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Mathematik: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
Freigegeben von matroid am Sa. 23. Mai 2015 11:14:00
Verfasst von Martin_Infinite - (216 x gelesen)
Mathematik 

2-Kategorien

Einstieg in die höhere Kategorientheorie

Kategorien bestehen aus Objekten und Morphismen. Diese kann man sich als Punkte und Pfeile dazwischen vorstellen, die man miteinander verketten kann:

\begin{tikzcd}[column sep=25pt, row sep=10pt] \bullet \ar[dashed,bend left]{rr} \ar{dr} && \bullet \\ & \bullet \ar{ur} & \end{tikzcd}
 
Dieser Artikel gibt eine Einführung in 2-Kategorien. Diese bestehen aus Objekten, Morphismen sowie Morphismen zwischen (1-)Morphismen, genannt 2-Morphismen:
 
\begin{tikzcd}[row sep=10pt] & \ar[Rightarrow]{dd} & \\ \bullet \ar[bend left=45]{rr} \ar[bend right=45]{rr} &  & \bullet \\ & \phantom{.} & \end{tikzcd}

Die Komposition der 1-Morphismen ist außerdem nur bis auf 2-Isomorphismen assoziativ: (f * g) * h \cong f * (g * h).
 
Drei typische Beispiele werden u.a. in diesem Artikel ausführlich besprochen:

1) Kategorien als Objekte mit Funktoren als Morphismen und natürlichen Transformationen als 2-Morphismen.
2) Topologische Räume als Objekte mit stetigen Abbildungen als Morphismen und Homotopieklassen von Homotopien als 2-Morphismen.
3) Algebren als Objekte mit Bimoduln als Morphismen und Bimodulhomomorphismen als 2-Morphismen.
 
Als Spezialfall von 2-Kategorien behandeln wir monoidale Kategorien (Kategorien mit einer Art Multiplikation). Ferner besprechen wir Adjunktionen in einer 2-Kategorie, welche zum Beispiel adjungierte Funktoren, Dualitäten in monoidalen Kategorien sowie Morita-Kontexte vereinheitlichen. Schließlich geht es um Funktoren zwischen 2-Kategorien und einer 2-kategoriellen Version des Yoneda-Lemmas.
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buhs Montagsreport: KRYPTIKUM 2013 – Teil 3 (2015)
Freigegeben von matroid am Mo. 18. Mai 2015 20:52:10
Verfasst von buh - (179 x gelesen)
Spiele+Rätsel 
Urlogo für buhs Montagsreport

KRYPTIKUM 2013 – Teil 3 (2015)

*-ige Ersatzhandlung

Berlin. Wieder einmal hat es Leonardo ver Wuenschmi irgendwohin verschlagen; die Rede ist von der Ebene der Spurpunkte, in der ein geheimnisvolles infinites Meer vermutet wird; vermutlich wird er davon noch berichten.
In seiner Absentialität kann ich wieder einmal, in Fortführung des einsternigen Bilderrätsels samt zugehöriger Hilfen, ein solches „Bilderse“ zur Verfügung stellen.
Es ist in Fortführung der Aktion von 2013 entstanden und zeigt
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Mathematik: Dreieck ums Dreieck
Freigegeben von matroid am So. 17. Mai 2015 13:09:21
Verfasst von FriedrichLaher - (267 x gelesen)
Mathematik 
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buhs Montagsreport: Latain* für Anfänger
Freigegeben von matroid am Mo. 11. Mai 2015 20:49:00
Verfasst von buh - (273 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport

Latain* für Anfänger

Berlin probt jahrgangsübergreifendes Abi

Berlin. Zunächst einmal: DANKE, matroid. Dank für deine sprach- und denkintensive Laudatio auf meine auf diesem schönen Planeten verlebten** zwei Septennien, in denen hier wohl gezählt wird.

Aber zum Thema: Das „Berliner Abitur“, bekannt durch seine gnadenlose Bestehbarkeit selbst bei totaler Unwissenheit, ist in den Ruf geraten, etwas zu schwer zu sein; insbesondere bezüglich der Fremdsprachen. Um den damit verbundenen Gefahren vereinzelter Abi-Durchfaller einen Riegel vorzuschieben (admovere pessulus), wird seitens der SENBWF, ähh SENBJW (Sie wissen schon, die mit der E-Mail-Umbenenneritis) daran gearbeitet, eine Art Ewigkeits-Abitur einzuführen.
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Mathematik: Eine Beobachtung zum Spektralsatz
Freigegeben von matroid am Mi. 06. Mai 2015 23:11:04
Verfasst von Gockel - (640 x gelesen)
Mathematik 

Eine Beobachtung zum Spektralsatz


Ich möchte eine Beobachtung mitteilen, auf die ich vor ein paar Wochen gestoßen bin, welche es erlaubt, den Standardbeweis des Spektralsatzes für beschränkte Operatoren auch für unbeschränkte Operatoren zu benutzen, ohne zusätzlichen Aufwand betreiben zu müssen.
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Mathematik: Summen und der Rekursionssatz
Freigegeben von matroid am Mo. 27. April 2015 20:29:02
Verfasst von Nighel123 - (410 x gelesen)
Mathematik 
Hi, ich fand Beweise mit Summen in meinen Vorlesungen oft ungenau und habe zu hören bekommen, dass man die Gleichheit doch so sieht, obwohl es mir nicht so ging. Deswegen habe ich dieses Skript geschrieben um zukünftige Beweise auf eine sichere Grundlage stellen zu können. Ich hoffe es gefällt euch!

In Kapitel 2 will ich Rechenregeln von Summen vorstellen. Das ist allerdings noch in Arbeit. Ich freue mich über Rückmeldungen!

Grüße Nickel
mehr... | 508 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Grundlegendes zur Normalverteilung
Freigegeben von matroid am Do. 23. April 2015 19:25:19
Verfasst von Calculus - (473 x gelesen)
Mathematik 

Grundlegendes zur Normalverteilung


Die Normalverteilung gehört zu den wichtigsten Verteilungen in der Stochastik. Aufgrund ihrer Rolle im zentralen Grenzwertsatz tritt sie an vielen Stellen in der Statistik auf. Die eng mit der Normalverteilung verbundenen \chi^2- t- und F-Verteilungen sind Grundlage vieler wichtiger Tests in der Statistik.

Trotzdem wird die Normalverteilung in Vorlesungen oft nur sehr oberflächlich und unvollständig behandelt. Typischerweise wird die (mehrdimensionale) Normalverteilung nur über ihre Dichte definiert, wodurch einige wichtige Spezialfälle außenvor bleiben und viele Rechnungen unnötig verkompliziert werden.

Dieser Artikel zeigt einen alternativen Ansatz auf, bei dem Dichten eher als Nebenprodukt der Herangehensweise auftreten. Die Konsequenzen davon sind im eindimensionalen Fall noch überschaubar, werden jedoch im Zusammenhang mit der mehrdimensionalen Normalverteilung umso gravierender.

Im ersten Abschnitt werden (eindimensional) normalverteilte Zufallsvariablen untersucht, woraus im zweiten Abschnitt der Begriff der mehrdimensionalen Normalverteilung hergeleitet wird. Im dritten Abschnitt zeigen einige Beispiele die Nützlichkeit von Matrizen im Zusammenhang mit der (mehrdimensionalen) Normalverteilung.

Für das Verständnis dieses Artikels sind grundlegende Kenntnisse im Bereich der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie nötig.
mehr... | 31553 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Stern Mathematik: Gruppentheorie mit GAP
Freigegeben von matroid am Mo. 20. Februar 2006 12:23:27
Verfasst von Stefan_K - (6883 x gelesen)
Tools 
gap>

Gruppentheorie mit GAP

GAP ist ein Computeralgebra-System, welches sich insbesondere für gruppentheoretische Berechnungen eignet. Der Name GAP steht für Groups, Algorithms, Programming, womit der Zweck der Software bereits charakterisiert ist.

Dieser Artikel verfolgt die Absicht, GAP kurz vorzustellen und anhand einiger Beispiele dessen Nutzen anzudeuten, etwa im Finden von Inspirationen, Ersparen von mechanischem Rechnen, Lösungenentwurf und in der Ergebniskontrolle. Er soll weder Lehrbuch noch Einführung ersetzen, vielmehr werden am Artikelende Verweise auf Web-Ressourcen und Dokumentationen gegeben.

Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Gruppentheorie, später auch etwas Wissen aus der Darstellungstheorie endlicher Gruppen.
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Mathematik: Kuratowski-Räume - ein anschaulicher Zugang zur Topologie
Freigegeben von matroid am Sa. 11. April 2015 23:30:31
Verfasst von Martin_Infinite - (923 x gelesen)
Mathematik 

\LARGE{\textbf{Kuratowski-Räume}}

\large\textsc{Ein anschaulicher Zugang zur Topologie}

Wenn man sich die Definition eines metrischen Raumes ansieht, so ist die geometrische Intuition dahinter sofort klar: Es geht darum, Abstände zwischen Punkten zu messen. Man schreibt also einfach hin, was für Eigenschaften eine solche Abstandsfunktion haben sollte. Wenn man sich die übliche Definition eines topologischen Raumes ansieht, so entsteht daraus zunächst einmal gar keine geometrische Intuition (auch wenn es vielfältige Möglichkeiten gibt, diesen Begriff zu motivieren, und man sich mit der Zeit daran gewöhnt). Und die Definition einer stetigen Abbildung ist auch nicht wirklich das, was man sich üblicherweise unter Stetigkeit vorstellt.

Kuratowski-Räume hingegen liefern einen alternativen und relativ anschaulichen Zugang zur Topologie, weil sie unmittelbar das geometrische Konzept der Berührung axiomatisieren. Zum Beispiel ist eine Abbildung f genau dann stetig, wenn Folgendes gilt: Wenn ein Punkt x eine Menge A berührt, so berührt f(x) die Menge f(A). Ist das nicht schön?

Der Artikel beschäftigt sich in aller Kürze mit der Definition von Kuratowski-Räumen, den Zusammenhang zu topologischen und metrischen Räumen, diversen Konstruktionen mit Kuratowski-Räumen (Teilraum, Quotientenraum, Produkt, Koprodukt), Konvergenz von Folgen, Trennungsaxiomen und der Zariski-Topologie.
mehr... | 39487 Bytes mehr | 13 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


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