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Physik: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz
Freigegeben von matroid am Sa. 25. November 2017 10:30:38
Verfasst von StefanVogel - (595 x gelesen)
Physik 
Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz

Über die Maxwell-Gleichungen ist an verschiedenen Stellen zu lesen, dass davon nur einige Gleichungen physikalische, experimentell bestätigte Annahmen sein müssen und die übrigen sind geometrische und mathematische Schlussfolgerungen. Auch bei der Auswahl der physikalischen Annahmen kann man anscheinend variieren, entweder man leitet aus den einen die anderen her oder umgekehrt. In diesem Artikel möchte ich so eine Herleitung versuchen, und zwar ausgehend

von der Lorenz-Eichung \( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \)

und dem Satz von Schwarz \( {\dfrac {\partial }{\partial x}}\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\right)={\dfrac {\partial }{\partial y}}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\right) \).

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Stern Mathematik: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
Freigegeben von matroid am Sa. 23. Juli 2011 20:14:50
Verfasst von Martin_Infinite - (6937 x gelesen)
Mathematik 
Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
 

In diesem Artikel möchte ich zeigen, wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern können. Dies habe ich in meinem einführenden Artikel über universelle Eigenschaften bereits angerissen und wird hier nun mit Leben gefüllt. Die meisten Lehrbücher der Algebra arbeiten erst dann ernsthaft mit universellen Eigenschaften (und selbst dann nicht immer konsequent), wenn die expliziten Konstruktionen zu unübersichtlich werden, um Elementbeweise zu führen (z.B. Tensorprodukte). Dabei ist es aber meiner Meinung schon bei einfacheren, konkreten Konstruktionen hilfreich, universelle Eigenschaften zu benutzen, um sich nicht immer wieder mit denselben Rechnungen vom richtigen Verständnis des Zusammenhangs abzuhalten. Das werde ich in diesem Artikel mit einigen einfachen Beispielen belegen, die auch größtenteils schon hier auf dem Matheplaneten aufgetaucht sind. Also: In Bezug auf die Grundlagen der Algebra möchte ich euch ein wenig die funktorielle Sichtweise erklären ...



Die vorherrschende Meinung ...
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Mathematik: Mathematik als moderner "Stein von Rosetta"
Freigegeben von matroid am Di. 24. Oktober 2017 14:07:11
Verfasst von trunx - (629 x gelesen)
Bildung 
Hallo Freunde der Zahlenkunst,

seit langem, vielleicht auch altersbedingt, beschäftigt mich der Gedanke, wie bei einem Zusammenbruch der menschlichen Zivilisation unser bisheriges Wissen archiviert und für sehr lange Zeiträume aufbewahrt werden könnte (als Einstieg siehe hier).
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Zeichnen einer Weltkugel mit einem Commodore Plus 4
Freigegeben von matroid am Do. 19. Oktober 2017 15:53:20
Verfasst von Delastelle - (433 x gelesen)
Spiele+Rätsel 
Im Jahr 1985 gab es von Commodore den Computer Plus 4 mit 64 KByte Speicher. Weiterhin gab es die Broschüre "BASIC Einmaleins des Programmierens" mit einem Umfang von 72 Seiten zum Programmieren in der Programmiersprache BASIC von Dr.Ursula Grote und Prof.Horst Völz. In der Broschüre war das Programm "GLOBUS" abgedruckt. Dieses konnte auf einem DDR-Computer eine Weltkugel zeichnen. Ich habe dieses heute 32 Jahre alte Programm auf einem virtuellen Commodore Plus 4 (Emulator vice) laufen lassen.
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Mathematik: Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann
Freigegeben von matroid am Sa. 07. Oktober 2017 10:11:20
Verfasst von Triceratops - (2317 x gelesen)
Mathematik 

Wie man einfache Beweise ohne Mühe finden kann

Wenn man mit dem Studium der Mathematik beginnt, kommt es einem manchmal so vor, als ob Beweise sehr schwierig zu finden sind und ein hohes Maß an Kreativität und Talent erfordern. Selbst wenn man die Musterlösung sieht, denkt man sich manchmal "Darauf wäre ich nie gekommen", "Ich bin zu blöd dafür" oder "Das ist total schwierig". Viele Beweise in den ersten Semestern lassen sich aber ohne Mühe finden. Die Beweisschritte sind regelrecht erzwungen. Man muss sich dabei nur ein paar universelle Denkmethoden oder -muster aneignen, die oft zum Ziel führen. Dieser Artikel richtet sich an Studienanfänger und stellt diese Methoden anhand von einigen Beispielen vor.
mehr... | 40529 Bytes mehr | 4 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege
Freigegeben von matroid am Do. 24. August 2017 08:26:14
Verfasst von Triceratops - (544 x gelesen)
Mathematik 

Kombinatorik im Spätsommer: Hamiltonsche Gitterwege


In diesem Artikel zählen wir die Wege, die durch ein endliches Gitter von unten links nach oben rechts laufen und sich nicht selbst schneiden. Dabei betrachten wir auch die Option, dass jeder Gitterpunkt genau einmal besucht wird. Solche Gitterwege werden selbstmeidend bzw. Hamiltonsch genannt.
 
<math>\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (3,0) to (3,3) to (1,3) to (1,2) to (2,2) to (2,1) to (0,1) to (0,4) to (2,4) to (2,5) to (0,5) to (0,6) to (5,6) to (5,5) to (3,5) to (3,4) to (4,4) to (4,2) to (6,2) to (6,1) to (4,1) to (4,0) to (7,0) to (7,3) to (5,3) to (5,4) to (7,4) to (7,5) to (6,5) to (6,6) to (7,6);
\end{tikzpicture}
\hspace{10ex}
\begin{tikzpicture}[line width=0.2ex,scale=0.6]
\draw [lightgray] (0,0) grid (7,6);
\draw [rounded corners=0.3ex,black!50!blue] (0,0) to (0,4) to (4,4) to (4,3) to (3,3) to (3,2) to (2,2) to (2,3) to (1,3) to (1,0) to (2,0) to (2,1) to (3,1) to (3,0) to (4,0) to (4,2) to (5,2) to (5,5) to (0,5) to (0,6) to (6,6) to (6,1) to (5,1) to (5,0) to (7,0) to (7,6);
\end{tikzpicture}</math>
 
Wir benutzen die Transfer-Matrix-Methode, um die erzeugenden Funktionen der gesuchten Anzahlen effizient zu bestimmen. Ein Programm nimmt uns die Rechnungen ab.
mehr... | 67028 Bytes mehr | Kommentare? | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Rätsel und Spiele: Endspieldatenbanken im Schach
Freigegeben von matroid am Mi. 16. August 2017 21:56:16
Verfasst von Delastelle - (514 x gelesen)
Software 
Schach wird mit 32 Steinen gespielt.
Computerprogramme berechnen in einer gegebenen Stellung (einige) mögliche Fortsetzungszüge und bewerten sie auch.
Es entsteht ein Baum mit guten Zügen.
Aber es gibt auch eine andere Herangehensweise um einen Teilaspekt des Schachspiels zu beherrschen - nämlich das Endspiel.
mehr... | 11214 Bytes mehr | 3 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Rätsel und Spiele


Mathematik: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
Freigegeben von matroid am Sa. 12. August 2017 14:41:09
Verfasst von Yakob - (297 x gelesen)
Mathematik 

Regelmäßiges  9 - Eck :

Näherungskonstruktion


Gerade hatte ich eine Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck entworfen und hier eingebracht
    http://www.matheplanet.com/default3.html?article=1798  
Anschließend fragte ich mich, ob ich mit denselben Mitteln (also mit dem einfachen Suchprogramm für gute Approximationswerte) auch z.B. eine analoge Konstruktion für andere Vielecke, zum Beispiel für das reguläre Neuneck, finden könne. Dazu änderte ich einfach das vorherige Suchprogramm etwas ab für die Suche nach einfachen Approximationen etwa für Werte wie <math>2*sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\, ,\ cos\left(\frac{2\,\pi}{9}\right)\, ,\ tan\left(\frac{\pi}{9}\right)</math>  usw.
mehr... | 3160 Bytes mehr | 6 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


Mathematik: Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken
Freigegeben von matroid am So. 30. Juli 2017 21:09:52
Verfasst von Triceratops - (885 x gelesen)
Mathematik 

Kombinatorik in der Sommerpause: Pflasterungen mit Rechtecken

Auf wieviele verschiedene Weisen lässt sich ein \(3 {\times} 4\)-Gitter mit Rechtecken pflastern? Hier ein paar Beispiele dafür:

<math>\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (2,1) to (2,0);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,2) to (1,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (0,1) to (4,1);
\draw (3,0) to (3,1);
\draw (2,1) to (2,2) to (4,2);
\draw (2,3) to (2,2);
\draw (1,1) to (1,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (2,0) to (2,2) to (0,2);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (2,1) to (3,1);
\draw (3,2) to (4,2);
\draw (3,0) to (3,3);
\end{tikzpicture}
\hspace{7mm}
\begin{tikzpicture}[line width=0.18ex,scale=0.5]
\draw [thin,lightgray,step=1] (0,0) grid (4,3);
\draw (0,0) to (4,0) to (4,3) to (0,3) -- cycle;
\draw (1,0) to (1,1) to (0,1);
\draw (0,2) to (3,2) to (3,1) to (1,1);
\draw (2,2) to (2,3);
\draw (3,2) to (3,3);
\draw (3,1) to (4,1);
\end{tikzpicture}</math>

Tatsächlich gibt es \(3164\) solcher Pflasterungen. Um solche Anzahlen rekursiv zu bestimmen, betrachten wir allgemeiner die Zahl der Pflasterungen eines \(n {\times m}\)-Gitters durch Rechtecke. In diesem Artikel schauen wir uns besonders die Fälle \(n=1,2,3\) an. Dabei lernen wir verschiedene Methoden kennen, insbesondere die Transfer-Matrix-Methode, die sogar für jedes feste \(n\) funktioniert. Wir bekommen sowohl erzeugende Funktionen als auch Rekursionsgleichungen für die gesuchten Anzahlen.
mehr... | 33607 Bytes mehr | 19 Kommentare | Druckbare Version  Einen Freund auf diesen Artikel hinweisen | Mathematik


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Der goldene Schnitt - Die mathematische Sprache der Schönheit

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