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Mathematik: Kuratowski-Räume - ein anschaulicher Zugang zur Topologie
Freigegeben von matroid am Sa. 11. April 2015 23:30:31
Verfasst von Martin_Infinite - (661 x gelesen)
Mathematik 

\LARGE{\textbf{Kuratowski-Räume}}

\large\textsc{Ein anschaulicher Zugang zur Topologie}

Wenn man sich die Definition eines metrischen Raumes ansieht, so ist die geometrische Intuition dahinter sofort klar: Es geht darum, Abstände zwischen Punkten zu messen. Man schreibt also einfach hin, was für Eigenschaften eine solche Abstandsfunktion haben sollte. Wenn man sich die übliche Definition eines topologischen Raumes ansieht, so entsteht daraus zunächst einmal gar keine geometrische Intuition (auch wenn es vielfältige Möglichkeiten gibt, diesen Begriff zu motivieren, und man sich mit der Zeit daran gewöhnt). Und die Definition einer stetigen Abbildung ist auch nicht wirklich das, was man sich üblicherweise unter Stetigkeit vorstellt.

Kuratowski-Räume hingegen liefern einen alternativen und relativ anschaulichen Zugang zur Topologie, weil sie unmittelbar das geometrische Konzept der Berührung axiomatisieren. Zum Beispiel ist eine Abbildung f genau dann stetig, wenn Folgendes gilt: Wenn ein Punkt x eine Menge A berührt, so berührt f(x) die Menge f(A). Ist das nicht schön?

Der Artikel beschäftigt sich in aller Kürze mit der Definition von Kuratowski-Räumen, den Zusammenhang zu topologischen und metrischen Räumen, diversen Konstruktionen mit Kuratowski-Räumen (Teilraum, Quotientenraum, Produkt, Koprodukt), Konvergenz von Folgen, Trennungsaxiomen und der Zariski-Topologie.
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Physik: Länge des Sekundenpendels - eine praktische Meterdefinition?
Freigegeben von matroid am Mo. 23. März 2015 16:52:05
Verfasst von cis - (554 x gelesen)
Physik 

Länge des Sekundenpendels - eine praktische Meterdefinition?



In der 1. Hälfte des 18. Jahrhunderts wurde der 10-millionste Teil eines Viertels des Erdumfanges (Bogenabstand Nordpol - Äquator, seinerzeit auf 10'000km bestimmt) als Meterdefinition verwendet.
Gegen Ende des Jahrhunderts zeigten genauere Messungen, dass der Erdmeridianquadrant etwa 2km länger ist. Um diese Problematik zu umgehen, wurde die Länge eines Vergleichsgegenstandes, ein Platiniridium-Stab ("Pariser Urmeter"), als verbindliche Meterdefinition festgesetzt - diese (mehr oder weniger willkürliche) Festlegung sollte bis in die 1960er Jahre beibehalten werden.
Seit 1983 ist das Meter definiert als die Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299'792'458 Sekunde zurücklegt.

Bereits 1668 hatte Jean Picard (1620-1682, franz. Astronom) die "Länge des Sekundenpendels" (etwa 99,4cm) als Meterdefinition vorgeschlagen. Dies hätte eine interessante (mathematische) Konsequenz zur Folge gehabt.
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buhs Montagsreport: Mathematik und Kunst
Freigegeben von matroid am So. 22. März 2015 21:09:52
Verfasst von buh - (152 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport

Mathematik und Kunst

Die Sieger bei „Acht durch zwei“

Zinbiel. Auch das Marthermatische Museum zu Zinbiel bemüht sich seit Jahren um neue Ideen, um Besucher anzuziehen*. Nach der Ausstellung in der Physikoholischen Abteilung war es einige Zeit still, jetzt aber ist es endlich soweit: Die Sieger des Bild-Kunst-Wettbewerbes „Acht durch zwei“ stehen fest:
Den Ehrenpreis erhielten die Gruppenkünstler Mo Mandadh&Daden Ndmom für ihr Werk
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Physik: Herleitung: Doppler-Effekt (klassisch/nicht-relativistisch)
Freigegeben von matroid am Mo. 16. März 2015 23:00:25
Verfasst von Physicus - (332 x gelesen)
Physik 

Herleitung: Doppler-Effekt


Wenn der Beobachter ruht und der Sender sich gleichmäßig bewegt

Bewegt sich ein Sender - also eine Schallquelle - gleichmäßig auf einen ruhenden Beobachter zu, dann tritt der Doppler-Effekt aufgrund der Verkürzung der Wellenlänge auf.
Man stelle sich einen ruhenden Sender vor, welcher Schallwellen der Frequenz f=\frac{1}{T} mit der Periode T und der Wellenlänge \lambda aussendet. Laut Definition breitet sich der Schall nach einer Periode T um die Wellenlänge \lambda aus, wobei seine Ausbreitungsgeschwindigkeit c (z.B. Schallgeschwindigkeit in Luft c=340m/s) diese beiden Größen nach dem Prinzip 'Weg gleich Geschwindigkeit mal Zeit' (s=v\cdot t) in Zusammenhang setzt: \lambda=c\cdot T=\frac{c}{f}

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Stern Mathematik: Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur
Freigegeben von matroid am Mi. 06. Februar 2008 09:24:50
Verfasst von flx - (13271 x gelesen)
Spiele+Rätsel 
Der "Rubiks Cube", in Deutschland auch "Zauberwürfel" genannt, ist wohl das bekannteste Spielzeug aus den 80er Jahren! Jeder hatte damals einen. Es handelt sich um einen kleinen Würfel mit Aufklebern in sechs verschiedenen Farben auf allen Seiten, an dem sich jede Seite drehen lässt. Ziel ist es, den Würfel in die Ausgangssituation zurückzudrehen, d.h. so, dass jede Seite einheitlich gefärbt ist.

In diesem Artikel möchte ich eine Einführung zu diesem Spielzeug geben und kurz (!) anschneiden, wie man ihn mathematisch beschreiben kann. Es stellt sich nämlich heraus, dass der Rubiks Cube ein schönes Beispiel für eine Permutationsgruppe ist, nämlich eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe auf 48 bzw. 54 Elementen. Meiner Ansicht nach das perfekte Hobby (nicht unbedingt nur für Mathe-Fans).
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Physik: Wirkung
Freigegeben von matroid am So. 15. März 2015 21:12:25
Verfasst von trunx - (391 x gelesen)
Physik 
Die Wirkung ist in der Physik ähnlich wie die Entropie ein häufig unverstandener Begriff, dennoch ist gerade er wichtig sowohl für das Verständnis in der theoretischen klassischen Mechanik, als auch für den Übergang zur Quantenmechanik. Leider heisst es oft, dass man diesen Begriff nicht weiter verstehen muss und der Kalkül für sich arbeitet. Das setzt sich dann fort in der Quantenmechanik, wo man sich auch nicht mehr die Wellenfunktion vorstellen, sondern nur mit ihr rechnen "darf". Mit ein wenig Umsicht findet man allerdings sehr wohl ganz alltägliche Anwendungen und damit greifbare Anschauungsbeispiele und Verständnishilfen für den Wirkungsbegriff.
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Mathematik: Division durch Null - warum nicht?
Freigegeben von matroid am Mi. 11. März 2015 19:30:37
Verfasst von Martin_Infinite - (910 x gelesen)
Mathematik 

Division durch Null - warum nicht?

Von Wiesen und Rädern

Üblicherweise wird zwar die Division durch Null verboten, weil sich keine Festsetzung des Ergebnisses mit den üblichen Bruchrechenregeln verträgt, aber es gibt dennoch Möglichkeiten, der Division durch Null einen Sinn zu geben. In diesem Artikel stelle ich zwei algebraische Strukturen vor, "Wiesen" und "Räder", welche dies ermöglichen.

Wiesen verallgemeinern Körper dahingehend, dass eine Art Division uneingeschränkt möglich ist. Ein typisches Rad entsteht aus der projektiven Geraden \mathds{P}^1(\mathds{R})=\mathds{R} \cup \{\infty=\frac{1}{0}\} durch Hinzunahme eines Mittelpunktes \frac{0}{0}.

\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) circle [radius=1cm];
\draw [fill=white,white] (0,1) circle [radius=0.3cm];
\draw node at (0,1) {$\infty$};
\draw node at (0,0) {$\frac{0}{0}$};
\end{tikzpicture}
mehr... | 18798 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Physik: Calculation of rim deflection and spoke tension on a bicycle wheel
Freigegeben von matroid am Mo. 02. März 2015 13:43:14
Verfasst von MontyPythagoras - (630 x gelesen)
Physik 

Calculation of rim deflection and spoke tension on a bicycle wheel


Abstract


The purpose of this article is to calculate the deflection of a bicycle rim and the spoke tension depending on the relative position of the spoke in the bicycle wheel. The object of this investigation is a classical bicycle wheel with common steel spokes.
As opposed to other investigations that have been made in the past using FEA calculations or analytic calculations applying a discrete number of concentrated loads representing the spokes, the objective of this article is to calculate the deflection of the rim by replacing the discrete number of spokes by a distributed load, thus facilitating the development and solution of a differential equation.
In addition, all other articles known to the author apply the reaction force from the road as one concentrated load, unlike in reality where the tire distributes the load across a length of a few centimeters. The effect of this simplification is being investigated in this article.
The results show that contrary to a common misconception of the upper spokes carrying the load, it is in fact the relief of the pretension in just a very narrow section of the wheel directly underneath the hub, while the rest of the spokes barely notice. As was to be expected, the distributed load from the tire leads to a more widely spread deflection of the rim, but the effect is rather small and it does not alter the characteristic of the tension distribution in the spokes significantly.
All in all, the article confirms the results found in the other papers, by using an entirely different mathematical approach.
mehr... | 72911 Bytes mehr | 2 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Physik


Mathematik: Lösung trigonometrischer Grundgleichungen
Freigegeben von matroid am Fr. 06. Februar 2015 07:00:48
Verfasst von cis - (1176 x gelesen)
Mathematik 

Lösung trigonometrischer Grundgleichungen



In diesem Artikel werden die Gleichungen

    sin(x) = a,    cos(x) = a    und    tan(x) = a

gelöst, für reelle x und geeignete reelle a.




Veranschaulichung:

· Schnittpunkte von f(x) = sin(x) und g(x) = a


%    \usetikzlibrary{plotmarks}
\def\a{0.74}
\begin{tikzpicture}[x = 1cm, y=1.5cm, scale=0.55,
font=\footnotesize,
>=latex   %Voreinstellung für Pfeilspitzen
]


% Funktionen
\draw[] plot[samples=300, domain=-9:9]
(\x,{sin(\x r)}) node[above=15pt] {$f(x)=\sin\left(x\right)$};

\draw[] (9,\a) -- (-9,\a) node[above, xshift=5mm] {$a = \a$};

%Schnittpunkte
\foreach \k in {-2,...,3}{
  \pgfmathsetmacro\myresult{((-1)^\k) * rad(asin(\a)) + \k*pi}
  \draw[color=red, fill=white] plot[mark=*,mark size=2.75pt]
    coordinates{( {\myresult},  {\a} )};
}
 
% x-Achse
\draw[->] (-9.9,0) -- (9.9,0) node[below] {$x$};
%Zahlen auf x-Achse
\foreach \x/\xtext in {
-.5*pi/-\frac{\pi}{2}, -pi/-\pi, -1.5*pi/-\frac{3\pi}{2}, -2*pi/-2\pi, -2.5*pi/-\frac{5\pi}{2},
.5*pi/\frac{\pi}{2}, pi/\pi, 1.5*pi/\frac{3\pi}{2}, 2*pi/2\pi, 2.5*pi/\frac{5\pi}{2}
}
\draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {$\xtext$};      
 
 
% y-Achse
\draw[->] (0,-1.75) -- (0,1.75) node[left] {$y$};
%Zahlen auf y-Achse
\foreach \y in {-1,-0.5,0.5,1}
\draw[] (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\tiny $\y$};
 
%Ursprung
\draw[] (0pt,-5pt) node[below right] {$0$};
 
\end{tikzpicture}
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ist doch egal.
Darum muss man sich bemühen.
Man muss einen Blick dafür haben.
Also andere können das gerne machen.
Ist mir bisher selten untergekommen.
Ich habe keine Zeit für sowas.
Man sollte die deutsche Sprache nicht so wichtig nehmen.
Manchmal vervollständigt mein Smartphone die Wörter falsch ...
Ich nehme an Rechtschreibungen nicht Teil.
 
 
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