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Analysis » Funktionen » Aus Ellipsenumfang und Halbachsenverhältnis die Länge der Halbachsen berechnen
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Schule Aus Ellipsenumfang und Halbachsenverhältnis die Länge der Halbachsen berechnen
geraldinio
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2014-07-10


Hallo Zusammen,

ich stehe vor folgendem Problem:

Ich habe den Umfang einer Ellipse und ein fixes Seitenverhältnis der Halbachsen.
Damit möchte ich eine Gleichung aufstellen, mit der ich die länge der beiden Halbachsen berechnen kann. Leider habe ich es nicht hinbekommen.

Meine Ideen:
Ich habe es mit dieser Gleichung versucht:

<math>u=(a+b)*\pi *(1+\frac{3\lambda²}{10+\sqrt{4-3\lambda²} } )</math>

Allerdings bin ich beim Umstellen nach a und b gescheitert.
Ich möchte zu diesem Zeitpunkt b noch nicht durch x*a ersetzen um die Gleichung allgemein zu halten.

Über jede Idee bin ich dankbar. Achja der Einsatzzweck ist für die algorithmische Generierung von Geometrie in Rhino.

Vielen Dank schon im Voraus,

geraldinio



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2014-07-10


2014-07-10 10:28 - geraldinio im Themenstart schreibt:
Ich habe es mit dieser Gleichung versucht ...
Hi geraldinio,
willkommen im Forum!
Das ist keine Gleichung, sondern eine Näherungsformel.

Die Auflösung dieser Formel nach a ist indessen viel einfacher, als ich zunächst dachte.
Denn man bekommt sie sofort, wenn man b = x * a einsetzt und den nach Voraussetzung gegebenen Wert von x benutzt.

Im Beitrag #3 wurde dies durchgeführt.
Gruß Buri



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geraldinio
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-10


Entschuldigung, ich habe fälschlicherweise aus dem <math>\approx </math> ein = gemacht.
Eine Näherung ist für meinen Einsatzzweck genau das richtige.

Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe auch versucht diese Näherungen umzustellen:
<math>u_{Ellipse} \approx \pi \left(\frac32 (a+b)-\sqrt{a b}\right)</math>

<math>u_{Ellipse} \approx \frac{\pi}2 \left(a+b+\sqrt{2(a^2+ b^2)}\right)</math>


ich scheitere allerdings kläglich!

Verstehe ich das richtig, dass ich nach a und b umstellen muss und dann z.B. b durch x*a ersetze?



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geraldinio
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2014-07-10


Habe nun eine Lösung mit viel Unterstützung erarbeitet, die für mich funktioniert.



<math>u_{Ellipse} \approx \frac{\pi}2 \left(a+b+\sqrt{2(a^2+ b^2)}\right)</math>

für  <math>b = k*a </math>

<math>u_{Ellipse} \approx \frac{\pi}2 \left(a+k*a+\sqrt{2(a^2+ k*a^2)}\right)</math>

<math>\frac{2*u}{\pi } \approx a+k*a+\sqrt{2+(a^2+(k*a)^2)} </math>

<math>\frac{2*u}{\pi } \approx a+k*a+\sqrt{2a^2+2k^2*a^2} </math>

<math>\frac{2*u}{\pi } \approx a+k*a+a*\sqrt{2+2k^2} </math>

<math>\frac{2*u}{\pi } \approx a(1+k+\sqrt{2+2k^2}) </math>

<math>\frac{2*u}{\pi*(1+k+\sqrt{2+2k^2})} \approx a </math>


Ich möchte mich trotzdem für deine Mühen bei dir bedanken Buri.



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2014-07-10


2014-07-10 16:14 - geraldinio in Beitrag No. 3 schreibt:
Habe nun eine Lösung mit viel Unterstützung erarbeitet, die für mich funktioniert.
Hi geraldinio,
dieselbe Vorgehensweise ist für alle Näherungsformeln für den Ellipsenumfang anwendbar.

Die Grundidee besteht darin, dass man für ein gegebenes Halbachsenverhältnis k = b / a nichts weiter tun muss, als den Umfang U einer Ellipse mit den Halbachsen 1 und k zu berechnen.
Die Ellipse mit den gesuchten Halbachsen a und b = k * a hat natürlich dann den Umfang a * U, weil die beiden Ellipsen ähnlich sind mit dem Ähnlichkeitsfaktor a.

Dieser Umfang a * U ist gegeben, und U kann genähert berechnet werden (mit mehreren verschiedenen Formeln), und schließlich bekommt man a durch eine einfache Division heraus.

Ich habe hier eine umfangreiche Sammlung verschiedener Näherungsformeln gefunden, natürlich ist die Formel, die du verwendest, auch dabei.

Ein Hinweis noch zu der Formel aus dem Startbeitrag, die 1914 von Srinivasa Ramanujan (1887-1920) angegeben wurde:
Wenn x (oder k, wie du es jetzt genannt hast) gegeben ist,
fed-Code einblenden
und nach Einsetzen von b = x * a kann man a ausklammern und wiederum a durch eine einfache Division berechnen.
Gruß Buri



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