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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzenquotientungl. ohne Mittelwertsatz
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Universität/Hochschule Differenzenquotientungl. ohne Mittelwertsatz
Vacant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-19


Hallo,

bin gerade über folgendes gestoßen:

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Beweisidee:
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Bin mir jedoch irgendwie nicht sicher, ob es das ist^^.



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Hi und herzlich willkommen,

zunächst musst du die zu beweisende Aussage präzise formulieren. So, wie es dasteht, heißt es

"Für alle $x,y\in\mathbb{R}$ und $M>0$ gilt $\left|e^x-e^y\right|\leq M\cdot|x-y|$."

Aber das ist wohl nicht gemeint.
\(\endgroup\)


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Vacant
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19


Ok, also zu beweisen ist, dass
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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Hey Vacant,
das ist offensichtlich falsch. Denn das würde heißen exp ist lipschitz-stetig, doch exp ist nicht mal gleichmäßigstetig.
Als Gegenbeispiel setze \(x=y+1\) und lasse \(y\) beliebig groß werden.

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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Die Aussage von Beitrag No.2 ist offensichtlich wahr mit $$M:=\begin{cases}\frac{\left|e^x-e^y\right|}{|x-y|}&\text{ falls }x\neq y\\1&\text{ sonst}.\end{cases}$$
\(\endgroup\)


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Nach Beitrag 2 muss \(M\) fix sein, wenn man die Reihenfolge der Quantoren beachtet.

Edit: Nach Beitrag 2 muss \(M\) doch nicht fix sein. Aber ich glaube die Quantoren sollten schon andersherum stehen ^^ Oder es wird wirklich diese Reihenfolge gemeint.
\(\endgroup\)


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Vacant
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19

\(\begingroup\)
Danke für eure Hilfe !

An meinen Formulierungen hakt es wohl noch des öfteren :)

2018-03-19 22:11 - Red_ in Beitrag No. 3 schreibt:
Als Gegenbeispiel setze \(x=y+1\) und lasse \(y\) beliebig groß werden.

Wenn ich \(x,y < a \in \IR \) beschränke, dann kann ich dies doch verhindern, oder ?

Wobei ich nach
2018-03-19 22:25 - darkhelmet in Beitrag No. 4 schreibt:
Die Aussage von Beitrag No.2 ist offensichtlich wahr mit $$M:=\begin{cases}\frac{\left|e^x-e^y\right|}{|x-y|}&\text{ falls }x\neq y\\1&\text{ sonst}.\end{cases}$$

diese Schranke \(a\) ja gar nicht brauche?!
Ich denke hier kommt Red_s Einwand bzgl. M fix und meine Quantoren ins Spiel^^.
Also auf "deutsch" suche ich ein M, sodass für x,y gilt...
Ich habe diese Quantorenreihenfolge (erst Für alle x,y, dann ex. M) gewählt, da ich erst x,y habe und dann für diese bel.,aber festen x,y ein M finden möchte.
Klärt mich auf, falls meine Formulierungen sich dort widersprechen.
\(\endgroup\)


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-19


2018-03-19 23:14 - Vacant in Beitrag No. 6 schreibt:
Also auf "deutsch" suche ich ein M, sodass für x,y gilt...
Ich habe diese Quantorenreihenfolge (erst Für alle x,y, dann ex. M) gewählt, da ich erst x,y habe und dann für diese bel.,aber festen x,y ein M finden möchte.
Klärt mich auf, falls meine Formulierungen sich dort widersprechen.
Also im ersten Satz ist als erstes der Existenzquantor, dann folgt der Allquantor. Im darauffolgenden Satz ist es umgekehrt.
Im ersten Satz existiert solch ein M nicht, wie du meinem Beitrag Nr. 3 entnehmen kannst. Aber mit einer Schranke wäre es möglich.
Im zweiten Satz existiert so ein M, wie du Beitrag Nr. 4 entnehmen kannst.

Du müsstest also genau sagen, was du haben möchtest, damit wir dir weiter helfen können   biggrin



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Vacant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-19


Jetzt verstehe ichs^^.

Ich möchte die "Version" mit Schrake :D

Also
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So, hoffe, jetzt passts



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Ja, das müsste passen :D Ich schreibe es mal etwas genauer auf:
\(\forall a\in \mathbb{R}: \exists M>0: \forall x,y\leq a : |e^x - e^y| \leq M\cdot |x-y|\).
Form mal äquivalent um zu (oBdA \(x\neq y\)):
\(|\frac{e^x -e^y}{x-y}| \leq M\). Was sagt die linke Seite geometrisch aus? Wie sieht ihr Maximum wahrscheinlich aus?

Edit: @Darkhelmet: wurde korrigiert :)
\(\endgroup\)


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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
2018-03-20 00:04 - Red_ in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich schreibe es mal etwas genauer auf:
\(\forall a\in \mathbb{R}: \exists M>0: \forall x,y\leq a \Rightarrow |e^x - e^y| \leq M\cdot |x-y|\).

Dann musst du aber $\Rightarrow$ durch : ersetzen.

@Vacant: Schön, dass du das selbst hingekriegt hast!
\(\endgroup\)


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Vacant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
\(|\frac{e^x-e^y}{x-y}|\) ist die Veränderung zwischen e^x und e^y im Mittel. Da e^x linksgekrümmt ist, gilt

\(|\frac{e^x-e^y}{x-y}| <= \lim\limits_{h \to 0}\frac{e^{y+h} - e^{y}}{h} = (e^y)' = e^y\) als Maximum


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Also ich wollte auf die Sekantensteigung hinaus ^^ Diese ist offensichtlich monoton steigend in beiden Variablen, so wie du es ungefähr genannt hast. Nun kannst du dein \(e^y\) weiter ''maximieren''. Und schließlich dein M wählen.
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Vacant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20


Super !
"Monoton steigend in beiden Variablen", (klar, die Steigung wächst, darauf kommt's an :D) damit sind x,y gemeint oder zaehler und nenner von
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Nur zur Sicherheit^^ naja x und y sind ja hier die Variablen. Da e^x-e^y staerker wächst als x-y und x,y monoton wachsend sind, folgt dann der Rest. ?



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Red_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Hey Vacant,
also die Monotonie in beiden Variablen musst du erstmal formal zeigen ^^
Ich mache den Anfang:
Wir haben \(h(x,y)=|\dfrac{e^x -e^y}{x-y}|\) gegeben. Wir wollen zeigen, dass \(h\) in beiden Variablen monoton steigend ist. Dazu fixieren wir eine Variablen und zeigen, dass die Funktion in der anderen Variable monoton steigend ist. Wegen Symmetriegründen reicht es, wenn wir nur \(y\) fix lassen und \(x\) variieren lassen (der umgekehrte Fall folgt also aus diesem Fall). Erstmal sei oBdA \(x> y\). Wir wollen zeigen, dass \(f(x)=\dfrac{e^x -e^y}{x-y}\) monoton steigend ist in \(x\). Sei also erstmal \(x_1 > x_2 > y \) gegeben. Zu zeigen ist \(f(x_1) \geq f(x_2)\). Hier können wir die Monotonie und die Konvexität von \(exp\) ausnutzen.
Hier die genaue Definition von Konvexität bei \(exp\):
Für alle \(a,b\in \mathbb{R}\) und alle \(\lambda \in [ 0,1]\) gilt:
\(exp(\lambda \cdot a + (1-\lambda )\cdot b) \leq \lambda \cdot exp(a) + (1-\lambda)\cdot exp(b)   \).
Ich habe hier bewusst die Variablen \(a\) und \(b\) gewählt, damit dich das nicht verwirrt.
Kannst du jetzt irgendwie ein \(a\), ein \(b\) und ein \(\lambda\) finden, sodass wir unsere gesuchte Ungleichung erhalten?


\(\endgroup\)


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Vacant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21


Hi Red_,

vielleicht liegt es auch an der Uhrzeit aber mir will irgendwie nicht so recht etwas dazu einfallen.

Dazu noch 2 logische Fragen:
1) Das mit der Symmetrie funktioniert aber nur,da wir mit dem Betrag arbeiten und wenn y groß wird, verhält sich die Funktion so wie wenn x groß wird.

2) Verstehe nicht, warum aus der Monotonie in jeweils beiden Variablen (1 Variable frei, eine fix) folgt, dass diese auch für x frei und y frei gilt ? mhh

LG



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Red_
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
2018-03-21 03:55 - Vacant in Beitrag No. 15 schreibt:
1) Das mit der Symmetrie funktioniert aber nur,da wir mit dem Betrag arbeiten und wenn y groß wird, verhält sich die Funktion so wie wenn x groß wird.
Genau, die Symmetrie gilt wegen des Betragszeichens. Aber nicht dass du es falsch verstehst: Wenn du y umd 1 erhöhst, muss nicht das gleiche rauskommen, als wenn du x um 1 erhöhst. Es geht bloß darum, dass der Wert von \(\dfrac{e^x -e^y}{x-y}\) positiv ist, wenn \(x>y\) und wenn \(x<y\) hast du nur die Rolle von x und y vertauscht.



2) Verstehe nicht, warum aus der Monotonie in jeweils beiden Variablen (1 Variable frei, eine fix) folgt, dass diese auch für x frei und y frei gilt ? mhh
Was heißt denn x frei und y frei? Wenn du x erhöhst, lässt du ja an sich y erstmal fix. Andersherum auch. Und wenn du beide gleichzeitig erhöhst, kannst du ja erstmal die eine Variable erhöhen, dann die andere. In allen Fällen lässt du also erstmal eine fix und erhöhst die andere. Diese Methode ist auch sehr gängig, falls man das Maximum einer Funktion in zwei Variablen x und y bestimmen möchte: Man lässt y fix und schaut was x annehmen muss, damit die Funktion maximal wird. Dann hat man diesen Wert für x (in Abhängigkeit von y meistens) und setzt es in die Funktion ein. Dann macht man das gleiche Spiel mit der Funktion, wo nur noch y als Variable vorhanden ist.

Edit: Bei der Symmetrie ist noch wichtig, dass exp monoton steigend ist.
\(\endgroup\)


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