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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Ringe » Lemma von Gauss für ganz abgeschlossene Ringe
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Universität/Hochschule J Lemma von Gauss für ganz abgeschlossene Ringe
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-19


Hallo,

sei <math>R</math> ein ganz abgeschlossener Ring und <math>K</math> der Quotientenkörper von <math>R</math>. Sei <math>f\in R[X]</math> ein normiertes Polynom (vom Grad <math>\geq 2</math>).

Ich will zeigen,
Wenn <math>f</math> in <math>K[X]</math> reduzibel ist, dann ist es schon in <math>R[X]</math> reduzibel.

Leider weiß ich sogar nicht, wie man es anfangen soll. Hätte jemand einen passenden Ansatz?

(Übliche Beweise für den Fall wenn <math>R</math> faktoriell ist bringen scheinbar nicht viel.)



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-19


Ist dir klar, wie "reduzibel" definiert ist? Führt das nicht bereits zu einem Ansatz? Zeige uns einmal, wie weit du kommst.

PS: Es sollte f als normiert vorausgesetzt werden. (Jedenfalls ist mir ansonsten unklar, ob die Aussage stimmt, und wenn ja warum. Die Annahme der Ganzabgeschlossenheit ist nur auf normierte Polynome anwendbar. Und über R lassen sich Polynome, soweit ich weiß, in keiner Weise normieren.)



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-19


Ja, aber ich dachte das wäre noch nichts:

Es existiere <math>g, h\in K[X]</math>, jeweils vom Grad <math>\geq 1</math> mit <math>f=gh</math>. Man findet ein <math>d\in R</math> so, dass <math>df=g'h'</math> mit <math>g', h'\in R[X]</math> (Kürzen der Nenner der jeweiligen Koeffizienten). - Geht der Beweis überhaupt in diese Richtung?

Ich müsste eine passende Ganzheitsgleichung betrachten.




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-20


Ok. Gehe nun zum Zerfällungskörper von f über, also von g und h. So bekommst du ganze Elemente.

Wie gesagt sollte f normiert sein. Dann sind oBdA auch g,h normiert. Überlege dir nun, dass g,h schon in R[x] liegen.



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


Vielen Dank, vermutlich habe ich eine richtige Idee nach deinen Tipps.

Beweis. Es sei zuerst angenommen, dass <math>f</math> normiert ist. Es gelte <math>f=gh</math> mit <math>g, h\in K[X]</math> normiert und jeweils vom Grad <math>\geq 1</math>.

Sei <math>K'</math> ein Zerfällungskörper von <math>f</math>. Seien <math>z_1,\ldots,z_n\in K'</math> die Nst. von <math>f</math>. Also sind die <math>z_i</math>'s ganz über <math>R</math>. Außerdem sind diese <math>z_i</math>'s auch Nst. von <math>g, h</math>, etwa <math>z_1,\ldots,z_r</math> von <math>g</math>, <math>z_{r+1},\ldots,z_n</math> von <math>h</math>.

Wir wissen, dass jeder Koeffiziente eines (nicht-konstanten) Polynoms sich als polynomiale Ausdrücke (genauer, elementar-symmetrische) in den Nst. darstellen lässt. Damit folgern wir, dass die Koeffizienten von <math>g,h</math> auch ganz über <math>R</math> sind, da die ganzen Elemente (von einem festen Oberring) einen Ring bilden (beobachte noch <math>g,h</math> sind normiert).

Andererseits liegen alle Koeffizienten von <math>g,h</math> in <math>K</math> nach Vorgabe, also schon in <math>R</math>, weil <math>R</math> ganz abgeschlossen ist. D.h. <math>g,h\in R[X]</math>.

Falls <math>f</math> nicht normiet ist, kann man die Gleichung <math>f=gh</math> durch den Leitkoeffizienten von <math>f</math> in <math>K</math> teilen.
QED.



Ich denke ein ähnliches Argument liefert

<math>\alpha</math> ganz über <math>R\Longrightarrow \text{MinPol}_K(\alpha)\in R[X]</math>.


Passt das alles?



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-09-20


Korrektur:

2017-09-20 10:40 - Saki17 in Beitrag No. 4 schreibt:
Wir wissen, dass jeder Koeffizient eines normierten Polynoms sich als polynomialer Ausdruck in den Nst. darstellen lässt. Damit folgern wir, dass die Koeffizienten von <math>g,h</math> auch ganz über <math>R</math> sind, da die ganzen Elemente (von einem festen Oberring) einen Ring bilden.



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2017-09-20


2017-09-20 10:40 - Saki17 in Beitrag No. 4 schreibt:
Falls <math>f</math> nicht normiet ist, kann man die Gleichung <math>f=gh</math> durch den Leitkoeffizienten von <math>f</math> in <math>K</math> teilen.
 
Kannst du das noch ausführen?

Sei <math>f \in R[X]</math> und <math>d</math> der Leitkoeffizient von <math>f</math>. Wir haben dann <math>f=g \cdot h</math>, also <math>f/d = g/d \cdot h</math>, und <math>f/d \in K[X]</math> ist normiert. Aber <math>f/d</math> ist doch nicht mehr in <math>R[X]</math>. Das Argument funktioniert also nicht mehr. Oder?

Edit:

Ein Gegenbeispiel steht hier, mit <math>R=\mathds{Z}[\sqrt{-5}]</math> bzw. <math>R=\mathds{Z}[\frac{1}{2} (1+\sqrt{5})]</math> (dieser Ring ist sogar euklidisch).



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


2017-09-20 12:48 - Triceratops in Beitrag No. 6 schreibt:
2017-09-20 10:40 - Saki17 in Beitrag No. 4 schreibt:
Falls <math>f</math> nicht normiet ist, kann man die Gleichung <math>f=gh</math> durch den Leitkoeffizienten von <math>f</math> in <math>K</math> teilen.
 
Kannst du das noch ausführen?
Das ist zu nicht durchgedacht, Entschuldigung!

Und die originale Aufgabe setzt tatsächlich die Normiertheit voraus.



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