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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-04-23

\(\begingroup\)
Moin zusammen,

ich habe eine Frage zu einem Beweis und hoffe ihr könnt mir da etwas weiterhelfen:

Folgendes haben wir in der VL definiert:

Sei $F(G,\mathbb{C})=\lbrace f: G\rightarrow \mathbb{C}\rbrace$ der Vektorraum über $\mathbb{C}$ aller Funktionen vom Grad n. WIr definieren $E_k$ für $1\leq k\leq n$ durch

$\begin{equation}
   E_k(g) =
   \begin{cases}
     1 & \text{für } g=g_k\\
     0 & \text{sonst}  
   \end{cases}
\end{equation}$

und nennen $B:=\lbrace E_1,...,E_k\rbrace$ die "Standardbasus" von $F(G,\mathbb{C})$. Wir defineiren auf $F(G,\mathbb{C})$ durch
$\langle f,h\rangle=\frac{1}{\vert G\vert}\sum_{g\in G}f(g)\overline{h(g)}$ für alle $f,h\in F(G,\mathbb{C})$ ein inneres Produkt.

dann zum eigendlichen Satz mit Beweis:

$\textbf{Satz:}$ Es ist dim$F(G,\mathbb{C})$=n und $f=\sum_{k=1}^nf(g_k)E_k.$
mit dem inneren Produkt $\langle .,.\rangle$ ist $F(G,\mathbb{C})$ ein unitärer Vektorraum

$\textit{Beweis:}$ Man sieht unmittelbar, dass $f\tilde{f}=\sum_{k=1}^n c_k E_k$ dann $\overline{f(g_k)}=c_k$ gilt.

Damit ist klar, dass die obige Form die einizige darstellung von f als Linearkombination der $E_k$ ist. ALso ist B eine Basis und dim$F(G,\mathbb{C})$=n

Mir ist nicht klar, warum ich aus $f\tilde{f}=\sum_{k=1}^n c_k E_k$ schon
$\overline{f(g_k)}=c_k$ folgern kann.

Wie komme ich auf  $f\tilde{f}=\sum_{k=1}^n c_k E_k$?

Wenn ich nun die allgemeine Form betrachte

$\langle f,h\rangle=\frac{1}{\vert G\vert}\sum_{g\in G}f(g)\overline{h(g)}$, dann erhalten wir doch etwas anderes, oder?
\(\endgroup\)


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ligning
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-04-24

\(\begingroup\)
Hallo,

es sind einige Angaben unklar.

Was ist $G$? Ich nehme an, eine endliche Menge $G=\{g_1,\ldots,g_n\}$.

Was ist der Grad einer Funktion? Sind das in $F(G,\IC)$ nicht einfach alle Funktionen $G\to\IC$?

Weiter ist vermutlich $B=\{E_1,\ldots,E_n\}$.

Was bedeutet $\tilde{f}$?

Dass die $E_i$ eine Basis bilden lässt sich dann -- falls meine Vermutungen richtig sind -- ganz elementar zeigen (lineare Unabhängigkeit der $E_i$ und die Möglichkeit, jedes $f\in F(G,\IC)$ als $f = \sum_{i=1}^n f(g_i) E_i$ darzustellen). Das ist auch unabhängig vom Körper, ganz sicher braucht man keine Konjugation dazu.


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