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Mathematik: Mathematisches Modell eines Tumors im Frühstadium

Freigegeben von matroid am Mo. 01. Februar 2016 00:00:10
Verfasst von Marbin - (29 x gelesen)

$<math>$${\Large \textbf{Mathematisches Modell eines Tumors im Frühstadium}}</math>$

Ein Tumor, zumindest im Frühstadium, weist eine sigmoide Wachstumskurve auf. Aus diesem Grund wird oft die Gompertz-Funktion herangezogen, um den Wachstum von Tumoren zu beschreiben. Die Gompertz-Funktion, die von ihrem Entdecker Benjamin Gompertz 1825 empirisch aufgestellt wurde, dient(e) eigentlich dazu, die Mortalitätsrate zu modellieren. Die Funktion beschreibt die empirischen Wachstumskurven von avaskulären und vaskulären Tumoren im Frühstadium wesentlich besser als andere sigmoide Funktionen wie die logistische Funktion oder die biologisch begründete von Bertalanffy-Funktion, die eine Verallgemeinerung der logistischen bzw. der Verhulst-Funktion darstellt - aber warum?

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| Mathematik

Mathematik: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten

Freigegeben von matroid am Sa. 30. Januar 2016 20:24:35
Verfasst von JoeM - (245 x gelesen)

Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten

Von dem indischen Mathematiker Kaprekar stammt folgender Zusammenhang :

a) man nimmt eine beliebige 4- stellige Zahl Z , bei der nicht alle Ziffern gleich sind.

b) Aus dieser Zahl Z bildet man durch Umordnung der Ziffern eine größte Zahl Z1, und eine kleinste Zahl Z2. Dann berechnet man eine neue Zahl aus der Differenz Z1 – Z2.

c) Dieser Vorgang wird wiederholt. Nach einigen Schritten landet man stets bei der Zahl 6174. Diese Zahl reproduziert sich bei weiteren Schritten selbst.

Beispiel : Z = 4732 ( beliebige Startzahl mit 4 unterschiedlichen Ziffern ) :

7432 – 2347 = 5085 ; 8550 – 558 = 7992 ; 9972 – 2799 = 7173 ;
7731 – 1377 = 6354 ; 6543 – 3456 = 3087 ; 8730 – 378 = 8352 ;
8532 – 2358 = 6174 ; 7641 – 1467 = 6174 ;

Die Kaprekar- Konstante für eine 4- stellige Zahl lautet somit : 6174 ;

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| Mathematik

Mathematik: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis

Freigegeben von matroid am Mi. 27. Januar 2016 12:47:27
Verfasst von trunx - (430 x gelesen)

Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis

Wie bei anderen mathematischen Methoden auch hört man bei Extremwertberechnungen oft von Schülern "Wofür braucht man das?" oder "Wer optimiert schon seinen Karnickelstall?". Über Sinn oder Unsinn der in den Lehrbüchern angegebenen Beispiele kann man diskutieren, Tatsache ist aber, dass es wenige praxisrelevante Beispiele gibt, die wirklich schülertauglich sind, also ihren aktuellen Alltagshorizont betreffen. Bleibt man aber bei solchen Fragen eine Antwort schuldig, greift die Demotivation weiter um sich.

Lange Rede, kurzer Sinn, ich bin jetzt über ein reales Beispiel aus dem Alltag gestolpert, dessen Optimierung nicht auf der Hand liegt, sondern halt der Extremwertberechnung bedarf und durchaus zu interessanten Ergebnissen führt.

Es geht um die Optimierung von Paket-Maßen, sprich darum, soviel wie möglich in einem Paket unter zu bekommen für den kleinstmöglichen Preis.

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| Mathematik

Matheplanet-Award: Verleihung der 14. MP-Awards

Freigegeben von matroid am So. 24. Januar 2016 15:00:01
Verfasst von matroid - (992 x gelesen)

Verleihung
der 14. Matheplanet-Mitglieder-Awards

24. Januar 2016

Große Bühne für die Awardsverleihung

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| Matheplanet-Award

Mathematik: Allgemeine Lösung linearer Rekursionsgleichungen

Freigegeben von matroid am Do. 14. Januar 2016 22:00:22
Verfasst von trunx - (249 x gelesen)

Allgemeine Lösung linearer Rekursionsgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Hier hatte ich bereits für relativ einfache lineare Rekursionsgleichungen (nämlich solche 2. Grades) Lösungen angegeben und in den Kommentaren weitere Lösungsideen ergänzt. Mittlerweile reicht eine solche Ergänzung nicht mehr aus, ich habe mich deshalb für einen neuen Artikel entschieden.

Die allgemeine Form linearer Rekursionsgleichungen (mit Elementen

und entsprechend allen Koeffizienten

aus einem Körper $<math>\mathds{K}</math>$ ) lautet:

$<math>f_{n+m}=\sum \limits_{i=0}^{m-1} r_i f_{n+i} + g(n)</math>$ (0) mit Anfangsbedingungen

für $<math>i=0,\dotsc,m-1.</math>$

Für

heissen die Rekursionsgleichungen homogen, andernfalls inhomogen. In diesem Artikel werden nun die Lösungen (u.a. mit Hilfe der Körpererweiterung) für sämtliche homogene und für eine bestimmte Klasse inhomogener Rekursionsgleichungen hergeleitet, nämlich für den Fall $<math>g(n)=\sum \limits_{j=1}^l p_j(n) \phi^n_j</math>$ , wobei $<math>p_j(n)=\sum \limits_{k=0}^{d_j} q_{jk} n^k</math>$ Polynome

-ten Grades in

sind (hier sind die $<math>\phi_j,q_{jk}</math>$ nicht notwendig in $<math>\mathds{K}</math>$ , es genügt ja, wenn dies für alle

der Fall ist).

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| Mathematik

buhs Montagsreport: Und immer immer wieder geht…

Freigegeben von matroid am Mo. 11. Januar 2016 20:04:10
Verfasst von buh - (308 x gelesen)

Und immer immer wieder geht…
Blick in die Zukunft

Zinbiel: Da stand er und schwieg. Leonardo ver Wuenschmi, nach der Revolution* auf der Rückseite als T-Le ausgeschickt, um das berühmte Blatt mit den Prophezeiungen für 2016 zu suchen.
Stand und schwieg.
In der Hand zusammengerollt ein integralaktisches Display, in den Augen Tränen. Furcht stand in den Augen der herbeigeeilten Witten, Chatten und Solingen: was hatte Leonardo gesehen? Das Ende der Rückseite?? Die Implosion der Marthermatik?
Nach scheinbar endlosen Minuten totaler Stille begann Leonardo schließlich mit leiser Stimme zu reden**:

„Liebe Witten, Chatten, Solingen! Liebe ausgestorbene Skripten!
(…) betrüblich, dass He Le Ne… ich …..Ersatz … auch heute wieder …. statt am 14. Lenzing von unseren R-Folgen zu sprechen, auch wenn unglaubliche Ereignisse (…) integralak.. interaktives Disp…… gefu(…) möglich, die Zukunft (…) Matheplan(…) sehen, auch wenn … betrüb… Daher habe ich (…) Wo ist denn der Helligkeitssens...(…) ...verkünden:

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| buhs Montagsreport

Mathematik: Cantor-Algebren - eine kategorielle Untersuchung

Freigegeben von matroid am Do. 17. Dezember 2015 12:53:27
Verfasst von Martin_Infinite - (402 x gelesen)

$<math>$${\Large \textbf{Cantor-Algebren}}</math>$

Cantor-Algebren sind interessante algebraische Strukturen: Es handelt sich um Mengen

zusammen mit einer Bijektion $<math>X^2 \xrightarrow{~\cong~} X</math>$ . Ein klassisches Beispiel ist die Menge der natürlichen Zahlen $<math>\mathds{N}</math>$ zusammen mit der Cantor'schen Paarungsfunktion $<math>\mathds{N}^2 \xrightarrow{~\cong~} \mathds{N}</math>$ . In diesem Artikel wird die Kategorie der Cantor-Algebren untersucht. Wir geben u.a. freie Cantor-Algebren und Koprodukte von Cantor-Algebren explizit an; dabei ergeben sich baumähnliche Strukturen. Außerdem zeigen wir, dass die Cantor-Algebren einen sog. Grothendieck-Topos bilden, d.h. sich als Garben auf einem "Raum" darstellen lassen.

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| Mathematik

Mathematik: Das regelmäßige 17-Eck

Freigegeben von matroid am So. 23. Oktober 2005 12:09:58
Verfasst von shadowking - (28097 x gelesen)

Das regelmäßige Siebzehneck

regelmäßiges Siebzehneck

Carl Friedrich hat seinen 17. Geburtstag. Zur Feier hat er 16 Gäste eingeladen, und es soll einen runden Kuchen geben. Nun sind die Gäste eifersüchtig darauf bedacht, alle ein Kuchenstück in exakt der gleichen Form wie das von Carl Friedrich zu bekommen, denn keiner möchte sich ungerecht behandelt fühlen. Und da die Gäste alle glühende Verehrer der Euklidischen Geometrie sind, sollen bei der Kuchenverteilung nur Lineal und Zirkel zum Einsatz kommen.

Was ist zu tun?

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| Mathematik

Mathematik: Die Vieta-Transformation

Freigegeben von matroid am Fr. 13. November 2015 15:37:25
Verfasst von Martin_Infinite - (1064 x gelesen)

Zur Lösung der kubischen Gleichung

Die Vieta-Transformation

In diesem Artikel stelle ich die Vieta-Transformation vor (nach François Viète), mit deren Hilfe eine sehr schnelle und elegante Lösung der kubischen Gleichung

gelingt. Sie wird damit unmittelbar auf eine quadratische Gleichung und eine reine kubische Gleichung reduziert. Es ergeben sich dieselben Formeln wie von Cardano bzw. Tartaglia. Als Beispiel lösen wir die Gleichung

über $<math>\mathds{C}</math>$ , $<math>\overline{\mathds{F}_5}</math>$ und $<math>\overline{\mathds{F}_7}</math>$ auf. Außerdem gehe ich auf Cardanos elementargeometrische Lösung der kubischen Gleichung ein.

$<math>\begin{tikzpicture}[scale=0.6] \fill [lightgray!20] (0.3,3*0.3) to (2-0.3,3*0.3) to (2-0.3,2+0.3) to (0.3,2+0.3) to (0.3,3*0.3); \fill [lightgray!70] (2-0.3,3*0.3) to (2-0.3,2+0.3) to (3-2*0.3,3) to (3-2*0.3,1+2*0.3); \fill [lightgray!90] (2-0.3,2+0.3) to (0.3,2+0.3) to (1,3) to (3-2*0.3,3); \fill [lightgray!20] (2-2*0.3,0) to (2-2*0.3,2*0.3) to (2,2*0.3) to (2,0); \fill [lightgray!70] (2,0) to (2,2*0.3) to (2+0.3,3*0.3) to (2+0.3,0.3); \fill [lightgray!90] (2-2*0.3,2*0.3) to (2-0.3,3*0.3) to (2+0.3,3*0.3) to (2,2*0.3); \draw (0,0) to (2,0) to (3,1) to (3,3) to (1,3) to (0,2) to (2,2) to (3,3); \draw (2,2) to (2,0); \draw (0,2) to (0,0); \draw [black!70] (0,0) to (1,1) to (1,3); \draw [black!70] (1,1) to (3,1); \draw (2-2*0.3,0) to (2-2*0.3,2) to (3-2*0.3,3); \draw (2-2*0.3,2*0.3) to (2,2*0.3) to (3,1+2*0.3); \draw (0.3,2+0.3) to (2-0.3,2+0.3); \draw (2+0.3,0.3) to (2+0.3,3*0.3); \draw [black!70] (2-2*0.3,0) to (2-0.3,0.3); \draw [black!70] (0.3,3*0.3) to (1,1+2*0.3) to (3,1+2*0.3); \draw [black!70] (0.3,2+0.3) to (0.3,0.3) to (2+0.3,0.3); \draw [black!70] (3-2*0.3,1+2*0.3) to (3-2*0.3,3); \draw [black!70] (0.3,3*0.3) to (2+0.3,3*0.3); \draw [black!70] (2-2*0.3,2*0.3) to (3-2*0.3,1+2*0.3); \draw [black!70] (2-0.3,0.3) to (2-0.3,2+0.3); \end{tikzpicture}</math>$

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| Mathematik

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Buchbesprechung

Bartsch, Hans-Jochen / Sachs, Michael
Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Rezensiert von shadowking:
Als ich mein Mathematikstudium begann, hatte ich noch nichts vom Bronstein, dem Maß aller Dinge im Bereich der Formelsammlungen, gehört. Dennoch hielt ich eine verläßliche und umfangreiche Formelsammlung für eine sinnvolle Investition, und so schaffte ich mir „den Bartsch“ an. ... [mehr...]

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