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Mathematik: *Neuneckrätsel
Freigegeben von matroid am Do. 11. Februar 2016 19:00:06
Verfasst von Hans-Juergen - (58 x gelesen)
Spiele+Rätsel 
*Neuneckrätsel

Im Anschluss an meinen bunten Neunstern



bei dem man sich überlegen kann, wie groß der Winkel an den Spitzen ist, fragte ich mich, wie eine einfache Näherungskonstruktion nur mit Zirkel und Lineal für das regelmäßige Neuneck aussehen könnte. Eine exakte Konstruktion allein mit ihnen gibt es bekanntlich nicht.
mehr... | 834 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Der Satz von Birkhoff über distributive Verbände
Freigegeben von matroid am Mi. 10. Februar 2016 19:00:05
Verfasst von Martin_Infinite - (261 x gelesen)
Mathematik 

Der Satz von Birkhoff über distributive Verbände

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=-0.7pt},column sep=22pt,row sep=15pt]
&& \bullet \ar[-]{dr} & \\
& \circledcirc  \ar[-]{ur}  & \bullet \ar[-]{dr} \ar[-]{u} & \circledcirc \\
&\bullet \ar[-]{u} \ar[-]{dr} \ar[-]{ur} & & \circledcirc  \ar[-]{u}\\
\bullet \ar[-]{ur}  & \bullet \ar[-]{dr} \ar[-]{u} & \bullet  \ar[-]{ur} &\\
\circledcirc \ar[-]{u} \ar[-]{dr} \ar[-]{ur} & \ar[-,crossing over]{ul} \circledcirc  \ar[-,crossing over]{ur} & \circledcirc  \ar[-]{u}&\\
& \bullet \ar[-]{u} \ar[-]{ur} & &
\end{tikzcd}</math>

Garrett Birkhoff

Verbände sind algebraische und zugleich ordnungstheoretische Strukturen, die überall in der Mathematik auftauchen. In diesem Artikel wird Birkhoffs Satz über distributive Verbände besprochen, welcher eine Dualität zwischen endlichen partiellen Ordnungen und endlichen beschränkten distributiven Verbänden herstellt. Wir benutzen die Sprache der Kategorientheorie.
 
Zunächst werden ein paar Grundbegriffe der Verbandstheorie vorgestellt. Als Veranschaulichung dienen uns dabei Hasse-Diagramme. Dann wird relativ formal eine kontravariante Adjunktion zwischen der Kategorie <math>\mathsf{BDV}</math> der beschränkten distributiven Verbände und der Kategorie <math>\mathsf{PO}</math> der partiellen Ordnungen hergestellt. Schließlich wird gezeigt, dass die endlichen Objekte jeweils Fixpunkte dieser Adjunktion sind, womit wir die gewünschte Dualität <math>(\mathsf{BDV}_{\mathsf{fin}})^{\mathsf{op}} \simeq \mathsf{PO}_{\mathsf{fin}}</math> erhalten. Wir schauen uns ein paar Beispiele dafür an.

Im Anhang werden freie beschränkte distributive Verbände sowie der Zusammenhang zur Topologie diskutiert.
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Hilfen: Ein paar elementare Codes für die Nutzung von LaTeX auf dem MP...
Freigegeben von matroid am Di. 09. Februar 2016 18:00:00
Verfasst von trunx - (294 x gelesen)
Tools 

Ein paar elementare Codes für die Nutzung von <math>\LaTeX{}</math> auf dem MP...

Es gibt im Netz unglaublich viele Seiten, auf denen Regeln zur Benutzung von LaTeX erläutert werden, doch gerade die Fülle kann einen manchmal erschlagen. Deshalb möchte ich hier eine kleine Auswahl von Regeln vorstellen, die sowohl für den Einstieg in LaTeX und insbesondere für dessen Nutzung auf dem MP geeignet sind.

LaTeX ist ein Textsatzsystem, mit dem mathematische Formeln, Zeichen, Terme oder Ausdrücke gut lesbar dargestellt werden können. Wir benutzen es hier auf dem MP aber wie eine Auszeichnungssprache. Tatsächlich ist und kann LaTeX noch mehr (siehe hier), was aber nicht Gegenstand des Artikels sein soll.

Alles beginnt im Eingabefeld mit den tags <math></math>. Klickt man unter dem Eingabefeld auf den Link [LaTeX-Bereich], dann werden die tags an die Cursor-Position im Eingabefeld gesetzt. Die nachfolgenden Codes sind dann zwischen diese tags zu schreiben, also in der Form <math>Code</math>.
mehr... | 11906 Bytes mehr | 7 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Hilfen


Mathematik: Analyse teilbarer Bereiche bezüglich Teilermengen
Freigegeben von matroid am Mo. 08. Februar 2016 16:56:27
Verfasst von salomeMe - (197 x gelesen)
Mathematik 

Das Sieb des Eratosthenes aus anderem Blickwinkel - Untersuchungen zu teilbaren Zahlenbereichen bezüglich Teilermengen


Salome Melchmerdif

07. Februar 2016

Zusammenfassung

Es wird für die natürlichen Zahlen der Begriff "teilbarer Bereich bezüglich einer Teilermenge" definiert. Anschließend werden einige Eigenschaften der teilbaren Bereiche bezüglich der kleinsten <math>n</math> Primzahlen genannt und nicht ganz offensichtliche bewiesen. Aus den durchschnittlichen Abständen 1-elementiger teilbarer Bereiche wird ein Argument dafür abgeleitet, dass die Chance, zwischen <math>n^2</math> und <math>(n + 1)^2</math> ein Primzahlzwilling zu finden, groß sein könnte und mit wachsendem n sogar größer werden könnte. Es wird angedeutet, dass die Analyse von teilbaren Bereichen bezüglich der kleinsten <math>n</math> Primzahlen eventuell bei Lösungen weiterer Primzahl-Probleme - Unendlichkeit der Primzahlen mit Abständen 4, 6, ..., Unendlichkeit der Primzahldrillinge und weiterer Primzahltupel [3] mit eingesetzt werden könnte.

Warnung

Mit Mathematik habe ich mich nie so beschäftigt, dass ich auch nur in einem Gebiet auf irgendeinem Stand des Wissens gewesen wäre. Deshalb wird es sehr wahrscheinlich seit Jahrhunderten mir unbekannt gebliebene ähnliche Gedanken und Ergebnisse geben, wie sie im Folgenden niedergeschrieben sind. Mir bleibt ein wenig die Hoffnung, dass es bisher kein Knobler oder Mathematiker gewagt haben könnte, Behauptungen zu veröffentlichen, die so einfach zu beweisen sind.
mehr... | 48175 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Rätsel und Spiele: Erweiterung Ziegenproblem in abgewandelter Form
Freigegeben von matroid am Sa. 06. Februar 2016 19:00:30
Verfasst von JoeM - (190 x gelesen)
Mathematik 
Erweiterung Ziegenproblem in abgewandelter Form:

Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von mehreren verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer oder mehreren Türen wartet der Hauptgewinn (ein Auto), hinter allen anderen stehen Ziegen. Die Anzahl der Türen sehen Sie; die Anzahl der Autos hinter den Türen wird Ihnen nicht mitgeteilt. Sie zeigen auf eine Tür, zum Beispiel auf die Nummer vier. Sie bleibt vorerst verschlossen. Der Moderator weiß, hinter welchen Türen sich Autos und Ziegen befinden. Er öffnet nun eine oder mehrere aus den übrigen Türen, zum Beispiel die Nummer sechs, oder etwa die Nummern drei, elf, vierzehn und siebzehn. Hinter diesen geöffneten Türen sehen Sie Auto(s) und/ oder Ziege(n). Er fragt Sie: >Bleiben Sie bei der Tür Nummer vier, oder wählen Sie eine andere Tür aus den restlichen verschlossenen Türen?<

Was tun Sie?
mehr... | 2632 Bytes mehr | 1 Kommentar | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Rätsel und Spiele


Mathematik: Berechnung des Wertes einer modifizierten geometrischen Reihe
Freigegeben von matroid am Fr. 05. Februar 2016 19:00:20
Verfasst von trunx - (430 x gelesen)
Mathematik 

Berechnung des Wertes der Reihe <math>\sum \limits_{j=0}^{\infty} j^m q^j</math>

Immer wieder kommen hier auf dem MP Anfragen, wie man für gegebene <math>m \in \mathds{N}</math> und <math>q \in \mathds{R}</math> mit <math>\abs{q}<1</math> den Wert der Reihe <math>\sum \limits_{j=0}^{\infty} j^m q^j</math> bestimmen kann. Für <math>m=0</math> handelt es sich natürlich um die geometrische Reihe und es ist bekanntermaßen <math>\sum \limits_{j=0}^{\infty} q^j = \frac{1}{1-q}</math>. Wie man den Wert der Reihe berechnet für <math>m>1</math>, zeige ich im folgenden Artikel.
mehr... | 6593 Bytes mehr | 15 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Partialbruchzerlegung von 1/(1+x^N)
Freigegeben von matroid am Fr. 05. Februar 2016 08:19:01
Verfasst von cis - (193 x gelesen)
Analysis 
fed-Code einblenden
mehr... | 6089 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Stern Mathematik: Gruppen sind immer noch Top!
Freigegeben von matroid am So. 05. Februar 2006 09:44:30
Verfasst von Gockel - (8458 x gelesen)
Mathematik 

 
Gruppenzwang VII

Hallo Freunde der Gruppentheorie.

Nachdem ich zuerst unschlüssig war, ob ich die Gruppenzwangreihe über die Themen von Algebra I hinaus fortsetzen sollte, habe ich mich nun entschlossen, weiterführende Themen der Gruppentheorie hier mit einzugliedern.
Das heißt in diesem Artikel insbesondere1, das Thema der topologischen Gruppen aufzugreifen.


Das heißt vor allem auch, dass es ab hier Gruppenzwänge geben wird, die nicht mehr von Grund auf alles aufbauen, sondern gewisse Voraussetzungen machen. Es werden Artikel sein, die ich vor allem zu meinem Vergnügen und für eine kleinere Gruppe Themeninteressierter schreibe.

In diesem Artikel werde ich z.B. Grundkenntnisse in Topologie voraussetzen, d.h. ein Verständnis davon, was offene Mengen und Umgebungen sind, was stetige Abbildungen und Hausdorff'sche Räume sind etc. Zumindest die grundlegenden Definitionen und Sätze sollten also bekannt sein.

1 Ich mag dieses Wort... :)
mehr... | 36698 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Mathematisches Modell eines Tumors im Frühstadium
Freigegeben von matroid am Mo. 01. Februar 2016 00:00:10
Verfasst von Marbin - (425 x gelesen)
Mathematik 
<math>$${\Large \textbf{Mathematisches Modell eines Tumors im Frühstadium}}</math>

Ein Tumor, zumindest im Frühstadium, weist eine sigmoide Wachstumskurve auf. Aus diesem Grund wird oft die Gompertz-Funktion herangezogen, um das Wachstum von Tumoren zu beschreiben. Die Gompertz-Funktion, die von ihrem Entdecker Benjamin Gompertz 1825 empirisch aufgestellt wurde, dient(e) eigentlich dazu, die Mortalitätsrate zu modellieren. Die Funktion beschreibt die empirischen Wachstumskurven von avaskulären und vaskulären Tumoren im Frühstadium wesentlich besser als andere sigmoide Funktionen wie die logistische Funktion oder die biologisch begründete von Bertalanffy-Funktion, die eine Verallgemeinerung der logistischen bzw. der Verhulst-Funktion darstellt - aber warum?
mehr... | 14651 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


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