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Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz-Wachstumsgesetz
Freigegeben von matroid am Do. 21. Juli 2016 21:19:44
Verfasst von Marbin - (115 x gelesen)
Mathematik 
<math>$${\Large \textbf{Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz-Wachstumsgesetz}}</math>

Die Gompertz-Funktion ist in der Onkologie eine populäre Methode, die empirischen Wachstumskurven von avaskulären und vaskulären Tumoren im Frühstadium zu modellieren. Jedoch ist die Gompertz-Funktion in dieser Hinsicht bis heute nicht biologisch begründet. Sie wurde von ihrem Entdecker Benjamin Gompertz 1825 empirisch aufgestellt und dient(e) eigentlich dazu, die Mortalitätsrate zu modellieren. Motivation dieses Artikels ist es nun, eine biologische Begründung der Gompertz-Funktion bei Anwendung auf Tumorwachstum zu liefern.
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buhs Montagsreport: Requiem für Raumecke
Freigegeben von matroid am Mo. 18. Juli 2016 20:58:10
Verfasst von buh - (186 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport
Requiem für Raumecke
Themen aus dem Abitur 2016

Berlin. Der große Wurf, er kehrt nie wieder*. 24 Aufgaben**, versehen mit wegweisenden Titeln, und alles für die Katz. Geradezu einsilbig, durchgängig** aber einwortig kommen die diesjährigen Mathe-Abiaufgaben Berlins daher; kaum Freude hat man daran, damit Sätze zu bilden:
Als der Sportfan das Haus verließ, um mit dem Windrad durch den Straßenverkehr zur IGA 2017 zu rasen, hinderte ihn ein Bremsschuh (LK).
Oder:
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Mathematik: Der große Bruder des Harborth-Graphen
Freigegeben von matroid am So. 17. Juli 2016 17:57:58
Verfasst von Slash - (90 x gelesen)
Mathematik 

Der große Bruder des Harborth-Graphen

In diesem Artikel stelle ich einen neuen 4-regulären Streichholzgraphen mit 108 Kanten vor. Dieser Graph - siehe rechts - wurde von StefanVogel, haribo und mir als Team im Verlauf unseres Streichholzgraphen-Threads hier auf dem Matheplaneten entdeckt und auch erstmals präsentiert. Er ist nach dem sehr ähnlich aussehenden Harborth-Graphen mit 104 Kanten das neue zweitkleinste bekannte Beispiel eines 4-regulären Streichholzgraphen, und löst damit den erst kürzlich hier präsentierten Graphen mit 114 Kanten ab. Wie sich der neue Graph in wenigen Schritten aus dem Harborth-Graphen konstruieren lässt, und dass beide Graphen wirklich existieren, soll hier gezeigt werden.
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Mathematik: Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen
Freigegeben von matroid am Sa. 09. Juli 2016 13:06:44
Verfasst von StefanVogel - (184 x gelesen)
Mathematik 
Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen

<math>\begin{array}{r} \textit{1,58} \\ \textit{-0,15} \\ \textit{-0,34} \\ \textit{\underline{-0,73}}\\ \textit{0,36} \end{array}</math>
3 plus 4 ist 7, plus 5 ist 12, 8 minus 12 geht nicht, also 1 borgen, 18-12 ist 6. So haben meine Großeltern immer den Einkauf vorgerechnet, extra ausführlich, damit ich etwas lerne dabei. Es war auch ein besonderer Moment, wenn dann die geborgte 1 in der Zehnerspalte eingetragen und dort im nächsten Durchlauf mit dazugezählt wurde. Also wenn es nicht weitergeht, 1 borgen und dazuzählen.



Mit dieser Methode möchte ich nun ein Gleichungssystem lösen und darauf aufbauend die Beweglichkeit eines Streichholzgraphen bestimmen. Verwendet werden die Begriffe inverse, reguläre, singuläre, transponierte Matrix, Lösungsmenge von homogenen und inhomogenen Gleichungssystemen, Basis, linear abhängige Zeilen und Spalten, Determinante sowie aus der Mechanik der Begriff Freiheitsgrad.

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Mathematik: Verbesserung von Eingebetteten Runge-Kutta-Verfahren
Freigegeben von matroid am So. 03. Juli 2016 20:56:22
Verfasst von Higlav - (602 x gelesen)
Mathematik 


Vorwort

Im Rahmen einer kleineren Projektarbeit zur Verbesserung meines Notenschnittes in meinem Numerik-Modul entwickelte ich eher am Rande und per Zufall eine Schrittweitensteuerung für eingebettete Runge-Kutta-Verfahren, welche eine gewisse Verbesserung zum klassischen Algorithmus bietet. In diesem Artikel werde ich diese Optimierung vorstellen.
Vielleicht ist "Verbesserung" etwas unglücklich gewählt. Bei Bedarf ändere ich es auch auf "Modifikation".



Navigation

  1. Einführung
  2. Grundlagen
    1. Schrittweitensteuerung
    2. Eingebettete Verfahren
  3. Die verbesserte Schrittweitenabschätzung
  4. Programmierung
  5. Vergleich zum herkömmlichen Algorithmus
  6. Fazit


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Mathematik: Die Gelfand-Transformation - Teil 2
Freigegeben von matroid am So. 26. Juni 2016 10:11:44
Verfasst von Triceratops - (459 x gelesen)
Mathematik 

Die Gelfand-Transformation

In diesem zweiten Teil des Artikels führen wir C*-Algebren ein und benutzen die Gelfand-Transformation aus dem ersten Teil, um kommutative C*-Algebren zu klassifizieren. Wir besprechen ebenfalls den nicht-unitalen Fall. Die Gelfand-Transformation für die nicht-unitale Banachalgebra <math>L^1(\mathbb{R})</math> führt zur Fourier-Transformation.

Inhalt
Teil 1.
1. Der Begriff einer Banachalgebra
2. Das Spektrum eines Elementes
3. Die Resolventenfunktion
4. Der Charakterraum
5. Die Gelfand-Transformation
Teil 2.
6. Der Begriff einer C*-Algebra
7. Der Satz von Gelfand-Neumark
8. Der Funktionalkalkül
9. Banachalgebren ohne Eins
10. Die Fourier-Transformation
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Stern Rätsel und Spiele: Da ist mehr als Sudoku
Freigegeben von matroid am Mi. 26. Dezember 2007 19:06:01
Verfasst von philippw - (3552 x gelesen)
Spiele+Rätsel 
Ein Bahnhofsrätsel mit Lösung

Da ist mehr als Sudoku

- eine Anleitung


Manche haben vielleicht schon meine gleichnamige Frageserie Da ist mehr als Sudoku gesehen und ausprobiert. Der Gedanke dabei war, ein paar andere Logikrätsel als Sudoku vorzustellen, damit auch diese bekannter werden. Dieser Artikel ist als Ergänzung dazu bereits im Oktober entstanden, ich habe aber erst jetzt die Zeit dazu gefunden, ihn zu beenden. Ich werde zu jedem der in der Frageserie vorgestellten Rätseltyp ein Beispiel lösen, und den Lösungsweg detailliert beschreiben, damit der Leser eine Vorstellung davon bekommt, wie man an diese Rätsel rangehen kann. Es ist hilfreich, sich nicht nur alles durchzulesen, sondern sich auf einem Blatt Papier oder in einem Bildbearbeitungsprogramm das Rätsel mitzulösen, um alle Lösungsschritte nachvollziehen zu können.
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Mathematik: Über die maximale Länge von Collatz-Folgen
Freigegeben von matroid am So. 19. Juni 2016 22:22:19
Verfasst von Marbin - (426 x gelesen)
Mathematik 
<math>$${\Large \textbf{Über die maximale Länge von Collatz-Folgen}}</math>

Um überhaupt eine Aussage über die Länge von Collatz-Folgen treffen zu können, benötigen wir zunächst eine äquivalente Aussage der Collatz-Vermutung. Bei der Collatz-Vermutung geht es um eine Familie von Zahlenfolgen <math>C_{a_{0}}</math> jeweils mit Startglied <math>a_{0}</math>, und die Nachfolger werden nach folgender Vorschrift gebildet:

<math>
(1.1)~~~
\large
a_{i+1}=\gamma \left(a_{i} \right):=
\begin{cases}
3\cdot a_{i}+1, & \textup{falls }a_{i}\textup{ ungerade} \\
\frac{a_{i}}{2}, &\textup{falls }a_{i}\textup{ gerade}
\end{cases}
</math>

Wird eines der Folgeglieder <math>a_{i}</math> nun 1, so wird die Folge abgebrochen. Schauen wir uns als Beispiel zuerst die Folge <math>C_{3}</math> an, sie lautet

3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

und terminiert somit nach sieben Schritten (sprich <math>\gamma ^{7}(3)=1</math>). Die Collatz-Vermutung ist nun die einfache Aussage, dass alle Folgen <math>C_{a_{0}}</math> endlich sind, dass also für beliebige Startwerte die iterierte Anwendung irgendwann 1 liefert. Dies eine ungelöste Frage, im Folgenden wird also keine Lösung präsentiert, aber einige Betrachtungen zu der Problematik.
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Mathematik: Dreieck eines Gleichgewichtszustandes
Freigegeben von matroid am Di. 14. Juni 2016 20:00:29
Verfasst von Quadratus - (246 x gelesen)
Mathematik 
Der Artikel beschäftigt sich mit einem Dreieck, welches entsteht, wenn man eine an einem Kabel aufgehängte Lampe mit einem an der Decke befestigten Faden seitlich abspannt.

Im reibungsfreien Zustand entsteht dabei ein Dreieck aus den zwei Aufhängepunkten und dem Verbindungspunkt Kabel-Faden, dessen Innenwinkel <math>\alpha, \pi/2+\alpha</math> und <math>\pi/2-2\alpha</math> betragen. Dabei hängt der Winkel <math>\alpha</math> vom Verhältnis der Länge des abspannenden Fadens zur Distanz zwischen den beiden Aufhängepunkten ab, der Cosinus des Winkels genügt einer quadratischen Gleichung.

Das Dreieck besitzt dem Höhen- und Kathedensatz ähnliche Flächen- und Längenverhältnisse.

Unter Vorgabe der Distanz zwischen den Aufhängepunkten und der Länge des abspannenden Fadesn lässt sich das Dreieck mit Zirkel und Lineal konstruieren.
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