.
Quaternionen [von Zaos] Druckerfreundliche Ansicht (matroid/huepfer)
Geometrie der Einheitsquaternionen und ein wenig über stereographische Projektion
Ein Artikel über die so genannte schwache Konvergenz von Folgen und die von der schwachen Konvergenz erzeugte Topologie.
Irrationalität von e und pi sowie die Transzendenz von e werden hier bewiesen.
Beweis der Transzendenz von pi.
"Die Transzendenz von Pi Als Ferdinand LINDEMANN 1882 die Transzendenz von Pi bewies, hatte er ein zwei Jahrtausende altes Problem erledigt: Die Quadratur des Kreises, oder, in heutiger Sprache, die Konstruktion zweier Strecken mit dem Längenverhältnis Pi nur mit Zirkel und Lineal. ..."
Definitionen und grundlegende Eigenschaften von Sesquilinear-, Bilinear- und hermiteschen Formen und quadratischen Formen.
Beweis des Fortsetzungssatzes von Witt für alternierende und hermitesche Sesquilinearformen sowie quadratische Formen. Anwendungen.
Klassifikation der meisten endlichdimensionalen, symplektischen/unitären/orthogonalen Räume über endlichen Körpern. Es wird außerdem die Gruppenordnung der jeweiligen Isometriegruppen hergeleitet.
Ein interessanter Numerik-Artikel über die Singulärwertzerlegung und ihre Anwendungen in der Numerik.
In diesem Artikel soll eine möglichst vollständige Sammlung von speziellen Funktionen und ihren Eigenschaften entstehen. Mit speziellen Funktionen bezeichne ich hier Funktionen wie die Legendre-, Laguerrepolynome oder die Bessel-, sphärischharmonische- und Neumannfunktionen.
Ein Polynom in der Unbestimmten x, das vollständig in die Linearfaktoren der Nullstellen zerfällt, lässt sich ausmultiplizieren. Die Koeffizienten vor den x-Potenzen sind Polynome in den Nullstellen. Doch wie sehen diese aus?
Einführung in die Welt von transzendenten und irrationalen Zahlen
Überblick über die Galoistheorie für unendliche Galois- und sogar beliebige Körpererweiterungen.
Untersuchung der Sinnhaftigkeit von Tensorprodukten unendlich vieler Moduln. u.A. wird neben der üblichen Definition über multilineare Abbildungen eine weitere Definition für Algebren vorgestellt und deren Auswirkungen besprochen.
Ein Artikel über universelle Eigenschaften, Morphismen und Objekte in der Kategorientheorie.
3. Teil der Serie "Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an" über Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere
Alle vollständig angeordneten Körper sind isomorph zu IR
Artikel über die Konstruktion von IC, IH und IO aus den reellen Zahlen durch die Verdopplungskonstruktion von Cayley-Dickson. Es wird beweisen, dass IR, IC, IH, IO die einzigen reellen, normierten Divisionsalgebren sind.
Ein Artikel über die rekursiv definierte Hofstadter-Folge aus seinem Buch "Gödel, Escher, Bach" Rekursive Definition:           Q(1) = Q(2) = 1           Q(n) = Q( n - Q(n-1) ) + Q( n - Q(n-2) )           [nach Douglas R. Hofstadter]
Schon vor 2 Jahren hatte ich einen Artikel 'Was ist ein Matroid' geschrieben,  der mir heute aber nicht mehr gefiel.Hier ist eine überarbeitet und erweiterte Fassung. Ich werde erklären, was ein Matroid ist, warum man sich damit beschäftigt und der Frage nachgehen, in welchem Sinne Matroide nützlich sind.
In diesem zweiten Teil geht es nun darum, genauer zu erklären, was ein Schema ist. Dabei wird die Analogie zu glatten Mannigfaltigkeiten präzise gemacht.
In diesem Artikel wird anschaulich erklärt, was ein Schema ist; ein zentraler Begriff der algebraischen Geometrie. Dabei werden nur die Ideen grob skizziert. Zum Verständnis sind nur algebraische und topologische Grundbegriffe nötig.
Eine Einführung und Beginn einer geplanten Reihe über Wavelets
Fortsetzung des Artikels über universelle Eigenschaften. Es wird eine Fülle von Beispielen vorgeführt.
Ein Artikel über das Sieb des Eratosthenes, Primzahlkriterien, Mersennesche Primzahlen, Vollkommene Zahlen und Zusammenhänge
Beginn einer Reihe über Zahlentheoretische Funktionen. Teil 1 beschäftigt sich mit Beispielen wie der Euler'schen Totient- und der Teileranzahl-Funktion sowie deren elementaren Eigenschaften.
In diesem Artikel wird das Ziegenproblem genauer untersucht. Die Aufgabenstellung: Ein Bauer habe eine quadratische bzw. runde Wiese und eine Ziege. Die Ziege sei in der Mitte einer Wiesenseite mit einer Leine angebunden. Die Frage ist nun, wie lang die Leine sein muss, damit die Ziege gena

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