Herzkurven
Von: Hans-Juergen
Datum: Di. 06. Oktober 2009 18:42:51
Thema: Mathematik
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Herzkurven
Ein junger Mathematikstudent verliebte sich in eine Kommilitonin, war aber zu schüchtern, ihr das zu sagen. Um es wenigstens anzudeuten, schickte er ihr eine Geburtstagskarte, die mit den folgenden Zeilen endete:
\fedon\mixonx=+-(-3t^2+2t+1)|sin|t
y=(-3t^2+2t+1)|cos|t
\fedoff0<=t<=1
Diese Parameterdarstellung zeichnete sie mit ihrem Computer und erhielt:
Die Geschichte ist nur ausgedacht, kann aber durchaus passieren, denn es gibt viele weitere Möglichkeiten, herzförmige Kurven durch mathematische Formeln zu beschreiben, vgl. z. B. hier [1].
Mir schickte jemand dies:
\fed\mixony_1,2=2/3*((x^2+abs(x)-6)/(x^2+abs(x)+2)+-sqrt(36-x^2))| ,
\fedoff\mixoff
was so aussieht:
Eine "richtige" Herzkurve von Beutel mit
\fed\mixon(x^2+y^2-a^2)^3=4a|x^2|y^3\fedoff
wird in [2] ohne Abbildung erwähnt. Sie ist symmetrisch zur y-Achse und schneidet beide Achsen bei ±a. Vier leicht zu findende Punkte von ihr sind
\fedon\mixon( +-a|, 4^(1/3)|a ), (+-sqrt(2)a , a) ,
\fedoff
und wenn die Relationsgleichung nach y aufgelöst wird, läßt sich die Kurve mit Computerhilfe bequem als Ganzes zeichnen:
Bevor man das Herzsymbol unten spitz machte, war es üblich, es dort abzurunden: [3] [4]
Noch mehr ist das bei der Kardioide der Fall,
deren Name auf deutsch "Herzkurve" bedeutet.
Interessant ist die Kardioide vor allem dadurch, daß sie sich auf mehrere, ganz verschiedene Arten gewinnen läßt bzw. in Erscheinung tritt.
Am bekanntesten ist wohl diese: auf einem Kreis rollt außen ein zweiter, gleich großer ab. Ein fester Punkt auf ihm zeichnet dann eine Kardioide.
Es kann aber auch ein Kreis auf einem anderen innen abrollen, und wenn sich dabei seine Größe in bestimmter Weise verändert, entsteht die Kardioide ebenfalls. Beide Möglichkeiten werden auf der Seite [1] mit den Herzkurven durch animierte Grafiken veranschaulicht. Der zweiten ist gleichwertig, die Kardioide als Einhüllende einer Kreisschar aufzufassen, vgl. hier.
Wie man eine Kardioide ohne Abrollen mit Hilfe einer Streckenkonstruktion punktweise erzeugen kann, wird in [5] erklärt.
Beim "Apfelmännchen" bildet eine Kardioide die Randlinie des Hauptkörpers, dessen "Warzen" sie durchsetzt:
Wie das zustande kommt, weiß ich nicht; der theoretische Beweis dafür ist vermutlich sehr schwierig.
Viel einfacher läßt sich zeigen, daß eine Kardioide bei der komplexen Abbildung w=1/z aus einer Parabel entsteht, wenn man diese geeignet wählt:
\fedon\mixonSei w=1/z mit z=x+iy, w=u+iv, dann gilt
u+iv=1/(x+iy)=(x-iy)/(x^2+y^2), u=x/(x^2+y^2), v=-iy/(x^2+y^2).
Hieraus folgt unter anderem
u=x(u^2+v^2)| (1) | und | uy+xv=0 | (2).
Die Originalkurve soll eine zur y-Achse symmetrische Parabel sein: y=ax^2+b; dann lautet (2): u(ax^2+b)+xv=0.
Dies ist eine quadratische Gl. in x mit der Lösung
x=(-v+-sqrt(v^2-4abu^2))/(2au)|.
Durch Einsetzen in (1), ergibt sich:
u=(u^2+v^2)|(-v+-sqrt(v^2-4abu^2))/(2au)|. | (3)
Diese Gl. enthält nur noch u und v, d. h. sie beschreibt die aus der Parabel durch w=1/z entstehende Bildkurve.
Für sie verwenden wir weiter Polarkoordinaten:
u=r|cos\phi|, v=r|sin\phi|; r=sqrt(x^2+y^2)| (>0);
dann wird aus (3):
cos\phi=(-sin\phi+-sqrt(sin^2|\phi-4ab|cos^2|\phi))/(2a|cos\phi)*r|.
Nun werde die Parabel speziell so gewählt, daß 4ab=-1 ist; dann folgt
cos\phi=(-sin\phi+-1)/(2a|cos\phi)*r|.
Da r nicht negativ ist, gilt das Pluszeichen, und wir erhalten
r=(2a|cos^2|\phi)/(1-sin\phi)=2a(1+sin\phi).
Die Gl. r=2a(1+sin\phi) beschreibt eine zur y-Achse symmetrische Kardioide mit dem "Bauch" nach oben.
Das folgende Bild zeigt als Beispiel den Fall a=1/4, b=-1|:
\fedoff
(Anmerkung: eine Kardioide erhält man auch durch die Abbildung einer Parallele zur x-Achse mit w=a²/z², vgl. hier, letztes Bild.)
Physikalisch und im täglichen Leben begegnen uns die Kardioide und ihr ähnelnde Kurven als Brennlinie (Katakaustik) bei der Lichtreflexion an runden Gegenständen wie diesen:
In [5] wird darauf hingewiesen, daß das Licht von einer Lichtquelle am Tassenrand herkommen muß, damit eine echte Kardioide entsteht. Bei parallel einfallendem Licht ergibt sich eine sogenannte Nephroide, vgl. hier.
(rot: Einfallslot)
Zum Abschluß noch etwas Prähistorisches: Im Athener Kerameikos-Museum sind mehrere tausend Jahre alte, herzförmige Objekte ausgestellt, deren Bedeutung anscheinend unbekannt ist:
Einige von ihnen enthalten Kurven, die in ihrem unteren Teil an die Kardioide erinnern.
[1] www.mathematische-basteleien.de/herz.htm
[2] Kuno Flath, Analytische Geometrie spezieller ebener Kurven, S. 339
[3] Lutherrose in einem Kirchenfenstern (selten)
[4] www.pfarrgemeinden.info/baseportal/INFO_DETAIL/...
[5] http://de.wikipedia.org/wiki/Kardioide
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