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Mathematik: Kombinatorische Herleitung von Potenzsummen
Freigegeben von matroid am Fr. 31. Juli 2015 19:59:34
Verfasst von Martin_Infinite - (992 x gelesen)
Mathematik 

Kombinatorische Herleitung von Potenzsummen

Wir geben eine einfache kombinatorische Herleitung einer expliziten Formel für die Potenzsumme \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^d als ein Polynom in n, wobei der Exponent d \geq 0 fest ist. Dabei werden uns Binomialkoeffizienten und Stirling-Zahlen helfen.
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Stern Physik: Lineare Algebra, Bra-Ket-Notation und die Quantenmechanik
Freigegeben von matroid am So. 26. Juni 2011 19:38:40
Verfasst von DanielW - (5442 x gelesen)
Physik 
Angestift durch viele Fragen hier im Forum, private Diskussionen mit anderen Mitgliedern und meiner eigenen Erfahrung mit Vorlesungen, möchte ich hier kurz auf den Bra-Ket-Formalismus im Endlichdimensionalen eingehen.
Die unendlichdimensionale Variante, die in Vorlesungen und der einführenden Literatur als gewissermaßen trivial dargestellt wird, erfordert zur korrekten Behandlung (siehe z.B. [ST1],[ST2]) jedoch ein ganzes Arsenal funktionalanalytischer Kenntnisse, auf die wir hier nicht zurückgreifen wollen und auf die der durchschnittliche Physikstudent schlichtweg nicht zurückgreifen kann. Vielmehr muss er sich darauf verlassen, dass grundlegende Ergebnisse der linearen Algebra sich sinngemäß übertragen. Wir versuchen daher, diese Resultate in der der Quantenmechanik eigenen Notation zu wiederholen und ihre Bedeutung für diese Disziplin einzuordnen.
Dieser Artikel richtet sich vornehmlich an Studenten, die gerade die Vorlesung Quantenmechanik besuchen und an solche, die ihr Wissen nachträglich sortieren wollen.

Wir erinnern daher an die gebräuchlichen Postulate der Quantenmechanik [CT]:

fed-Code einblenden
Für die Beweise der in diesem Artikel zitierten Ergebnisse der linearen Algebra verweisen wir auf [SW].
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Mathematik: Vertiefungskurse MathePlus in Baden-Württemberg
Freigegeben von matroid am Do. 30. Juli 2015 19:35:52
Verfasst von Gerhardus - (523 x gelesen)
Bildung 
Vertiefungskurse MathePlus in Baden-Württemberg

Anfang März 2015 bin ich zufällig auf das Buch (Hoch-)Schulmathematik von Tobias Glosauer gestoßen, das entstanden ist aus dem Begleitmaterial zum ”Vertiefungskurs Mathematik“, der am Johannes-Kepler-Gymnasium Reutlingen von 2012 bis 2014 gehalten worden ist. (Man lese Vorwort und Inhaltsverzeichnis des Buches unter dem ersten Link.)
Davon hatte ich noch nie gehört. Mich machte sofort neugierig, wie dieser Kurs lief, der von der Schule für die Oberstufe parallel zum regulären Mathematikunterricht angeboten wird, aber nicht zum Schulstoff gehört. Deshalb kontaktierte ich den Autor und bat ihn um weitere Informationen. Ein Grund war, dass Baden-Württemberg (BaWü oder BW) die Leistungskurse in Mathematik abgeschafft hatte. Ich fragte ihn, ob er vielleicht einen Artikel schreiben könnte oder zu einem Interview bereit sei. Ich stellte ihm einige Fragen und er vertröstete mich erst einmal auf das Ende des Schuljahres.
Jetzt liegen seine Antworten und sein Einverständnis vor, sie auf unserem Matheplaneten zu verwerten. Ich danke Tobias Glosauer für seine Erläuterungen, die hier ungekürzt erscheinen, und vor allem für seinen unermüdich hohen Einsatz für den Aufbau des Vertiefungskurses.
Mein Eindruck ist, viele Mathematikdidaktiker scheuen die Gelegenheit, mathematische Themen parallel zur Schule zu vertiefen, und denken nur an maximal viele Rechenfertigkeiten im Pflichtunterricht. Optionale Angebote, neugierigen Schülern mehr mathematische Themen anzubieten als der Schulplan, sind notwendig, um Interessen zu entwickeln. Eltern und Schüler haben ein Recht darauf.

Die Universität Stuttgart bietet weiteres Info-Material. Sie erteilt Schülern des Kurses nach einer Prüfung sogar ein Zertifikat.
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Mathematik: Die Lemniskate
Freigegeben von matroid am Di. 21. Juli 2015 22:12:16
Verfasst von shadowking - (1066 x gelesen)
Analysis 
\color{blue}\textsl{\huge{\bf{Die Lemniskate}}}


Dieser Artikel gilt einer faszinierenden algebraischen Kurve vierten Grades, die in verschiedenen Bereichen auftaucht und forschungsgeschichtlich von Bedeutung ist. Ihr Name leitet sich von lateinisch „lemniscus“ ab, was „Schleife“ bedeutet. Sie symbolisiert die Unendlichkeit, weshalb das mathematische Symbol für „Unendlich“ (∞) eine Lemniskate ist. In der Freimaurerei taucht sie auf Arbeitsteppichen als maurerisches Symbol auf und steht dort für die Bruderkette, die die Logenmitglieder verpflichtet, einander in jeglicher Situation beizustehen.



Inhalt:
riderwaite1

Das Unendliche, symbolisiert durch die Lemniskate
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Mathematik: Bewertung von Derivaten
Freigegeben von matroid am Di. 21. Juli 2015 08:36:44
Verfasst von AnnaKath - (671 x gelesen)
Mathematik 
Unter Mathematikern ist es ein - oft durchaus nachvollziehbares - Vorurteil, dass Finanzmathematik bestenfalls eine schnöde Anwendung und schlimmstenfalls hanebüchene Heuristik sei. Daran glaube ich nicht und möchte anhand eines Beispiels anregen, eine solche Meinung kritisch zu hinterfragen.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit einem klassischen Problem, der Bewertung von Derivaten. Zunächst werden einige Begriffe der Finanzmathematik vorgestellt und die Bewertung eines konkreten Derivats durchgeführt. Finanzmathematik soll jedoch den zweiten Wortbestandteil verdienen, und so wird das Bewertungsproblem in weitaus allgemeiner Form angegangen und - durch die verallgemeinerte Clark-Ocone-Formel - gelöst.

Allerdings muss für ein faires Bild der Finanzmathematik auch dargelegt werden, dass - ab einem gewissen Punkt - eine anwendungsbezogene Disziplin nicht ohne Technik (das vornehme Wort für wilde Rechnerei) auskommt. So ist auch das Hauptresultat des Artikels anwendungsbezogen. Die Formel liefert eine konkrete Vorschrift, einen stochastischen Prozess - die Hedgingstrategie des Derivats - zu konstruieren, dessen bloße Existenz durch das Martingal-Repräsentations-Theorem abstrakt bereits gesichert ist.

Dieser Artikel richtet sich natürlich an jeden Interessierten; im Fokus stehen allerdings Leser, die einerseits ein wenig Verständnis der Analysis gewonnen haben und andererseits nicht zu weit auf dem Pfad der Nichtanwendbarkeit fortgeschritten sind. Insbesondere in der Anwendung Unbedarften mag dieser Artikel Anlass sein, sich einmal mit der Finanzmathematik zu beschäftigen.

Aufgrund des weiten Bogens, den dieser Artikel spannen will, muss er sehr oberflächlich bleiben und kann viele in sich interessante Objekte und Sätze entweder nur andeuten oder muss zumindest auf Beweise verzichten. Dies ist durchaus Absicht. Der Artikel soll ein wenig Interesse wecken und Diskussionen anstoßen, kein - verbreitetes - Resultat erneut vorstellen.
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buhs Montagsreport: Die Ernst des Jahres
Freigegeben von matroid am Mo. 13. Juli 2015 00:00:14
Verfasst von buh - (315 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport
Die Ernst des Jahres

Bijektive Abbildungen im Kompetenzdesign

Schleswig-Holstein. DAS wird der große Wurf: Damit die Form endlich zum Inhalt passt, wird in Schleswig-Holstein dem großen Geklingel zur „kontextorientierten Kompetenzentwicklung“ nun auch der passende Zettel zur Seite gestellt: Mit dem Schuljahr „drei Jahre nach dem kommenden“* verpflichtend wird in den dritten und vierten Klassen des Bundeslandes endlich das schnöde Zensurenzeugs, ähh, -zeugnis abgeschafft und durch eine verbale Kompetenzbeschreibigung ersetzt.
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Mathematik: Faktorisierung von Polynomen
Freigegeben von matroid am So. 12. Juli 2015 09:03:48
Verfasst von Martin_Infinite - (653 x gelesen)
Mathematik 
$$\Large\textbf{Faktorisierung von Polynomen}

In diesem Artikel möchte ich einen Algorithmus zur Faktorisierung von Polynomen vorstellen, welcher auf den Astronom F. T. von Schubert aus dem Jahre 1793 zurückgeht, also genau 222 Jahre alt ist. Zur Illustration dieses Verfahrens werden einige Beispiele nachgerechnet. Zum Beispiel faktorisieren wir das Polynom T^7 + T^6 + 2 T^5 + T^4 + 2 T^2 - T + 2 in zwei quadratische und einen kubischen Faktor. Das ist keine Kunst, sondern reine Fleißarbeit.
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buhs Montagsreport: Geometer entdecken Verschiebung
Freigegeben von matroid am Mo. 06. Juli 2015 21:41:57
Verfasst von Leonardo_ver_Wuenschmi - (292 x gelesen)
Matroids Matheplanet 
Urlogo für buhs Montagsreport

Geometer entdecken Verschiebung

Reversberge neu vermessen

Zinbiel. Wie das Marthermatische Museum* zu Zinbiel verlauten ließ, werden auch auf der Rückseite des Matheplaneten wie in richtigen Wissenschaften üblich regelmäßig Verifikationen von Erkenntnissen und/oder Messergebnissen realisiert. Nach 2002 waren in diesem Jahr wieder die Geometer am Werk, um die Berghöhen der Rückseite neu zu bestimmen.
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Mathematik: Eine Stoppzeit-Analyse der Collatz 3x + 1 Funktion
Freigegeben von matroid am Mi. 24. Juni 2015 18:51:46
Verfasst von Slash - (868 x gelesen)
Mathematik 

Eine Stoppzeit-Analyse der Collatz 3x + 1 Funktion

Im Mittelpunkt meines zweiten Artikels zum berühmten Collatz 3x + 1 Problem steht die sogenannte "endliche Stoppzeit", die angibt, welches Glied in einer Collatzfolge zum ersten Mal kleiner als seine Startzahl ist. Falls jede Startzahl einer Collatzfolge endliche Stoppzeit besitzt, erreicht eine jede Collatzfolge irgendwann die 1, so wie es Lothar Collatz vermutet hat. Ich habe nun das Stoppzeit-Verhalten für eine endliche Menge von Startzahlen untersucht. Welche Rolle dabei die Lösungen spezieller diophantischer Gleichungen spielen und was das Ganze mit dieser
                                         \displaystyle z_n=\binom{\big\lfloor\frac{5(n-2)}{3}\big\rfloor}{n-2}-\sum_{i=2}^{n-1}\binom{\big\lfloor\frac{3(n-i)+\delta}{2}\big\rfloor}{n-i}\cdot z_i

geheimnisvollen Gleichung zu tun hat, erfahrt Ihr im Artikel.
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Buchbesprechung

Einstein, Albert
Einstein sagt

Rezensiert von PhysikRabe:
Dieses Buch, herausgegeben von Alice Calaprice, enthält knapp 300 Seiten voller originalgetreuer Zitate, Briefwechsel und Gedanken von Albert Einstein. Das Buch beginnt mit einer ausführlichen Einleitung zu Einsteins Leben und Familie in Form eines Stammbaums. Im Hauptteil sind z ... [mehr...]
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