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Logik, Mengen & Beweistechnik » Induktion » Vollständige Induktion
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Universität/Hochschule Vollständige Induktion
HolladieWaldfee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-20


Hallo zusammen,

da ich nicht mehr weiter weiß mit dieser Aufgabe, möchte ich diese gerne zusammen mit euch lösen und meinen Fehler finden.

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Wo kommt dieses n^2 jetzt plötzlich her? Und wie bekomm ich dieses weg? Ich bin mmt meinem Latein am Ende.  confused  biggrin

Liebe Grüße und danke im Voraus! smile



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Hey HolladieWaldfee und willkommen!

Bis zum viertletzten Gleichheitszeichen ist noch alles richtig, soweit ich das sehe, aber dann hast du zwei Fehler gemacht:
1. Beim drittletzten Gleichheitszeichen fehlt die Klammer um das \(2n +4\) im Nenner (ab da wird die Rechnung dann eh anders)
2. Hast du beim letzten Gleichheitszeichen falsch gekürzt. Du kannst nicht einfach durch die Terme mit \(n\) und die Absolutterme einzeln kürzen!

PS: ich würde gar nicht anfangen, den Nenner auszumultiplizieren. Faktorisiere lieber den Zähler und kürze geschickt
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HolladieWaldfee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20

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2018-03-20 21:04 - Kampfpudel in Beitrag No. 1 schreibt:
Hey HolladieWaldfee und willkommen!

Bis zum viertletzten Gleichheitszeichen ist noch alles richtig, soweit ich das sehe, aber dann hast du zwei Fehler gemacht:
1. Beim drittletzten Gleichheitszeichen fehlt die Klammer um das \(2n +4\) im Nenner (ab da wird die Rechnung dann eh anders)
2. Hast du beim letzten Gleichheitszeichen falsch gekürzt. Du kannst nicht einfach durch die Terme mit \(n\) und die Absolutterme einzeln kürzen!

PS: ich würde gar nicht anfangen, den Nenner auszumultiplizieren. Faktorisiere lieber den Zähler und kürze geschickt

Hallo Kampfpudel, vielen Dank für deine Willkommensheißung sowie deine Antwort!

Beim kürzen war ich einen Moment unkonzentriert, das habe ich hier auch so nicht stehen! biggrin

Ich führe mal die Aufgabe ab dem besagten Punkt nochmal neu auf:

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Dementsprechend komme ich noch immer nicht auf q.e.d. frown

PS. Ich fühle mich bei der Induktion noch nicht so weit. Ich multipliziere lieber alles aus und hab vor allem diese Aufgabe hier richtig. Bevor ich mir "Erweiterungen" aneigne.  biggrin  biggrin
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Ich sehe nicht genau was du eigentlich wie gekürzt hast.
Du machst aber einen Fehler.

Zu erst einmal gilt: $n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$.

Nun kannst du (n+2) kürzen und erhältst:

$\frac{n+1}{2(n+3)}$ bemerke, dass im Nenner der Faktor (2n+4)=2(n+2) gilt. Dies wird gekürzt. So erhalten wir dieses Ergebnis.

Und 2(n+3)=2n+6, oder auch 2(n+1)+4, womit wir

$\frac{n+1}{2(n+1)+4}$ haben, was den Induktionsschritt abschließt.
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HolladieWaldfee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
2018-03-20 21:54 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich sehe nicht genau was du eigentlich wie gekürzt hast.
Du machst aber einen Fehler.

Zu erst einmal gilt: $n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$.

Nun kannst du (n+2) kürzen und erhältst:

$\frac{n+1}{2(n+3)}$ bemerke, dass im Nenner der Faktor (2n+4)=2(n+2) gilt. Dies wird gekürzt. So erhalten wir dieses Ergebnis.

Und 2(n+3)=2n+6, oder auch 2(n+1)+4, womit wir

$\frac{n+1}{2(n+1)+1}$ haben, was den Induktionsschritt abschließt.

Habs wohl ein wenig zu grob aufgeschrieben.

fed-Code einblenden

Hoffe es ist so verständlicher.
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Ich weiß immer noch nicht, was du eigentlich machen möchtest.
So wie du deine Rechnung beschreibst klingt es für mich wie "kürzen aus einer Summe" und so sieht es auch aus.

Wenn ich versuche deine Rechnung zu rekonstruieren, dann sieht es für mich so aus als hättest du folgendes gemacht, was hoffentlich nicht stimmt:

$\frac{n^2+3n+2}{2n^2+10n+2}\stackrel{?}{=}\frac{n+3n+2}{2n+10n+12}\stackrel{?}{=}\frac{4n+2}{12n+12}$

Aber wie Kampfpudel schon gesagt hat, solltest du im Nenner am besten gar nicht ausmuliplizieren.
Ausmultiplizieren ist meistens keine gute Idee, denn es macht aus einem handlichen Produkt eine unhandliche Summe.
Mit Produkten, vor allem im Zusammenhang mit Brüchen, lässt sich viel besser arbeiten. Das merkt man vor allem dann, wenn man etwas kürzen möchtest.
Das geht nämlich in der Regel nur gut, wenn du auch ausklammern kannst, und dazu muss sowieso dann ein Produkt vorliegen.
\(\endgroup\)


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HolladieWaldfee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
2018-03-20 22:10 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich weiß immer noch nicht, was du eigentlich machen möchtest.
So wie du deine Rechnung beschreibst klingt es für mich wie "kürzen aus einer Summe" und so sieht es auch aus.

Wenn ich versuche deine Rechnung zu rekonstruieren, dann sieht es für mich so aus als hättest du folgendes gemacht, was hoffentlich nicht stimmt:

$\frac{n^2+3n+2}{2n^2+10n+2}\stackrel{?}{=}\frac{n+3n+2}{2n+10n+12}\stackrel{?}{=}\frac{4n+2}{12n+12}$

Aber wie Kampfpudel schon gesagt hat, solltest du im Nenner am besten gar nicht ausmuliplizieren.
Ausmultiplizieren ist meistens keine gute Idee, denn es macht aus einem handlichen Produkt eine unhandliche Summe.
Mit Produkten, vor allem im Zusammenhang mit Brüchen, lässt sich viel besser arbeiten. Das merkt man vor allem dann, wenn man etwas kürzen möchtest.
Das geht nämlich in der Regel nur gut, wenn du auch ausklammern kannst, und dazu muss sowieso dann ein Produkt vorliegen.

Ich muss ja bei einer Induktion schauen, dass ich die Werte links und rechts vom Gleichheitszeichen auf dasselbe Ergebnis bringe.

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Sogesehen wäre das also meine "Seite rechts vom Gleichheitszeichen".

Jetzt muss ich schauen, dass ich meine Rechnung, welche ich hier aufgeführt habe, noch in diesen "Zustand" bringe.

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PS. Achja, ich Schussel. Am Ende kürze ich noch mit 2, die 2 auf 1 runter, sowie die 12 auf 6.
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Wie gesagt darfst du so nicht kürzen. Du kürzt aus einer Summe.
Ich habe dir eine korrekte Rechnung oben aufgeschrieben.
Kannst du diese nachvollziehen?

Zum kürzen aus einer Summe:

Nimm zum Beispiel folgendes:

$\frac{2+3}{4+6}\stackrel{?}{=}\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{2+3}\stackrel{?}{=}\frac{1}{1+3}=\frac14$

So in etwas hast du oben gekürzt. Also die 2 im Zähler mit der 4 im Nenner jeweils mit 2 gekürzst und die 3 im Zähler mit der 6 im Nenner jeweils mit 3 gekürzt usw.

Das Ergebnis ist aber eigentlich 1/5.
Mach dir bitte klar, warum dies so nicht funktioniert und weshalb es notwendig ist Faktoren, die man kürzen möchte, vorher entsprechend auszuklammern bzw. konsequent in jedem Summandem zu kürzen.

\(\endgroup\)


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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Wenn du übrigens in \(\frac{n^2+3n+2}{2n^2+10n+12}\) mit n "kürzen" möchtest, dann wäre dein Ergebnis:
\(\frac{n+3+\frac{2}{n}}{2n+10+\frac{12}{n}}\)

Wenn dann muss man sowohl im Zähler als auch im Nenner jeden Summanden durch n teilen.

Darf man fragen, wo man "so" das Kürzen lernt?
\(\endgroup\)


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HolladieWaldfee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21

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2018-03-20 23:06 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 7 schreibt:
Wie gesagt darfst du so nicht kürzen. Du kürzt aus einer Summe.
Ich habe dir eine korrekte Rechnung oben aufgeschrieben.
Kannst du diese nachvollziehen?

Zum kürzen aus einer Summe:

Nimm zum Beispiel folgendes:

$\frac{2+3}{4+6}\stackrel{?}{=}\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{2+3}\stackrel{?}{=}\frac{1}{1+3}=\frac14$

So in etwas hast du oben gekürzt. Also die 2 im Zähler mit der 4 im Nenner jeweils mit 2 gekürzst und die 3 im Zähler mit der 6 im Nenner jeweils mit 3 gekürzt usw.

Das Ergebnis ist aber eigentlich 1/5.
Mach dir bitte klar, warum dies so nicht funktioniert und weshalb es notwendig ist Faktoren, die man kürzen möchte, vorher entsprechend auszuklammern bzw. konsequent in jedem Summandem zu kürzen.



Sorry, wenn ich mich jetzt erst melde. Hatte gestern nach knapp 10 Stunden Mathe-Lernen keinen Kopf mehr dazu.  biggrin

Ich werde gleich die Aufgabe mit deinen Tipps sowie Lösungen nochmal neu starten. Vielen Dank an dieser Stelle nochmal! smile

2018-03-21 09:17 - MartinN in Beitrag No. 8 schreibt:
Wenn du übrigens in \(\frac{n^2+3n+2}{2n^2+10n+12}\) mit n "kürzen" möchtest, dann wäre dein Ergebnis:
\(\frac{n+3+\frac{2}{n}}{2n+10+\frac{12}{n}}\)

Wenn dann muss man sowohl im Zähler als auch im Nenner jeden Summanden durch n teilen.

Darf man fragen, wo man "so" das Kürzen lernt?

Ich hab da wohl nen Fehler gemacht. Deswegen bin ich wohl hier. Muss man deswegen so rumtrollen? Leute wie Sie sind der Grund, warum viele Leute keine Lust haben in Foren Aktivität zu zeigen.

Schönen Tag noch!
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HolladieWaldfee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21

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2018-03-20 23:06 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 7 schreibt:
Wie gesagt darfst du so nicht kürzen. Du kürzt aus einer Summe.
Ich habe dir eine korrekte Rechnung oben aufgeschrieben.
Kannst du diese nachvollziehen?

Zum kürzen aus einer Summe:

Nimm zum Beispiel folgendes:

$\frac{2+3}{4+6}\stackrel{?}{=}\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{2+3}\stackrel{?}{=}\frac{1}{1+3}=\frac14$

So in etwas hast du oben gekürzt. Also die 2 im Zähler mit der 4 im Nenner jeweils mit 2 gekürzst und die 3 im Zähler mit der 6 im Nenner jeweils mit 3 gekürzt usw.

Das Ergebnis ist aber eigentlich 1/5.
Mach dir bitte klar, warum dies so nicht funktioniert und weshalb es notwendig ist Faktoren, die man kürzen möchte, vorher entsprechend auszuklammern bzw. konsequent in jedem Summandem zu kürzen.



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Ich denke ich habe jetzt verstanden, wie ich solche Aufgaben angehen muss und was ich zu beachten habe! Vielen Dank! :-)
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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Ja, das sieht gut aus. Auch wenn ich den Sinn der ersten Zeile nach "Induktionsschluss" nicht verstehe, aber das spielt keine Rolle.

Ist dir klar wie man auf

$n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$ kommt, oder allgemein eine solche Darstellung in Linearfaktoren angeben kann?
Für andere Induktionsaufgaben kann das nämlich nützlich sein.
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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Wegen $0 \in \mathbb{N}$ kann/sollte der Induktionsanfang mit $n=0$ beginnen. Beachte hierzu, dass eine Summe "ohne Indizes" $\sum_{k=1}^{0} [...]$ per Def. $0$ ist.

Möchtest du evtl. noch wissen, wie man die Summe hier ausrechnen kann, ohne das Ergebnis bereits zu kennen? Insbesondere ist keine Induktion notwendig.
\(\endgroup\)


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HolladieWaldfee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
2018-03-21 15:48 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 11 schreibt:
Ja, das sieht gut aus. Auch wenn ich den Sinn der ersten Zeile nach "Induktionsschluss" nicht verstehe, aber das spielt keine Rolle.

Ist dir klar wie man auf

$n^2+3n+2=(n+1)(n+2)$ kommt, oder allgemein eine solche Darstellung in Linearfaktoren angeben kann?
Für andere Induktionsaufgaben kann das nämlich nützlich sein.

Die erste Zeile haben wir im Tutorium so besprochen. Bei einer Induktion muss bei q.e.d die rechte Seite ja gleichwertig mit der linken Seite vom Gleichheitszeichen sein.

Ja genau. Wie ich darauf komme, ist mir während ich die Aufgabe gemacht habe bewusst geworden! :-)

2018-03-21 15:50 - Triceratops in Beitrag No. 12 schreibt:
Wegen $0 \in \mathbb{N}$ kann/sollte der Induktionsanfang mit $n=0$ beginnen. Beachte hierzu, dass eine Summe "ohne Indizes" $\sum_{k=1}^{0} [...]$ per Def. $0$ ist.

Möchtest du evtl. noch wissen, wie man die Summe hier ausrechnen kann, ohne das Ergebnis bereits zu kennen? Insbesondere ist keine Induktion notwendig.

Hallo Triceratops,

Die Aufgabe habe ich aus einer alten Klausur. Ich denke der Dozent möchte schon, dass die vollständige Induktion hier auch so durchgeführt wird. :D

Unser Dozent meinte, dass es unterschiedlich sein kann, wie man beginnt. Kommt halt auch auf den Dozenten an. Er würde es gerne mit 1 sehen. :-D

Aber klar, immer her damit. Kann ja nicht schaden, sowas zu wissen. :-)
\(\endgroup\)


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lula
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2018-03-21


Hallo zu deinem Beweis ein paar Korrekturen:
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bis dann, lula

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]


-----------------
Mein Leben ist zwar recht teuer,  aber dafür bekomm ich jedes Jahr umsonst eine Reise einmal um die Sonne



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Das Produkt 1/((k+2)(k+1)) kannst du als Differenz zweier Brüche schreiben... Die Umformung findest du sicherlich auch ;)
\(\frac{1}{(k+2)(k+1)} = a(k)-b(k) \)

Und das dann in die Summe einsetzen und du hast eine schöne Teleskopsumme. Da am besten die ersten paar Summanden aufschreiben um zu sehen was sich immer wegkürzt. So klappt das auch ohne Induktion.


Und mich hatte wirklich interessiert, wo man diese Art zu kürzen eventuell aufgeschnappt hat... Iwo falsch gelesen oder gesehen, oder mal was falsch verstanden. Naja.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]
\(\endgroup\)


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HolladieWaldfee
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
2018-03-21 16:33 - MartinN in Beitrag No. 15 schreibt:
Das Produkt 1/((k+2)(k+1)) kannst du als Differenz zweier Brüche schreiben... Die Umformung findest du sicherlich auch ;)
\(\frac{1}{(k+2)(k+1)} = a(k)-b(k) \)

Und das dann in die Summe einsetzen und du hast eine schöne Teleskopsumme. Da am besten die ersten paar Summanden aufschreiben um zu sehen was sich immer wegkürzt. So klappt das auch ohne Induktion.


Und mich hatte wirklich interessiert, wo man diese Art zu kürzen eventuell aufgeschnappt hat... Iwo falsch gelesen oder gesehen, oder mal was falsch verstanden. Naja.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.13 begonnen.]

Okay, dann entschuldige ich mich und nehme das zurück. Kam halt sehr blöd rüber beim lesen.

Ich weiß nicht wo ich das her habe. Mein Abi ist schon ne Weile her. Dementsprechend hab ich wohl auch viel vergessen, was die Rechenregeln im Allgemeinen betrifft. So fängt man halt teilweise wieder bei 0 an. Leider. :-D

Liebe Grüße
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2018-03-22

\(\begingroup\)
2018-03-21 15:50 - Triceratops in Beitrag No. 12 schreibt:
Wegen $0 \in \mathbb{N}$ [...]

Bei dem Thema scheiden sich die Geister. Meiner Erfahrung nach ist für Algebraiker in der Tat \(0 \in \mathbb{N}\), für Analytiker nicht. Aus gutem Grund, sonst würden Ausdrücke wie z.B.: "Betrachte \(a_n=\frac{1}{n}\) für \(n \in \mathbb{N}\)" keinen Sinn machen, man müsste ständig \([...] n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\) schreiben.
Genauso werden sicher die Algebraiker gute Gründe haben, warum für sie \(0 \in \mathbb{N}\) ist.
\(\endgroup\)


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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.18, eingetragen 2018-03-22

\(\begingroup\)
2018-03-22 11:03 - Kampfpudel in Beitrag No. 17 schreibt:
Meiner Erfahrung nach ist für Algebraiker in der Tat \(0 \in \mathbb{N}\), für Analytiker nicht.

Meiner Erfahrung nach ist für 90% der Mathematiker $0 \in \mathbb{N}$; sie müssen keine Algebraiker sein, um dieser DIN-Konvention zu folgen. Kürzer als $\mathbb{N} \setminus \{0\}$ ist $ \mathbb{N}_+$. Aber es ist nicht nötig, hier darüber zu diskutieren, weil dies bereits 10 mal auf dem Matheplaneten geschehen ist und zahlreiche Argumente für $0 \in \mathbb{N}$ ausgetauscht worden sind. Dein Argument hingegen ...

sonst würden Ausdrücke wie z.B.: "Betrachte \(a_n=\frac{1}{n}\) für \(n \in \mathbb{N}\)" keinen Sinn machen, man müsste ständig \([...] n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\) schreiben.
 
Für mich ist $i \notin \mathbb{C}$, weil sonst würden Ausdrücke wie "Betrachte $f(z) = \frac{1}{z-i}$ für $z \in \mathbb{C}$" keinen Sinn machen, man müsste ständig $z \in \mathbb{C} \setminus \{i\}$ schreiben.
\(\endgroup\)


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.19, eingetragen 2018-03-22

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\)
2018-03-22 11:03 - Kampfpudel in Beitrag No. 17 schreibt:
Bei dem Thema scheiden sich die Geister. Meiner Erfahrung nach ist für Algebraiker in der Tat \(0 \in \mathbb{N}\), für Analytiker nicht. Aus gutem Grund, sonst würden Ausdrücke wie z.B.: "Betrachte \(a_n=\frac{1}{n}\) für \(n \in \mathbb{N}\)" keinen Sinn machen, man müsste ständig \([...] n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\) schreiben.
2018-03-22 19:00 - Triceratops in Beitrag No. 18 schreibt:
Kürzer als $\mathbb{N} \setminus \{0\}$ ist $ \mathbb{N}_+$.
Es gibt natürlich auch andere Möglichkeiten, wenn's nur um Kürze geht: "Betrachte \(a_n=\frac{1}{n+1}\) für \(n \in \mathbb{N}\)".
Ansonsten: siehe auch die Folie mit der "historical note" in Induction on Equality  razz
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.20, eingetragen 2018-03-22


2018-03-22 19:29 - tactac in Beitrag No. 19 schreibt:
Ansonsten: siehe auch die Folie mit der "historical note" in Induction on Equality  razz

Danke für diesen wundervollen Link! So gesehen ist es also nicht ganz zutreffend, von "Ewiggestrigen" bei Leuten zu sprechen, für welche die natürlichen Zahlen erst mit 1 beginnen, denn sie gehen eigentlich nur nicht weit genug in die Vergangenheit zurück.  biggrin



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MartinN
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.21, eingetragen 2018-03-22

\(\begingroup\)
Geht die Diskussion nicht etwas am Thema vorbei?

Back to the sum...

\(\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+2)\cdot(k+1)}\\
= \sum_{k=1}^n \frac{(k+2)-(k+1)}{(k+2)\cdot(k+1)}\\
= \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right)\\
= \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} = \frac{(n+2)-(2)}{2\cdot(n+2)} = \frac{n}{2n+4}\)
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.22, eingetragen 2018-03-23

\(\begingroup\)
Ich wollte nur darauf hinweisen, dass dein Hinweis, man könne bzw. solle mit \(n=0\) beginnen, offenbar nicht zutreffend ist, da für viele Mathematiker, insbesondere für die meisten Analytiker (offenbar auch für den Aufgabensteller), die natürlichen Zahlen aus guten Gründen bei 1 und nicht bei 0 beginnen.

2018-03-22 19:00 - Triceratops in Beitrag No. 18 schreibt:


Meiner Erfahrung nach ist für 90% der Mathematiker $0 \in \mathbb{N}$

Offenbar kennst du andere Mathematiker als ich, ist ja nicht schlimm.

2018-03-22 19:00 - Triceratops in Beitrag No. 18 schreibt:

Für mich ist $i \notin \mathbb{C}$, weil sonst würden Ausdrücke wie "Betrachte $f(z) = \frac{1}{z-i}$ für $z \in \mathbb{C}$" keinen Sinn machen, man müsste ständig $z \in \mathbb{C} \setminus \{i\}$ schreiben.

Anscheinend hast du das Argument nicht verstanden, oder aber ziehst es (warum auch immer) absichtlich ins lächerliche

Da es in diesem Thread aber ursprünglich gar nicht darum ging und diese Diskussion sicher nicht im Interesse des Themenstellers ist, ist dies mein letzter Beitrag zu diesem Thema
\(\endgroup\)


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