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Mathematik: Eine Stoppzeit-Analyse der Collatz 3x + 1 Funktion
Freigegeben von matroid am Mi. 24. Juni 2015 18:51:46
Verfasst von Slash - (542 x gelesen)
Mathematik 

Eine Stoppzeit-Analyse der Collatz 3x + 1 Funktion

Im Mittelpunkt meines zweiten Artikels zum berühmten Collatz 3x + 1 Problem steht die sogenannte "endliche Stoppzeit", die angibt, welches Glied in einer Collatzfolge zum ersten Mal kleiner als seine Startzahl ist. Falls jede Startzahl einer Collatzfolge endliche Stoppzeit besitzt, erreicht eine jede Collatzfolge irgendwann die 1, so wie es Lothar Collatz vermutet hat. Ich habe nun das Stoppzeit-Verhalten für eine endliche Menge von Startzahlen untersucht. Welche Rolle dabei die Lösungen spezieller diophantischer Gleichungen spielen und was das Ganze mit dieser
                                         \displaystyle z_n=\binom{\big\lfloor\frac{5(n-2)}{3}\big\rfloor}{n-2}-\sum_{i=2}^{n-1}\binom{\big\lfloor\frac{3(n-i)+\delta}{2}\big\rfloor}{n-i}\cdot z_i

geheimnisvollen Gleichung zu tun hat, erfahrt Ihr im Artikel.
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Mathematik: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
Freigegeben von matroid am Fr. 19. Juni 2015 16:43:12
Verfasst von Martin_Infinite - (573 x gelesen)
Mathematik 

Spektralfolgen

\tikzset{commutative diagrams/.cd,arrow style=tikz,diagrams={>=stealth}}
\begin{tikzcd}[row sep=25pt, column sep=22pt,inner sep=1pt,line width=0.45pt,]
\cdots \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet & \cdots \\
\cdots \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet & \cdots \\
\cdots  & \bullet  & \bullet  & \bullet  & \bullet & \cdots
\end{tikzcd}
Jean Leray
Jean Leray

Spektralfolgen (oder auch Spektralsequenzen) kann man sich als Verallgemeinerungen von exakten Folgen vorstellen. Sie sind ein mächtiges Werkzeug für konkrete sowie allgemeine Berechnungen in verschiedenen algebraischen Gebieten der Mathematik. Sie wurden von dem französischen Mathematiker Jean Leray als Kriegsgefangener während des zweiten Weltkrieges entwickelt. In diesem Artikel möchte ich Spektralfolgen kurz vorstellen und ihre Nützlichkeit anhand von zwei einfachen Rechenbeispielen aus der algebraischen Topologie und der Gruppentheorie sowie einer abstrakten Anwendung in der homologischen Algebra aufzeigen. Ich hoffe, dass mein Artikel den Einstieg in diese verhältnismäßig komplizierte Technik erleichtert.
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Mathematik: Denksport Symmetrie
Freigegeben von matroid am Do. 18. Juni 2015 16:31:17
Verfasst von Gerhardus - (230 x gelesen)
Mathematik 
Denksport Symmetrie


Symmetrie war "Denksport" eines Mathematikkurses für Laien und Schüler, also mit geringen Vorkenntnissen. Die Inhalte werden im nachfolgenden pdf-Artikel (3,7 MB) dokumentiert, es geht um Gruppentheorie, platonisch-archimedische Körper und Parkette und deren duale Symmetrien. Von den im Kurs gezeigten Bildern und den geometrischen Skizzen sind nur die nötigsten geblieben.
mehr... | 2736 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet
Freigegeben von matroid am Di. 16. Juni 2015 09:00:04
Verfasst von Slash - (734 x gelesen)
Mathematik 

Wie man mit Bauklötzen Primzahlen findet

Ein mathematischer Sachverhalt lässt sich am besten mittels einer Visualisierung verstehen. Wir wollen die Teilbarkeit der natürlichen Zahlen an einem einfachen Modell veranschaulichen und es so im wahrsten Sinne des Wortes "begreifbar" machen. Dieses Modell basiert auf derart einfachen Regeln, dass sogar Kinder es bei der Beschäftigung mit gleichgroßen Bauklötzen oder Legosteinen spielerisch-intuitiv konstruieren können und wahrscheinlich auch schon oft getan haben. Natürlich ohne dabei zu ahnen, welches Wunderwerk an Komplexität sie da erschaffen würden, ließe man sie ewig weiterspielen.

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buhs Montagsreport: Wo sind sie geblieben?
Freigegeben von matroid am Mo. 15. Juni 2015 19:17:23
Verfasst von buh - (289 x gelesen)
Bildung 
Urlogo für buhs Montagsreport

Wo sind sie geblieben?

Die Kinder aus dem Leistungskurs

Berlin. Es ist vollbracht. Den Designersessel ins Campingzelt gestellt und danach mit dem beim Glücksrad gewonnenen Kelchglas in die Berliner Gaslaterne schauend kann man schon mal zum Vorsorgemuffel* werden.
SOO heißt Abitur heute!
Und als seien die Titel der Aufgaben noch nicht genug, verraten uns die Verfasser** der Aufgaben, was wir schon immer wissen wollten: WO sind die Früchte unseres Fleißes, unserer emsigen Vermittlung, unseres ewigen Treibens, Schiebens, unseres, ja ich gestehe, „Quälens“ abgeblieben, nachdem sie dem Schulalltag entfleucht sind??
mehr... | 3987 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | buhs Montagsreport


Mathematik: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
Freigegeben von matroid am Sa. 23. Mai 2015 11:14:00
Verfasst von Martin_Infinite - (762 x gelesen)
Mathematik 

2-Kategorien

Einstieg in die höhere Kategorientheorie

Kategorien bestehen aus Objekten und Morphismen zwischen den Objekten. Diese kann man sich als Punkte und Pfeile dazwischen vorstellen, die man miteinander verketten kann:

\begin{tikzcd}[column sep=25pt, row sep=5pt] \bullet \ar[dashed,bend left]{rr} \ar{dr} && \bullet \\ & \bullet \ar{ur} & \end{tikzcd}
 
Dieser Artikel gibt eine Einführung in 2-Kategorien. Diese bestehen aus Objekten, (1-)Morphismen sowie Morphismen zwischen 1-Morphismen, genannt 2-Morphismen:
 
\begin{tikzcd}[row sep=10pt] & \ar[Rightarrow]{dd} & \\ \bullet \ar[bend left=45]{rr} \ar[bend right=45]{rr} &  & \bullet \\ & \phantom{.} & \end{tikzcd}

Die Komposition der 1-Morphismen ist außerdem nur bis auf 2-Isomorphismen assoziativ, d.h. (f * g) * h \cong f * (g * h). In diesem Artikel werden u.a. drei typische Beispiele ausführlich besprochen:

• Kategorien als Objekte mit Funktoren als 1-Morphismen und natürlichen Transformationen als 2-Morphismen.
• Topologische Räume als Objekte mit stetigen Abbildungen als 1-Morphismen und Homotopieklassen von Homotopien als 2-Morphismen.
• Algebren als Objekte mit Bimoduln als 1-Morphismen und Bimodulhomomorphismen als 2-Morphismen.
 
Als Spezialfall von 2-Kategorien behandeln wir monoidale Kategorien; dies sind Kategorien mit einer Art Multiplikation. Ferner besprechen wir Adjunktionen in einer 2-Kategorie, welche zum Beispiel adjungierte Funktoren, Dualitäten in monoidalen Kategorien sowie Morita-Kontexte vereinheitlichen. Schließlich geht es um Funktoren zwischen 2-Kategorien und einer 2-kategoriellen Version des Yoneda-Lemmas.
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Stern Mathematik: Über Darstellende Matrizen
Freigegeben von matroid am Di. 18. Februar 2003 22:25:50
Verfasst von Siah - (503315 x gelesen)
Lineare Algebra 

Lineare Algebra für Dumme, Kap. 2
 
Kapitel 2: Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen zwischen endlich-dimensionalenVektorräumen bezüglich verschiedener Basen
 

Hallo zusammen,

ich möchte mich in diesem kleinen Abschnitt mit einem wohl oft zu unrecht als "kompliziert" verschrieenen Thema der linearen Algebra befassen. Wie schon aus der Überschrift zu erkennen, soll es um die verschiedenen Darstellungsformen linearer Abbildungen (Homomorphismen, strukturerhaltende Abbildungen) zwischen Vektorräumen gehen.

Da ich pädagogisch leider in keiner Weise geschult bin, bitte ich im Voraus um Entschuldigung für ungewollte, beziehungsweise didaktisch nicht wertvolle gedankliche Sprünge, Unzulänglichkeiten bei Erklärungen und Wortarmut (ich bin auch leider rhetorisch nicht geschult). Gleichzeitig bitte ich von allen Seiten um Verbesserungsvorschläge inhaltlicher, äußerer Art, und um Fehlerbeseitigung.

 

Inhalt

- Lineare Abbildungen
- Homomorphismen
- Bild und Kern
- Dimensionsformel
- Injektivität und Surjektivität
- Wo bleiben die Matrizen?
- Lineare Abbildung am Beispiel
- Darstellung linearer Abbildungen am Beispiel
- Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen bezüglich verschiedener Basen
- Abbilden mit einer Darstellenden Matrix
- Berechnung der Darstellenden Matrix am Beispiel
- 5-Schritt-Verfahren zum Rechnen mit Darstellungsmatrizen
- Zu komplizert?
- Basisänderung
- Rang einer linearen Abbildung
Trennlinie

Ich setze voraus, mit folgenden Begriffen umgehen zu können:

Vektorraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension, Abbildung, Matrix, Matrizenmultiplikation, Gauss-Algorithmus.
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buhs Montagsreport: KRYPTIKUM 2013 – Teil 3 (2015)
Freigegeben von matroid am Mo. 18. Mai 2015 20:52:10
Verfasst von buh - (241 x gelesen)
Spiele+Rätsel 
Urlogo für buhs Montagsreport

KRYPTIKUM 2013 – Teil 3 (2015)

*-ige Ersatzhandlung

Berlin. Wieder einmal hat es Leonardo ver Wuenschmi irgendwohin verschlagen; die Rede ist von der Ebene der Spurpunkte, in der ein geheimnisvolles infinites Meer vermutet wird; vermutlich wird er davon noch berichten.
In seiner Absentialität kann ich wieder einmal, in Fortführung des einsternigen Bilderrätsels samt zugehöriger Hilfen, ein solches „Bilderse“ zur Verfügung stellen.
Es ist in Fortführung der Aktion von 2013 entstanden und zeigt
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Mathematik: Dreieck ums Dreieck
Freigegeben von matroid am So. 17. Mai 2015 13:09:21
Verfasst von FriedrichLaher - (492 x gelesen)
Mathematik 
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Buchbesprechung

Kac, Victor
Vertex Algebras for Beginners

Rezensiert von PhysikRabe:
Der Titel ist Thema: Auf knapp 200 Seiten bietet Victor Kac einen fundierten Einstieg in die Theorie der Vertex-Algebren, wie sie vor allem für physikalische Anwendungen wie konforme Quantenfeldtheorie wichtig ist. Das Buch beginnt mit einer Einführung in die QFT mittels der Wigh ... [mehr...]
: Quantenfeldtheorie :
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Wenn ich lerne/arbeite, höre ich nicht, was um mich herum ist.
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Ich muss nicht lernen/arbeiten.
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