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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Integral über Nullmenge
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Universität/Hochschule Integral über Nullmenge
UniversityOfKanto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-16

\(\begingroup\)
Hallo liebe Matheplanetarier,

folgendes Problem bereitet mir Kopfzerbrechen.

Gegeben sei eine Funktion \( \gamma \) mit
\(


\begin{equation*}
\text{für alle}\quad t \geq 0: \quad \int_0^t |\gamma(s)|ds < \infty .
\end{equation*}

\)
und \(T\in\mathbb{R}.\)
Warum gilt für jede Lebesgue-Nullmenge \(A \subset [0,T] \)
\(



\begin{equation*}
\int_A \gamma(s) ds = 0 \quad \text{?}
\end{equation*}



\)
\(\endgroup\)


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euler90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\)
Hallo,

Also ich würde so versuchen zu beginnen:

\( 0 \leq | \int_A \gamma(s) ds | \leq \int_A |\gamma(s)| ds
= \int _{0}^T \chi_A | \gamma(s)| ds \)

Auf welcher Menge ist nun \( \chi_A | \gamma(s)|  \) ungleich 0?

Wobei \( \chi_A\) die charakteristische Funktion ist.
\(\endgroup\)


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UniversityOfKanto
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\)
Vielen Dank euler90,

also \(\chi_A(|\gamma(s)|)\) ist ungleich 0 genau dann, wenn \(|\gamma(s)|\in A\) ist.

Aber warum ist \(\{s\in[0,T]| |\gamma(s)|\in A\}\) eine Nullmenge?

Wir wissen - aus einer anderen Voraussetzung, die ich nicht angegeben habe blöderweise - , dass \(\gamma\) messbar ist. Aber Stetigkeit wird nicht vorausgesetzt.
\(\endgroup\)


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euler90
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\)
Nein es ist nicht die Verkettung, es ist die Multiplikation

also \( \int_{0}^T \chi_A \cdot |\gamma(s)| ds \).
\(\endgroup\)


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UniversityOfKanto
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-16

\(\begingroup\)
Oh mann, das war ein dummer Fehler von mir.

Klar. Dann gilt also:

\(
\chi_A(s) |\gamma(s)| \neq 0 \Leftrightarrow  s\in A \text{ und } \gamma(s)\neq 0    ,
\)

d.h. der Integrand ist nur auf einer Teilmenge von \(A\) ungleich 0 und damit wäre man fertig. Meintest Du das so?

Allerdings habe ich noch eine Frage zur obigen Äquivalenz. Es kann ja auch sein, dass \(\gamma\) unendlich wird. In diesem Falle würde die Äquivalenz nur für die \(s\in[0,T]\) gelten, auf denen \(\gamma\) nicht unendlich ist.

Stimmt es nun, dass diese Punkte aber nicht mehr betrachtet werden müssen, weil sie wegen der Voraussetzung an \(\gamma\) auch eine Nullmenge sein müssen?
\(\endgroup\)


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