Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz
Von: StefanVogel
Datum: Sa. 25. November 2017 10:30:38
Thema: Physik


Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz


Über die Maxwell-Gleichungen ist an verschiedenen Stellen zu lesen, dass davon nur einige Gleichungen physikalische, experimentell bestätigte Annahmen sein müssen und die übrigen sind geometrische und mathematische Schlussfolgerungen. Auch bei der Auswahl der physikalischen Annahmen kann man anscheinend variieren, entweder man leitet aus den einen die anderen her oder umgekehrt. In diesem Artikel möchte ich so eine Herleitung versuchen, und zwar ausgehend

von der Lorenz-Eichung \( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \)



und dem Satz von Schwarz \( {\dfrac {\partial }{\partial x}}\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\right)={\dfrac {\partial }{\partial y}}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\right) \).




Gegeben seien vier Funktionen \( u_1, u_2, u_3, u_4, \) jede abhängig von vier Veränderlichen \( x_1, x_2, x_3, x_4 \), und alle zweimal stetig differenzierbar. Die zweiten partiellen Ableitungen \( {\dfrac {\partial }{\partial x_k}}\left({\dfrac {\partial }{\partial x_j}}u_i(x_1,x_2,x_3,x_4)\right) \) schreibe ich kurz als \( u_{ijk} \). Der erste Index \( i \) bezeichnet die verwendete Funktion \( u_i \) und die weiteren \( j,k \) den Index, nach welcher Variablen \( x_j, x_k \) der Reihe nach abgeleitet wird. Satz von Schwarz angewendet für \( i,j,k \) von 1 bis 4 ergibt (einschließlich der trivialen Fälle \( j=k \)) insgesamt 40 Möglichkeiten \( u_{ijk} = u_{ikj} \), die ich in folgender Tabelle aufliste, als Puzzle-Baukasten sozusagen.




























































\( u_{111}=u_{111} \) \( u_\color{orange}{112}=u_\color{orange}{121} \) \( u_\color{orange}{113}=u_\color{orange}{131} \) \( u_\color{orange}{114}=u_\color{orange}{141} \) \( u_{122}=u_{122} \)
\( u_{211}=u_{211} \) \( u_\color{green}{212}=u_\color{green}{221} \) \( u_\color{green}{213}=u_\color{green}{231} \) \( u_\color{green}{214}=u_\color{green}{241} \) \( u_{222}=u_{222} \)
\( u_{311}=u_{311} \) \( u_\color{blue}{312}=u_\color{blue}{321} \) \( u_\color{blue}{313}=u_\color{blue}{331} \) \( u_\color{blue}{314}=u_\color{blue}{341} \) \( u_{322}=u_{322} \)
\( u_{411}=u_{411} \) \( u_\color{brown}{412}=u_\color{brown}{421} \) \( u_\color{brown}{413}=u_\color{brown}{431} \) \( u_\color{brown}{414}=u_\color{brown}{441} \) \( u_{422}=u_{422} \)
\( u_\color{orange}{123}=u_\color{orange}{132} \) \( u_\color{orange}{124}=u_\color{orange}{142} \) \( u_{133}=u_{133} \) \( u_\color{orange}{134}=u_\color{orange}{143} \) \( u_\color{orange}{144}=u_\color{orange}{144} \)
\( u_\color{green}{223}=u_\color{green}{232} \) \( u_\color{green}{224}=u_\color{green}{242} \) \( u_{233}=u_{233} \) \( u_\color{green}{234}=u_\color{green}{243} \) \( u_\color{green}{244}=u_\color{green}{244} \)
\( u_\color{blue}{323}=u_\color{blue}{332} \) \( u_\color{blue}{324}=u_\color{blue}{342} \) \( u_{333}=u_{333} \) \( u_\color{blue}{334}=u_\color{blue}{343} \) \( u_\color{blue}{344}=u_\color{blue}{344} \)
\( u_\color{brown}{423}=u_\color{brown}{432} \) \( u_\color{brown}{424}=u_\color{brown}{442} \) \( u_{433}=u_{433} \) \( u_\color{brown}{434}=u_\color{brown}{443} \) \( u_\color{brown}{444}=u_\color{brown}{444} \)




Nun setze ich diese Gleichungen zu größeren Gleichungen zusammen. Die verschiedenfarbigen Indizes sollen die ursprünglichen Gleichungen besser kenntlich machen.







\( u_\color{green}{212} - u_{122} - u_{133} + u_\color{blue}{313} = - u_\color{orange}{144} - u_\color{brown}{414}
- u_{111} - u_{122} - u_{133} + u_\color{orange}{144} + u_{111} + u_\color{green}{221} + u_\color{blue}{331} + u_\color{brown}{441} \)


\( u_\color{blue}{323} - u_{233} - u_{211} + u_\color{orange}{121} = - u_\color{green}{244} - u_\color{brown}{424}
- u_{211} - u_{222} - u_{233} + u_\color{green}{244} + u_\color{orange}{112} + u_{222} + u_\color{blue}{332} + u_\color{brown}{442} \)


\( u_\color{orange}{131} - u_{311} - u_{322} + u_\color{green}{232} = - u_\color{blue}{344} - u_\color{brown}{434}
- u_{311} - u_{322} - u_{333} + u_\color{blue}{344} + u_\color{orange}{113} + u_\color{green}{223} + u_{333} + u_\color{brown}{443} \)

\( - u_\color{brown}{432} - u_\color{blue}{342} + u_\color{brown}{423} + u_\color{green}{243} = u_\color{green}{234} - u_\color{blue}{324} \)

\( - u_\color{brown}{413} - u_\color{orange}{143} + u_\color{brown}{431} + u_\color{blue}{341} = u_\color{blue}{314} - u_\color{orange}{134} \)

\( - u_\color{brown}{421} - u_\color{green}{241} + u_\color{brown}{412} + u_\color{orange}{142} = u_\color{orange}{124} - u_\color{green}{214} \)


\( - u_{411} - u_\color{orange}{141} - u_{422} - u_\color{green}{242} - u_{433} - u_\color{blue}{343}
= - u_{411} - u_{422} - u_{433} + u_\color{brown}{444} - u_\color{orange}{114} - u_\color{green}{224} - u_\color{blue}{334} - u_\color{brown}{444} \)

\( u_\color{blue}{321} - u_\color{green}{231} + u_\color{orange}{132} - u_\color{blue}{312} + u_\color{green}{213} - u_\color{orange}{123} = 0 \)







Zurück nochmal, vor dem Zusammensetzen multipliziere ich einige der Ausgangsgleichungen mit Faktoren \( \varepsilon \) oder \( \frac{1}{ \mu } \).









\( \tfrac{1}{\mu} \left( u_\color{green}{212} - u_{122} - u_{133} + u_\color{blue}{313} \right)
= \varepsilon \left( - u_\color{orange}{144} - u_\color{brown}{414} \right)
+ \frac{1}{\mu} \left( - u_{111} - u_{122} - u_{133} + \varepsilon \mu u_\color{orange}{144} \right)
+ \frac{1}{\mu} \left( u_{111} + u_\color{green}{221} + u_\color{blue}{331} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{441} \right) \)


\( \frac{1}{\mu} \left( u_\color{blue}{323} - u_{233} - u_{211} + u_\color{orange}{121} \right)
= \varepsilon \left( - u_\color{green}{244} - u_\color{brown}{424} \right)
+ \frac{1}{\mu} \left( - u_{211} - u_{222} - u_{233} + \varepsilon \mu u_\color{green}{244} \right)
+ \frac{1}{\mu} \left( u_\color{orange}{112} + u_{222} + u_\color{blue}{332} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{442} \right) \)


\( \frac{1}{\mu} \left( u_\color{orange}{131} - u_{311} - u_{322} + u_\color{green}{232} \right)
= \varepsilon \left( - u_\color{blue}{344} - u_\color{brown}{434} \right)
+ \frac{1}{\mu} \left( - u_{311} - u_{322} - u_{333} + \varepsilon \mu u_\color{blue}{344} \right)
+ \frac{1}{\mu} \left( u_\color{orange}{113} + u_\color{green}{223} + u_{333} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{443} \right) \)

\( - u_\color{brown}{432} - u_\color{blue}{342} + u_\color{brown}{423} + u_\color{green}{243} = u_\color{green}{234} - u_\color{blue}{324} \)

\( - u_\color{brown}{413} - u_\color{orange}{143} + u_\color{brown}{431} + u_\color{blue}{341} = u_\color{blue}{314} - u_\color{orange}{134} \)

\( - u_\color{brown}{421} - u_\color{green}{241} + u_\color{brown}{412} + u_\color{orange}{142} = u_\color{orange}{124} - u_\color{green}{214} \)


\( \varepsilon \left( - u_{411} - u_\color{orange}{141} - u_{422} - u_\color{green}{242} - u_{433} - u_\color{blue}{343} \right)
= \varepsilon \left( - u_{411} - u_{422} - u_{433} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{444} \right)
- \varepsilon \left( u_\color{orange}{114} + u_\color{green}{224} + u_\color{blue}{334} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{444} \right)
\)

\( u_\color{blue}{321} - u_\color{green}{231} + u_\color{orange}{132} - u_\color{blue}{312} + u_\color{green}{213} - u_\color{orange}{123} = 0 \)








Mit den Symbolen \( \vec \nabla \) für den Nabla-Operator im dreidimensionalen Raum, \( \Delta \) für den Laplace-Operator in drei Dimensionen und für Anwendung auf Vektorfelder sowie neu definierten Bezeichnungen



\( t=x_4 \) , \( \vec A = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ \end{pmatrix}\) , \( \phi = u_4 \) , \( \vec E = - \vec \nabla \phi - \dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial t} \) , \( \vec D = \varepsilon \vec E \) , \( \vec B = \vec \nabla \times \vec A \) , \( \vec H = \dfrac{1}{\mu} \vec B , \)


\( c^2 = \dfrac{1}{ \varepsilon \mu } \) , \( \rho = \varepsilon \left( - \Delta \phi + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial^2 {\phi}}{{\partial t}^2} \right) \) , \( \vec j = \dfrac{1}{\mu} \left( - \Delta \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial^2 {\vec {A}}}{{\partial t}^2} \right) \)





schreibe ich das als



\( \vec \nabla \times \vec H = \dfrac {\partial {\vec {D}}}{\partial t} + \vec j + \dfrac{1}{\mu} \vec \nabla \left( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} \right) \),


\( \vec \nabla \times \vec E = - \dfrac {\partial {\vec {B}}}{\partial t} \),


\( \vec \nabla \cdot \vec D = \rho - \varepsilon \dfrac{\partial}{\partial t} \left( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} \right) \),


\( \vec \nabla \cdot \vec B = 0 \).



Diese Gleichungen gelten für beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktionen \( u_1, u_2 , u_3 , u_4 \). Nach Lorenz-Eichung (beide Klammern 0) bleiben die Maxwell-Gleichungen aus Wikipedia Maxwell-Gleichungen#Zusammenfassung übrig.





Mir gefällt diese Herleitung deshalb so sehr, weil von den Ausgangsgleichungen jede genau einmal verwendet wird, wie bei einem richtigen Puzzle (Bild hier) :)





Das Ergebnis interpretiere ich so: Jede Lösung der Lorenz-Eichung ist eine Lösung der Maxwell-Gleichungen und der beschriebene Rechenweg ist eine Rechenprobe auf diese gefundene Lösung. Wenn man die Lorenz-Eichung als physikalische Annahme nicht kennt und erst noch finden muss, ja dann...





Am Ende des Artikels folgen noch drei konkrete Zitate zu den eingangs angesprochenen "verschiedenen Stellen". Den Rechenweg dort verstehe ich nur bruchstückhaft, doch das Prinzip sollte erkennbar sein, dass man sich Gedanken darüber macht, was gegeben sein muss und was geschlussfolgert werden kann, und das habe ich mit dieser Herleitung auch mal selber versucht.






Viele Grüße,

   Stefan







"Anzumerken ist, dass das Gesetz von Gauß rein aus der Geometrie des Problems folgt, also letztlich keine physikalische Bedeutung hat: Der einzige physikalische Input ist die Existenz elektrischer Ladungen bzw. die Kontinuitätsgleichung, welche im Maxwell-Ampère-Gesetz mündet. Die inhomogenen Gleichungen sind also Folge der Ladungserhaltung."






"Wieder geht lediglich ein Postulat ein, das Induktionsgesetz; die Quellfreiheit ist dann eine rein mathematische Konsequenz."







"Punkt 1 & 2" (Gleichungen für \( \vec \nabla \cdot \vec B \) und \( \vec \nabla \times \vec E \)) "sind experimenteller Fakt und als physikalisches Axiom hinzunehmen, 3 & 4 sind rein mathematischer Natur."



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