Die Mathe-Redaktion - 20.09.2014 03:52
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Mathematik: Das Erweiterungsproblem von Gruppen
Freigegeben von matroid am Do. 21. August 2014 21:44:28
Verfasst von Dune - (790 x gelesen)
Mathematik 

Das Erweiterungsproblem von Gruppen

Eines der grundlegendsten Paradigmen der Gruppentheorie besteht darin, eine Gruppe G mit gegebenem Normalteiler N zu untersuchen, indem man die Gruppen N und G/N separat betrachtet, um von ihren Eigenschaften wiederum Rückschlüsse auf die Struktur von G zu ziehen. Für viele Fragestellungen funktioniert dieses Vorgehen wunderbar. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass G auflösbar ist, indem man die Auflösbarkeit von N und G/N beweist. Es ist daher eine naheliegende Frage, wie viel wir wirklich über G aussagen können, wenn wir N und G/N ganz genau kennen.

Es ist keineswegs so, dass G durch N und G/N eindeutig bestimmt ist. Im Allgemeinen gibt es für vorgegebene Gruppen N und Q viele Gruppen G, die einen zu N isomorphen Normalteiler besitzen, sodass der zugehörige Quotient isomorph zu Q ist - allen voran das direkte Produkt N \times Q. Man spricht bei solchen Gruppen von Erweiterungen von Q um N. Die Klassifikation aller Erweiterungen (für spezielle Arten von Gruppen N und Q) ist bis heute Gegenstand aktiver Forschung.

In diesem Artikel möchte ich eine wohlbekannte Charakterisierung aller Erweiterungen einer Gruppe Q um eine abelsche Gruppe N vorstellen und anschließend zeigen, wie sich der Satz von Schur-Zassenhaus als einfache Folgerung daraus ergibt. Dieser Satz besagt, dass jeder Hall-Normalteiler einer endlichen Gruppe ein Komplement besitzt.
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buhs Montagsreport: Die Zahlenschlangen vom Stochastik
Freigegeben von matroid am Di. 19. August 2014 17:03:11
Verfasst von Leonardo_ver_Wuenschmi - (363 x gelesen)
Matroids Matheplanet 
 
Reverses Urlogo für buhs Montagsreport

Die Zahlenschlangen vom Stochastik

Mythos oder Realität?

Ruhe: Auch wenn die Entdeckungen seltener und ungewisser werden, so bleibt die Rückseite unseres geliebten Planeten ein Hort wahrscheinlich unwahrscheinlicher Ereignisse und Objekte, ein Pool quasideterminierter Ungewissheit. So gibt es in jedem Jahre während der Sommerzeit, in der die Gurken reifen, immer wieder Berichte über eine Spezies, die sich im Stochastik verstecken soll: Die

Zahlenschlange im Meer
Zahlenschlange (Zeichnung)
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Mathematik: Partialbruchzerlegung - Eine Herleitung der Darstellung
Freigegeben von matroid am Mo. 18. August 2014 09:53:24
Verfasst von cis - (573 x gelesen)
Mathematik 

Partialbruchzerlegung - Eine Herleitung der Darstellung



Ist für Polynome p(x) und q(x) der Quotient \dfrac{p(x)}{q(x)} = f(x) eine echt-gebrochenrationale Funktion (d.h. der Grad von p(x) ist kleiner als derjenige von q(x); wobei der Grad von q(x) mindestens gleich 1 ist), so schreibt sich ihre (reelle) Partialbruchzerlegung

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Mathematik: Potenz und Logarithmus
Freigegeben von matroid am Mo. 11. August 2014 02:02:18
Verfasst von Gerhardus - (415 x gelesen)
Mathematik 
Über Potenzen und Logarithmen


Neulich wurde in einem Kommentar mürrisch bemängelt, dass ein Artikel über Potenzgesetze fehle. Daher wage ich es, aus meinem Archiv eine ganz kurze Einführung für Schüler zu präsentieren.
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Mathematik: The weak Mordell-Weil theorem and descent
Freigegeben von matroid am Sa. 09. August 2014 09:31:27
Verfasst von rofler - (901 x gelesen)
Mathematik 

1. The weak Mordell-Weil theorem and descent

In diesem Artikel beweisen wir den schwachen Satz von Mordell-Weil und wie er mit einem Abstiegsargument den Satz von Mordell-Weil impliziert. Unser Ziel ist es, einen Beweis des Satzes von Mordell-Weil für Abelsche Varietäten über globalen Körpern zu geben, der nicht elementare Ad-hoc-Methoden verwendet, sondern die geballte Macht der arithmetisch-algebraischen Geometrie und étalen Kohomologie, und zeigt, wie man diese auf konkrete Probleme anwendet.
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Mathematik: Der Logarithmus - Einführung, Verwendung
Freigegeben von matroid am Do. 07. August 2014 02:00:10
Verfasst von cis - (1382 x gelesen)
Analysis 

Der Logarithmus - Einführung, Verwendung



Bei der google-Suche nach "Logarithmenregeln" o.ä. wurde ich nicht glücklich. So waren oft ungünstige Symbole gewählt, davon einmal abgesehen, wurden die Rechengesetze sehr oft nur teilweise oder gar nicht hergeleitet bzw. bewiesen.
  Bei Grundaufgaben wie Bruchrechnung, Potenzrechnung, Wurzelrechnung, scheint insbesondere der Umgang mit dem Logarithmus vielen Neuanwendern Schwierigkeiten zu bereiten.

   Es handelt sich dementsprechend um eine Einführung für Schüler ca. Klasse 8ff., zu Not auch für Studenten des 1. Semesters; mit, nach Möglichkeit, eingeschränktem  theoretischem Balast.

Übersicht:
·Einleitung
·Definition
·Rechenregeln
·Zusammenfassung
·Besondere Logarithmen
·Anwendungsbeispiele
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Mathematik: Per tiv-Flug ins Studium
Freigegeben von matroid am Mi. 06. August 2014 02:00:25
Verfasst von huepfer - (698 x gelesen)
Mathematik 
Gleich zu Beginn des Studiums - vielfach auch schon in einem Vorkurs - begegnet
man einem "mysteriösen" Tripel an Begriffen:
 
injektiv, surjektiv, bijektiv


Doch wie das so oft mit Fachbegriffen ist, werden sie greifbar, sobald man ihre
Bedeutung genannt bekommt. Die drei Begriffe sind derart grundlegend, dass
sie manchem zu Beginn Schwierigkeiten bereiten. Wir werden aber an Hand von
einigen Beispielen erkennen, dass ihr Grundprinzip denkbar einfach ist.
Wir werden nach den Definitionen mit den einfachsten Beispielen in der Mengentheorie beginnen und uns dann mit verschiedenen anderen Bereichen beschäftigen und sehen, dass die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv von herausragender Bedeutung sind, wenn man über Abbildungen und Funktionen spricht.
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Mathematik: Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik
Freigegeben von matroid am Mo. 04. August 2014 10:57:24
Verfasst von Martin_Infinite - (1809 x gelesen)
Mathematik 
\color{olive} \textbf{\LARGE{Ein paar ungelöste Probleme in der Mathematik}}

Die Mathematik ist voll mit ungelösten Problemen. Viele davon sind sehr schwierig und ein Beweis wäre jeweils ein großer mathematischer Durchbruch. Berühmte Beispiele dafür sind die Hodge-Vermutung, die Riemannsche Vermutung, die Baum-Connes Vermutung und die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Aber bei manchen auf dem ersten Blick völlig harmlos scheinenden Problemen denkt man sich einfach nur:

Wie bitte, das ist unbekannt?!
 
Um genau solche Probleme soll es hier gehen. Wir werden dabei einen Streifzug durch verschiedene Gebiete machen: Kombinatorik, Zahlentheorie, Spieltheorie, Algebra, Geometrie. Natürlich begnügen wir uns mit einer kleinen aber feinen Auswahl. Es soll dabei explizit auch um weniger bekannte Probleme gehen.

Beispiel: Gibt es einen Quader mit ganzzahligen Seitenlängen, sodass die Diagonalen der Flächen sowie die Hauptdiagonale ganzzahlige Längen besitzen? - Unbekannt. Siehe hier.

mehr... | 18065 Bytes mehr | 10 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


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