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Mathematik » Topologie » "Dualisieren" einer Gamma-Wirkung auf einer abelschen C*-Algebra
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Universität/Hochschule "Dualisieren" einer Gamma-Wirkung auf einer abelschen C*-Algebra
maddio14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-11


Hallo,

ich habe eine Frage in Bezug auf den Beweis von Proposition 3.4 in Barlaks und Lis "Cartan subalgebras and the UCT problem" hier.

Es beginnt mit der Wirkung <math>\Gamma\curvearrowright B</math> einer abzählbaren Gruppe <math>\Gamma</math> auf eine abelschen C*-Algebra <math>B</math>. (Tatsächlich erfordert die Proposition mehr Voraussetzungen, aber ich glaube für meine Frage ist das alles, was benötigt wird.) Li und Barlak sagen dann, dass man - dualisiert man - eine <math>\Gamma</math>-Wirkung <math>\Gamma\curvearrowright X</math>, die wir mit <math>\Gamma \times X \rightarrow X</math>, <math>(\gamma, x)\rightarrow \gamma.x</math> bezeichnen, erhält, sodass <math>(\gamma.b)(x)=b(\gamma^{-1}.x)</math> für alle <math>\gamma \in \Gamma</math>, <math>b\in B</math>, <math>x\in X</math>, wobei <math>X:=\mathrm{Spec}(B)</math> das Spektrum von <math>B</math> ist (also <math>B\cong C_0(X)</math>).

Ich bin nicht sicher, was mit "Dualisieren" der Wirkung in diesem Kontext gemeint ist. Kann mir da jemand weiterhelfen?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-11


Hier der korrekte Link.

Im Prinzip definieren die Autoren die Wirkung, und das Wort "Dualisieren" kommt einfach daher, dass hier die Gelfand-Dualität benutzt wird. Das beantwortet eigentlich schon die Frage. Allerdings möchte ich ausführen, wie man diese Wirkung konzeptionell erhält. Die hier gemachten Beobachtungen kann man zudem auch in anderen Kontexten anwenden.
 
Erste Beobachtung: Sei <math>F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> ein Funktor. Sei <math>\Gamma</math> eine Gruppe. Sei <math>X \in \mathcal{C}</math> ein Objekt. Dann induziert jede Linkswirkung <math>\Gamma \curvearrowright X</math> eine Linkswirkung <math>\Gamma \curvearrowright F(X)</math>. Denn die gegebene Linnkswirkung ist ein Homomorphismus <math>\Gamma \to \mathrm{Aut}(X)</math>, und der Funktor liefert einen Homomorphismus <math>\mathrm{Aut}(X) \to \mathrm{Aut}(F(X))</math>. Wir müssen diese beiden Homomorphismen also nur miteinander verketten.
 
Zweite Beobachtung: Sei <math>X \in \mathcal{C}</math> ein Objekt. Eine Linkswirkung <math>\Gamma \curvearrowright X</math> kann zu einer Rechtswirkung <math>X \curvearrowleft \Gamma</math> gemacht werden. Hierbei definiert man nämlich <math>x  \cdot \gamma := \gamma^{-1} \cdot x</math>.

Dritte Beobachtung: Sei <math>X \in \mathcal{C}</math> ein Objekt. Eine Linkswirkung <math>\Gamma \curvearrowright X</math> in der dualen Kategorie <math>\mathcal{C}^{\mathrm{op}}</math>, also ein Homomorphismus <math>\Gamma \to \mathrm{Aut}_{\mathrm{C}^{\mathrm{op}}}(X)</math>, ist dasselbe wie eine Rechtswirkung <math>X \curvearrowleft \Gamma</math> in der Kategorie <math>\mathcal{C}</math>, denn es gilt <math>\mathrm{Aut}_{\mathrm{C}^{\mathrm{op}}}(X) = \mathrm{Aut}_{\mathrm{C}}(X)^{\mathrm{op}}</math>.
 
Nun wendet man diese Beobachtungen auf den Funktor <math>\mathrm{Spec} : C^*\mathrm{Alg}_{\mathrm{comm}} \to \mathrm{LComp}^{\mathrm{op}}</math> an, der einer kommutativen <math>C^*</math>-Algebra ihr Spektrum zuordnet. (Als Morphismen wählt man die nicht-entarteten <math>C^*</math>-Homomorphismen bzw. die eigentlichen stetigen Abbildungen.) Dieser Funktor ist tatsächlich eine Äquivalenz von Kategorien, der inverse Funktor ist <math>C_0</math>.

Die erste Beobachtung sagt uns, dass eine Linkswirkung <math>\Gamma \curvearrowright B</math> für eine kommutative <math>C^*</math>-Algebra eine Linkswirkung <math>\Gamma \curvearrowright \mathrm{Spec}(B)</math> in der dualen Kategorie <math>\mathrm{LComp}^{\mathrm{op}}</math> induziert. Die dritte Beobachtung sagt uns, dass dies eine Rechtswirkung in der Kategorie <math>\mathrm{LComp}</math> ist. Schließlich können wir diese mit der zweiten Beobachtung zu einer Linkswirkung <math>\Gamma \curvearrowright \mathrm{Spec}(B)</math> umwandeln. Wenn man diese Konstruktion durchgeht, bekommt man gerade die Formel für die Wirkung.



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maddio14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-11


Hallo Triceratops, danke für die Antwort! Du sagst, dass durch <math>\text{Spec}\text{: }C^{*}\text{Alg}_{\text{komm}}\rightarrow\text{LComp}^{\text{op}}</math> ein Funktor gegeben ist. Mir ist nicht ganz klar, was dieser Funktor mit den Morphismen macht. Kannst du mir da weiterhelfen?

Der Rest leuchtet mir auf dem ersten Blick ein.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-12


<math>\mathrm{Spec}(A)</math> ist der Raum der Charaketere auf <math>A</math>, also der Teilraum von <math>\prod_{a \in A} \mathds{C}</math>, der aus den nichttrivialen <math>C^*</math>-Homomorphismen <math>A \to \mathds{C}</math> besteht.
 
Ist <math>f : A \to B</math> ein <math>C^*</math>-Homomorphismus, so induziert dieser eine stetige Abbildung <math>f^* : \prod_{b \in B} \mathds{C} \to \prod_{a \in A} \mathds{C}</math>, <math>\chi \mapsto \chi \circ f</math>. Wenn <math>\chi : B \to \mathds{C}</math> ein <math>C^*</math>-Homomorphismus ist, dann ist es auch <math>\chi \circ f : A \to \mathds{C}</math>. Wenn obendrein <math>f</math> nicht-entartet ist, also <math>\overline{f(A)B}=B</math> gilt, so ist <math>\chi \neq 0 \implies f \circ \chi \neq 0</math>. Also induziert <math>f^*</math> eine stetige Abbildung <math>f^* : \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)</math>. Man kann zeigen, dass sie eigentlich ist.
 
Für deine Frage sind allerdings nur Isomorphismen relevant. Wenn <math>f : A \to B</math> ein <math>C^*</math>-Isomorphismus ist, dann ist es auch <math>f^* : \mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)</math>.



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maddio14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-12


Noch eine grundsätzliche Frage, bei der ich vielleicht einfach auf dem Schlauch stehe: Ich weiß, dass eine Gruppenwirkung <math>\Gamma\curvearrowright X</math> einen Homomorphismus <math>\Gamma\rightarrow\text{Aut}C_{0}\left(X\right)</math> induziert. Ich weiß, dass C*-dynamische Systeme eine Verallgemeinerung dieses Beispiels sind, indem man die kommutative C*-Algebra <math>C_0(X)</math> durch eine beliebige C*-Algebra ersetzt.

Wie wird nun aber aus der Linkswirkung <math>\Gamma\curvearrowright B</math> des Beweises ein Homomorphismus <math>\Gamma\rightarrow\text{Aut}\left(B\right)</math>? Nach Obigem müsste man doch einen Homomorphismus <math>\Gamma\rightarrow\text{Aut}\left(C_{0}\left(B\right)\right)</math> erhalten (, was wegen der möglicherweise fehlenden Lokalkompaktheit von <math>B</math> aber nicht unbedingt sinnvoll ist).



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-12


Eine Linkswirkung <math>\Gamma \curvearrowright B</math> ist dasselbe wie ein Homomorphismus <math>\Gamma \to \mathrm{Aut}(B)</math>.
 
Wenn du eine Linkswirkung über eine Abbildung <math>\Gamma \times B \to B</math> definierst: Der Homomorphismus ist dann (es gibt nur eine Wahl dafür) <math>\gamma \mapsto (b \mapsto \gamma \cdot b)</math>.

Grundlegendes zu Gruppenwirkungen: article.php?sid=705



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maddio14
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-13


Das wäre auch meine erste Idee gewesen. Ich sehe aber nicht, warum <math>b\mapsto\gamma.b</math> ein (*-)Automorphismus ist. Die Injektivität, die Surjektivität und die Additivität sind klar. Aber warum ist die Abbildung *-erhaltend und multiplikativ? Ist das Teil der Definition von Gruppenwirkungen auf C*-Algebren (, die ich in dieser Form nirgendwo finden konnte)? Oder folgt das auf irgendeine Weise?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-09-13


2017-09-13 17:49 - maddio14 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ist das Teil der Definition von Gruppenwirkungen auf C*-Algebren

Ja. Gruppenwirkungen lassen sich in beliebigen Kategorien definieren. Wie gesagt: Das ist einfach ein Gruppenhomorphismus <math>\Gamma \to \mathrm{Aut}_{\mathcal{C}}(X)</math>. Bei konkreten Kategorien <math>U : \mathcal{C} \to \mathsf{Set}</math> bedeutet das, dass man eine Abbildung <math>\Gamma \times U(X) \to U(X)</math>, <math>(\gamma,x) \mapsto \gamma x</math> hat, sodass <math>1 x = x</math>, <math>(\alpha \beta) x = \alpha (\beta x)</math> gelten und für jedes <math>\gamma \in \Gamma</math> die Abbildung <math>x \mapsto \gamma x</math> ein Morphismus <math>X \to X</math> ist (und dann automatisch ein Automorphismus).



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maddio14
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Alles klar, danke! Ich habe jetzt alles verstanden.



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