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Denkste. Trugschlüsse aus der Welt der Zahlen und des Zufalls

Krämer, Walter

Buchcover
Verlagstext: Mit Zahlen umzugehen fällt vielen nicht leicht.Viele Phänomene, die mit Statistik und Wahrscheinlichkeit zu tun haben, widersprechen unserer Intuition. Dieses Buch führt Beispiele in Text und Bild vor: eine ideale Bettlektüre für Zahlenfreunde.





Leseprobe:


Frauen haben es an Universitäten schwerer



Beim jährlichen Vereinsfest gibt es eine Lotterie. Adrian und Beate, der Schatzmeister und seine Vertreterin, verkaufen Lose, und zwar aus zwei schwarzen und zwei weißen Hüten; jeder hat einen schwarzen und einen weißen Hut, und die Käufer ziehen die Lose zufällig daraus hervor, so wie man das vom Jahrmarkt kennt.
Um den Vereinsfrieden nicht zu gefährden, kaufe ich sowohl bei Beate wie bei Adrian ein Los. Allerdings habe ich den beiden bei der Verteilung der Nieten und Gewinne auf die vier Hüte zugesehen und weiß, wie sich die Nieten und Gewinne auf die vier Hüte verteilen. "Hier hast Du ein Euro", sage ich deshalb zu meiner Tochter, "geh und kaufe zwei Lose, von jedem Verkäufer eins, aber ziehe das Los bitte immer aus dem weißen Hut."
Denn ich habe gesehen, dass sowohl Adrian wie Beate relativ mehr Gewinne im weißen Hut haben als im schwarzen.
"Geht nicht, Papa"; sagt die Tochter. "Die beiden haben die Lose zusammengeschüttet, die beiden weißen Hüte zusammen und die beiden schwarzen Hüte zusammen."
"Auch gut", sage ich. "Kauf trotzdem zwei Lose, aber diesmal bitte beide aus dem schwarzen Hut."
Und meine Tochter sieht mich an und denk: "Der Alte spinnt."
Aber der Alte spinnt überhaupt nicht. Auch wenn beide Losverkäufer im weißen Hut einen höheren Anteil an Gewinnen haben als im schwarzen - das muss für die beiden weißen Hüte zusammen überhaupt nicht gelten.


Angenommen etwa, Adrian hat in seinem weißen Hut nur ein einziges Los, und zwar einen Gewinn, und im schwarzen Hut drei Lose, eine Niete und zwei Gewinne. Dann ziehe ich mein Los natürlich aus dem weißen Hut, denn dann Gewinne ich mit Sicherheit. Beim schwarzen Hut dagegen gewinne ich nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3.
Dito Beate. Sie hat in ihrem weißen Hut zehn Lose, davon vier Gewinne, und in ihrem schwarzen Hut drei Lose, davon ein Gewinn. Damit lohnt es sich auch bei Beate, in den weißen Hut zu greifen, denn auch bei ihr ist der Anteil der Gewinne im weißen Hut größer als im schwarzen.
Jetzt schütten die beiden den Inhalt der schwarzen und der weißen Hüte jeweils zusammen. Das ergibt 5 Gewinne und sechs Nieten für den weißen Haufen und drei Gewinne und drei Nieten für den schwarzen Haufen - es lohnt sich damit klar, von Weiß auf Schwarz zu wechseln. Denn beim weißen Haufen gewinne ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/11, und beim schwarzen Haufen gewinne ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/2. So paradox das auf den ersten Blick auch scheint - es lohnt, die ursprünglichen Präferenzen umzukehren.



Dieses Phänomen, dass das Zusammenlegen von Teilmengen die Präferenzen umkehren kann, wurde erstmals von dem englischen Statistiker E. H. Simpson gründlich untersucht; es heißt deshalb auch Simpsons Paradox. Es tritt in fast allen Bereichen unseres Lebens auf: Zwei Fußballer diskutieren, wer einen Elfmeter schießen soll; der eine hat sowohl auswärts wie zuhause eine höhere Trefferquote als der andere. Aber trotzdem schießt der andere insgesamt gesehen besser. Oder ein neues Medikament wirkt sowohl bei Männern wie bei Frauen besser als ein altes; aber insgesamt gesehen wirkt es schlechter. Oder eine Zeitschrift kann sowohl in Städten wie in ländlichen Gebieten ihre Abonnentenquote steigern; aber trotzdem wird die Abonnentenquote insgesamt gesehen kleiner. Oder die Steuersätze sinken quer durch alle Steuerklassen; aber der Anteil des Gesamteinkommens aller Steuerzahler, der dem Fiskus zufließt, geht trotzdem in die Höhe. Oder eine Firma bevorzugt für alle Stellen Frauen gegenüber Männern; aber trotzdem ist die Frauenquote insgesamt gesehen kleiner.


Vor allem in der letzteren Verkleidung hat das Simpson-Paradox auch schon mehrfach die Justiz beschäftigt, besonders in den USA, wo die Menschen erstens gerne klagen und zweitens sehr auf Minderheitenschutz und "equal opportunity" bestehen. Die Universität Berkeley in Kalifornien hatte sich z.B. gegen den Vorwurf der Frauendiskriminierung zu wehren, weil sie in einem bestimmten Semester nur 35% aller weiblichen, aber 44% aller männlichen Bewerber zugelassen hatte - eine glatte Diskriminierung, zumindest auf den ersten Blick.
Auf den zweiten Blick entpuppt sich diese Diskriminierung aber als ein Simpson-Paradox. Denn die Universität hatte in dem fraglichen Semester eher mehr Frauen als Männer zugelassen: In allen Studiengängen separat betrachtet war der Anteil der zugelassenen Frauen nicht niedriger als bei Männern, sondern höher. Wenn also überhaupt eine Diskriminierung stattfand, dann der Männer ! Sie hatten in fast allen Fächern de schlechteren Karten, wurden öfter abgelehnt und seltener zum Studium zugelassen als die Frauen. Dass trotzdem insgesamt gesehen der Anteil der erfolgreichen Bewerber bei den Frauen kleiner war, lag allein daran, dass Frauen bevorzugt in Fächer mit einer hohen Ablehnungsquote drängten, und vor allem deshalb, und nicht weil Berkeley frauenfeindlich war, blieben so viele in den Maschen des Auswahlverfahrens hängen.


Um bei diesen Maschen zu bleiben: In gewisser Weise entsprechen die hoffnungsvollen Studienplatzbewerber durchaus einem Schwarm gleich großer (alias gleich intelligenter) Fische, die einem Netz entgegenschwimmen. Das Netz hat zwei Arten von Maschen, enge und weite, und alle Weibchen wollen durch de engen Maschen. Wenn dann auf der anderen Seite des Netzes nur noch Männchen übrig bleiben, ist das Netz dann frauenfeindlich?


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Hinzugefügt am: 2002-11-29
Kritiker: matroid
Bewertung Keine Wertung

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Weitere Kommentare:
Denkste. Trugschlüsse aus der Welt der Zahlen und des Zufalls
Bewertung von huepfer am 24.09.2004

huepfer schreibt:

Meiner Ansicht nach erklärt das Buch einige Beispiele der Wahrscheinlichkeitsrechnung des täglichen Lebens sehr gut. Manches ist durchaus überaschend, vieles für den interessierten und auch eingearbeiteten Leser durchaus bekannt. Doch auch das bekannte bringt Krämer sehr gut rüber, auch wenn mir persönlich manchmal die gebotene mathematische Genauigkeit gefehlt hat.
Nur der Abschluss ist denke ich nicht besonders gut gelungen, was am Schluss vielleicht einen bitteren Beigeschmack auslöst, aber nicht über das gelungene Gesamtwerk hinweg täuschen sollte.


(Dieser Kommentar wurde zu dieser Besprechung geschrieben)

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Denkste. Trugschlüsse aus der Welt der Zahlen und des Zufalls


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