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Zahlentheorie » Teilbarkeit » 7 Teiler von 99^Googol+27 (vollständige Induktion)?
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Universität/Hochschule 7 Teiler von 99^Googol+27 (vollständige Induktion)?
Kirill1991s
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-18


hey leue hab hier sone  frage zu der aufgabe hier ist es besser per induktion zu zeigen das es ein teiler ist oder gibts ein schnelleren weg bzw anderen ?




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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
Mal ne ganz dumme Frage: Kannst du mit der Beziehung

$99\equiv 1 \mod 7$

etwas anfangen oder sagt dir das nichts? Ist durchaus ernst gemeint.  wink
\(\endgroup\)


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matroid
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Aus: Solingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-18


Hi Kirill,

deine Frage ist sehr schlecht formuliert, quasi eine Zumutung für den Leser. Versuch es mal besser zu machen.

Gruß
Matroid

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Kirill1991s
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-18


klar  Modulo 7 :D:D:D sorry denke manchmal zu umständlich
thx das geht definitiv einfacher :)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
2018-01-18 22:56 - weird in Beitrag No. 1 schreibt:
... mit der Beziehung
$99\equiv 1 \mod 7$
Hi weird & Kirill1991s,
man soll den Gesamtausdruck modulo 7 betrachten, aber es ist, so glaube ich, ein Irrtum, wenn man denkt, im Exponenten müsste man auch nur modulo 7 rechnen. Derselbe Irrtum ist auch Bekell in diesem Thema unterlaufen, indem er meinte, die vorletzte Ziffer von 17n müßte die Periode 172 haben, was nicht stimmt.
Für die Berechnung im hier vorliegenden Thema müsste man eher modulo 6 im Exponenten rechnen, denn die Eulersche φ-Funktion von 7 ergibt 6.

Gruß Buri
\(\endgroup\)


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ochen
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Mitteilungen: 1757
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-18


Hallo,

es wurde auch die Basis der Potenz modulo 7 betrachtet und das funktioniert hier sogar unabhängig vom Exponenten.




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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-18


2018-01-18 23:46 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
es wurde auch die Basis der Potenz modulo 7 betrachtet und das funktioniert hier sogar unabhängig vom Exponenten.

In der Tat, und zwar habe ich nicht "auch", sondern "nur" die Basis mod 7 betrachtet.  wink



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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-19


2018-01-18 22:52 - Kirill1991s im Themenstart schreibt:
... gibts ein schnelleren weg bzw anderen ?


Natürlich gibt es mehrere Wege wie z.B. den PowPowMod-Algorithmus
wie unter Wissenschaftlicher Online Rechner
{suche nach PowPowMod }

Wie man im Bild sieht, ist ggT(x,h) wichtig: ergibt 1
also CarmichaelLambda(h) anwenden
{EulerPhi(7) auch 6, da 7 Primzahl -> darf man beide Funktionen nutzen}

(99^(10^100))mod 7
= 1 weil
CarmichaelLambda(7)=6 und (10^100)mod 6=4 und
(99^4)mod 7 =1

Offset von n in (99^4+n)mod 7 ergibt periodische Folge:
n=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...,26,27.. verschiebt sich Ergebnis
  1,2,3,4,5,6,0,1,2,3..., 6,0...


periodisch -> man könnte genau statt +27 auch -1 sagen

Endergebnis ist also 1 kleiner als 1 also 0
und wenn x mod Irgendwas =0 ergibt, ist Irgendwas auch ein restloser Teiler von x.

P.S.
Von Lehrern oder von weird wirst Du dafür keine Punkte bekommen,
weil die Kongruenz Schreibweise
nicht verwendet wurde.





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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-19

\(\begingroup\)
@hyperG

Du meinst also, statt zu sagen

$99^{Googol}\equiv 1^{Googol}=1 \mod 7$

sollte man lieber den Exponenten Googol, also dann $10^{100}$ mod 6 berechnen, was zugegebenermaßen keine allzugroßen Probleme macht und hier 4 ergibt, um dann erst die Rechnung

$99^{Googol}\equiv 99^4 \equiv 1 \mod 7$

mit dem gleichen Resultat wie oben durchzuführen. Interessanter Standpunkt, dem sich allerdings, so fürchte ich, hier nur wenige anschließen werden!  biggrin
\(\endgroup\)


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hyperG
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-20


3 Striche hinzumalen und das Endergebnis rechts daneben zu schreiben
ist für mich kein Rechenweg.

Das mag hier zwar beim Spezialfall "im Kopf" funktionieren,
aber es gibt unendlich viele andere Zahlenkombinationen
dieser 4 Ausgangszahlen, wo es richtig kompliziert wird.
Deshalb bin ich für universelle Algorithmen (die man auch mit Computerprogrammen umsetzen kann).



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qwertzusername
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-01-20


@hyperG:

 Striche hinzumalen und das Endergebnis rechts daneben zu schreiben
ist für mich kein Rechenweg.
Dann befasse dich doch bitte mit der (elementaren) Theorie.
Das ist ein Rechenweg, und der ist deutlich mehr als "Striche" hinmalen.

Dein Weg ist von hinten  drch die Brust, einmal um die Sonne, ins Auge.


aber es gibt unendlich viele andere Zahlenkombinationen
dieser 4 Ausgangszahlen, wo es richtig kompliziert wird.
Um die geht es hier aber nicht.


Deshalb bin ich für universelle Algorithmen (die man auch mit Computerprogrammen umsetzen kann).
Und der liegt hier allerdings vor. Modulorechnung ist ein sehr schöner sehr universeller Algorithmus.






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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
2018-01-20 13:26 - hyperG in Beitrag No. 9 schreibt:
3 Striche hinzumalen und das Endergebnis rechts daneben zu schreiben
ist für mich kein Rechenweg.

Du meinst ich hätte vorher noch die dabei verwendeten Rechenregeln für das Rechnen mit Kongruenzen, insbesondere

$a\equiv b \land c\equiv d \Rightarrow ac\equiv bd \mod m$

für beliebige ganze Zahlen $a,b,c,d \in \mathbb Z$ und $m\in \mathbb N$ anführen sollen? Sorry, aber ich habe echt nicht geahnt, dass da diesbezüglich bei dir eine Notwendigkeit besteht.  eek


Das mag hier zwar beim Spezialfall "im Kopf" funktionieren,
aber es gibt unendlich viele andere Zahlenkombinationen
dieser 4 Ausgangszahlen, wo es richtig kompliziert wird.
Deshalb bin ich für universelle Algorithmen (die man auch mit Computerprogrammen umsetzen kann).

Das ist alles richtig, aber es geht halt mal hier um diesen "Spezialfall", man könnte auch von einer "Trickaufgabe" sprechen, wo es allein darum geht besagten "Trick" herauszufinden. Und warum soll man sich das Leben schwerer machen, als es ohnehin schon ist?  biggrin

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)


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