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Mathematik: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
Freigegeben von matroid am Mi. 09. Juli 2014 12:58:40
Verfasst von Martin_Infinite - (393 x gelesen)
Mathematik 

Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie

In diesem Artikel soll es um einen Integral-Begriff in der Kategorientheorie gehen. Wenn man sich Koprodukte in Kategorien als "Summen" vorstellt, so kann man sich Koenden als "gewichtete Summen" und damit als Integrale vorstellen. Zwei hübsche Beispiele: Das Tensorprodukt zweier R-Moduln lässt sich als

M \otimes_R N = \displaystyle \int^{r \in R} M \otimes_\mathds{Z} N

schreiben. Jede simpliziale Menge X lässt sich als

\displaystyle X = \int^{n \in \Delta} X_n \times \Delta^n

schreiben, also als eine durch X_n gewichtete Summe von Standardsimplizes \Delta^n, die geeignet miteinander verklebt werden. Als Anwendung von Koenden besprechen wir die Kovervollständigung \widehat{C} einer kleinen Kategorie C.
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buhs Montagsreport: Statist®i©k - Nicht alle Tassen im Schrank?
Freigegeben von matroid am Di. 01. Juli 2014 21:43:32
Verfasst von buh - (248 x gelesen)
Matroids Matheplanet 
Logo für buhs Montagsreport

Statist®i©k

Nicht alle Tassen im Schrank?


Berlin.. Der Matheplanet hat gewählt. Und wie in Deutschland offenbar üblich kommt dabei etwas ganz anderes raus als erwartet.
Entschieden wurde die Umfrage "Mein Lieblings-T-Shirt ist das vom MP" nicht von begabten kreativen Designern, sondern vom ständig übermüdeten nachtarbeitenden Mathestudenten. So ist es nicht verwunderlich, dass die Frage "Ich hätte gern ein Matheplanet-T-Shirt?" mit der Antwort

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Mathematik: Vom (erfolgreichen?) Versuch, die Form der Erde zu berechnen
Freigegeben von matroid am Fr. 27. Juni 2014 19:29:11
Verfasst von MontyPythagoras - (551 x gelesen)
Mathematik 

Vom (erfolgreichen?) Versuch, die Form der Erde zu berechnen


Nicht so einfach...In meinem vorigen Artikel habe ich dargelegt, wie man anhand des Kräftegleichgewichts an der Erdoberfläche eine Gleichung aufstellt, die die annähernd ellipsoide Form der Erde beschreibt. Das war gar nicht so schwer, aber um so überraschender war die erhebliche Abweichung zwischen Realität und Theorie.
Natürlich ist die Abweichung relativ betrachtet gering, da sich die Erde nun einmal sehr langsam dreht und die Abplattung nur etwa 0,3% beträgt. Mit bloßem Auge also gar nicht erkennbar. Will man aber die Abplattung theoretisch berechnen, führt kein Weg daran vorbei, die Gravitationskraft als Integral der Dichte über das Erdvolumen zu berechnen. Dadurch wird die ganze Thematik mathematisch erheblich erschwert.
Aber es gibt ja bekanntlich keine Probleme, nur Herausforderungen, wie Motivationstrainer nicht müde werden zu behaupten, also habe ich sie angenommen. Das Ergebnis ist wiederum erstaunlich...
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buhs Montagsreport: 0190-2431-4141-1234*
Freigegeben von matroid am Di. 24. Juni 2014 20:19:33
Verfasst von buh - (232 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport

0190-2431-4141-1234*

Was spielen wir denn diesmal?

Vor dem Fernseher.. Endlich Halbzeitpause. Endlich Zeit für drei, vier Gedanken zur „wichtigsten Nebensache der Welt“.
Ich hatte schon Angst, Kathrinchen2010 sei 2012 vor Usedom versenkt worden, aber sie blieb uns erhalten. Zwar darf sie nicht mehr in der Nähe von richtigem** Wasser (das bleibt dem Kahn*** vorbehalten) moderieren, aber wenigstens hat man ihr für den Schwätz mit Poldi**** ein Poolchen mit Brückchen spendiert. Und weil das Ganze in der Nähe des deutschen Nestes stattfindet, kann man diesmal auch keine Fahnenirrtümer begehen.
Genießen wir also in den nächsten Tagen die diversen Hinweise auf ein Torverhältnis, das Differenz heißt, auf prozentualen Ballbesitz, auf taktische Rechnungen der Art: „Wenn Portugal im letzten Spiel ein Unentschieden mit acht Toren Unterschied schafft, trifft Deutschland im Achtelfinale auf einen Gegner, sofern die USA nicht zur Halbzeit mit 12 Minuten hinten liegen.“ und auf Reporter, die wissen: „Der Ball, das ist ein Hammer.“
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Mathematik: Vom (gescheiterten) Versuch, die Form der Erde zu berechnen
Freigegeben von matroid am Fr. 13. Juni 2014 19:36:55
Verfasst von MontyPythagoras - (932 x gelesen)
Physik 

Vom (gescheiterten) Versuch, die Form der Erde zu berechnen


Kugel oder Würfel?
Wenn auch der mürrisch dreinblickende Zausel auf dem Bild rechts noch unentschlossen scheint, hat sich der größte Teil der Menschheit längst festgelegt: die Erde ist eine Kugel. Welchen Sinn würde sonst ein Globus machen?
Klugscheißer werden nun einwenden, dass das nicht genau stimmt, denn schließlich rotiert die Erde ja um ihre Polachse, wenn man dem italienischen Revoluzzer, der dem Typen auf dem Bild rechts verdächtig ähnlich sieht, Glauben schenkt. Und deshalb wäre die Erde aufgrund der Fliehkraftwirkung ein Rotationsellipsoid.
Klug²scheißer wenden nun ein: nein, auch kein Rotationsellipsoid, sondern ein Geoid. Von den ganzen Anomalien aufgrund der Gebirge etc. einmal ganz zu schweigen.
Kurzum, da ich eher zur letztgenannten Fraktion gehöre, habe ich mich aufgemacht, die (zumindest theoretisch) genaue Form der Erde zu berechnen.
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Mathematik: Schiefer Wurf Teil IV, die Lösung
Freigegeben von matroid am Fr. 06. Juni 2014 18:49:06
Verfasst von MontyPythagoras - (468 x gelesen)
Physik 

Die Vorgeschichte zum schiefen Wurf mit Luftwiderstand


Drei Artikel wurden bereits über den schiefen Wurf mit Luftwiderstand geschrieben. Teil III begann mit den Worten: "Aller guten Dinge sind drei". Ich muss da noch einen drauf setzen, aber ich denke, es lohnt sich...

In Teil I wurde für den Luftwiderstand das Gesetz von Stokes angesetzt. Dann sind die Differentialgleichungen zwar lösbar, aber der Ansatz geschwindigkeitsproportionaler Reibung ist leider nicht realistisch, jedenfalls nicht in Luft, und der schiefe Wurf unter Wasser oder in Öl ist mir noch nicht unter gekommen.
In Teil II wurde zwar ein Luftwiderstand angesetzt, der proportional ist zum Quadrat der Geschwindigkeit, aber für jede Koordinate x und y getrennt. Dann kann man die Differentialgleichungen lösen, aber die Trennung des Luftwiderstands in horizontale und vertikale Komponente unabhängig voneinander ist ebenfalls eine unrealistische Vereinfachung.
In Teil III wurde der Luftwiderstand richtig angesetzt, aber die Differentialgleichung wurde numerisch gelöst.

Ich möchte hier zeigen, dass es eine geschlossene Lösung für die Differentialgleichung gibt. Jedenfalls in Parameterdarstellung...
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Mathematik: Das 4-Farben Problem
Freigegeben von matroid am Do. 05. Juni 2014 22:10:47
Verfasst von Ueli - (538 x gelesen)
Mathematik 

Einleitung

Oft ist es sehr viel leichter ein mathematisches Problem zu stellen, als es zu lösen. Dies gilt beispielsweise für die Goldbach Vermutung und auch für das 4-Farben Problem. Aber ist das Färben von Landkarten in irgendeiner Weise relevant für die Mathematik?
Als David Hilbert im Jahr 1900 seine 23 ungelösten Probleme der Mathematik [1] vorstellte, dachte er, dass die Beschäftigung mit diesen Fragen die Mathematik voranbringen würden. In seiner Rede am zweiten internationalen Mathematikerkongress in Paris hat er auch zum Ausdruck gebracht, dass ein vollkommenes mathematisches Problem einfach zu fassen sein soll [2]. Dies gilt sicher auch (oder gerade) für das 4-Farben Problem.
Dieses wurde allerdings nicht in die Liste der großen Probleme aufgenommen. Es schien wahrscheinlich zu isoliert in der mathematischen Landschaft zu stehen und die Lösung besteht auch nur in der einfachen Erkenntnis, dass die Vermutung richtig ist. In Hilbert's Nachlass wurde allerdings ein 24. Problem [3] gefunden. Darin geht es um die Kriterien für einfache Beweise und die Beziehung zwischen verschiedenen Beweisen für ein Problem. Dazu bietet der 4-Farben Satz ein lehrreiches Beispiel. Ausserdem war das 4-Farben-Problem oft Anlass für die Beschäftigung mit planaren Graphen und Topologie und hat daher diese Disziplinen weiter gebracht gemäß dem Stichwort: "Der Weg ist das Ziel".

In diesem Artikel werde ich einige historische Versuche aufzeigen das Problem zu lösen und auch wesentliche Schritte, welche zur Lösung führten.

[1]: Hilberts 23 Probleme: Wikipedia
[2]: Hilberts Rede am Mathematiker-Kongress in Paris, S1-2: ps-Datei
[3]: Hilberts 24. Problem: Wikipedia
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Physik: Rollwiderstand von Fahrradreifen
Freigegeben von matroid am Do. 29. Mai 2014 19:09:29
Verfasst von MontyPythagoras - (754 x gelesen)
Physik 
Hallo lieber Mathe-Planet,
ich möchte gerne einen Artikel über ein Thema beisteuern, das alltäglich, um nicht zu sagen banal erscheint, nämlich den Rollwiderstand, hier speziell an Fahrradreifen.
Was gibt es schon groß über den Rollwiderstand zu sagen? Ist das nicht simpel? Reibkraft ist gleich Normalkraft mal irgendein Koeffizient, den ich in irgendeiner Tabelle oder bei Wikipedia nachschlage?
Tatsächlich wird in den Vorlesungen zur technischen Mechanik wenig ausführlich über dieses Thema referiert. Möglicherweise auch zurecht, denn selbst mir als Maschinenbau-Ingenieur passiert es selten bis nie, dass ich mich mit dem Thema Rollwiderstand auseinandersetzen muss.
Aber als Rennradfahrer hat mich schon immer interessiert, wie es sich mit dem Rollwiderstand eigentlich genau verhält.
  •  Wie verändert sich der Rollwiderstand, wenn ich statt mit 8bar Reifendruck nur mit 6 oder 4bar fahre?
  •  Welcher Reifen rollt besser, der schmale oder der breite?
  •  Wie verändert sich der Rollwiderstand, wenn ich 20kg Gepäck mitnehme (ganz zu schweigen von meinem mentalen Widerstand)?
  •  Was führt überhaupt zu den Verlusten, wo doch die Aufstandsfläche eigentlich symmetrisch ist und die Kräfte vektoriell addiert demnach null ergeben müssten? Und Haftreibung führt ja schon mangels Bewegung per Definition nicht zu Reibverlusten?
    Dieser Artikel richtet sich also an diejenigen, die über den Vorlesungsstoff aus "Technische Mechanik I" hinaus verstehen wollen, wie der Rollwiderstand an einem Luftreifen funktioniert. Und natürlich auch an die mathematikinteressierten Radfahrer, die einfach auch mal anhand von Formeln sehen wollen, was sie eigentlich schon immer wussten...
    Ziel dieses Artikels ist es, eine Formel für den Rollwiderstandskoeffizienten zu entwickeln und grundlegende Zusammenhänge darzustellen ("was ist proportional wozu?") und einer einfachen Berechnung, im Idealfall mit dem Taschenrechner, zugänglich zu machen.
  • mehr... | 45494 Bytes mehr | 8 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Physik


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