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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Galoisgruppe am Tetraeder erklären
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Universität/Hochschule Galoisgruppe am Tetraeder erklären
Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-09-20


Hallo zusammen,

Ich lerne gerade für eine Prüfung und habe in einem Protokoll folgende Aufgabe gefunden:

Erkläre die Galoisgruppe am Tetraeder


Hmm ich versteh das nicht. Was haben die miteinander zu tun? Brauche ich für Galoisgruppen nicht Körpererweiterungen?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte :)




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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-09-20


Du hast vermutlich nur einen Aufgabenteil wiedergeben. Damit lässt sich leider nicht so viel anfangen.

Was ist die vollständige Aufgabenstellung? Was ist der gesamte Kontext? Welche Themen wurden behandelt?



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Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-09-20


Also die Aufgabe lautet:

"...." zeichnete vier Punkte auf ein Blatt -> Ich sollte die Galoisgruppe erjklären und zeichnen



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-09-20


2017-09-20 11:24 - Lebowski im Themenstart schreibt:
Hallo zusammen,

Erkläre die Galoisgruppe am Tetraeder
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte :)

Interessante Idee! Zeige am Tetraeder dass S3 Untergruppe aber kein Normalteiler der S4 ist...



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Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-03


Ich bin davon ausgegangen, dass die vier Punkte einen Tetraeder ergeben. Der Prüfer hatte in anderen Prüfungen auch fast immer nach einem Tetraeder gefragt...

Oder hat das irgendwas damit zu tun, dass die Symmetriegruppe des Tetraeders isomorph zur symmetrischen Gruppe S4 ist und die Galoisgruppe einer Untergruppe der S4?
 confused



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sibelius84
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-10-03


Hallo Lebowski,

eine GALOIS-Gruppe gehört immer paarweise zusammen mit einer Körpererweiterung. Wurde in der Aufgabenstellung evtl. irgendeine bestimmte Körpererweiterung angegeben, DEREN Galoisgruppe ihr am Tetraeder erklären sollt? Ein vornehmliches Beispiel wäre hier m.E. eine zweifach quadratische Körpererweiterung, wie etwa <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q}</math>.

- Kannst du da schon ausmachen, welche <math>\mathbb{Q}</math>-Automorphismen in der Galoisgruppe liegen? (Die "Schlüsselqualifikation" eines Körperautomorphismus ist seine Multiplikativität. Man könnte benutzen, dass nach dem Beweis des Gradsatzes eine <math>\mathbb{Q}</math>-Basis von <math>\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})</math> gegeben ist durch <math>\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}</math>.)

- Wie hängt dies nun mit den adjungierten Wurzeln bzw. mit den Ecken des Tetraeders zusammen?

Wenn du zwischendurch Phasen hast, wo du nicht weiterkommst und eine Pause brauchst, schau dir dieses Video an:
www.youtube.com/watch?v=F5RBYwCw7II
Ich weiß nicht, ob es hilft - aber schön und entspannend ist es allemal ;-)

Grüße
sibelius84



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Lebowski
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-10-03


Hey Sibelius


eine GALOIS-Gruppe gehört immer paarweise zusammen mit einer Körpererweiterung. Wurde in der Aufgabenstellung evtl. irgendeine bestimmte Körpererweiterung angegeben, DEREN Galoisgruppe ihr am Tetraeder erklären sollt?

Tatsächlich sieht es im Gedächtnisprotokoll des Studenten so aus, als wäre das die erste Frage gewesen..


- Wie hängt dies nun mit den adjungierten Wurzeln bzw. mit den Ecken des Tetraeders zusammen?

Also Galoisgruppen vertauschen die Nullstellen und Symmetriegruppen permutieren die Elemente der Gruppe. Also beispielsweise werden beim Tetraeder durch eine Ebenenspiegelung durch einen Eck-und den gegenünberliegenden Kantenmittelpunkt die Ecken vertauscht.

Vielleicht soll man ja auch nur das zeigen? Dass sowohl die Galoisgruppe als auch die Symmetriegruppe Elemente vertauscht ? Da das nämlich die erste Frage gewesen zu sein scheint und die in der Regel immer eher einfah sind, kann ich mir nicht vorstellen, dass man da so kompliziert denken muss...



Wenn du zwischendurch Phasen hast, wo du nicht weiterkommst und eine Pause brauchst, schau dir dieses Video an:
www.youtube.com/watch?v=F5RBYwCw7II
Ich weiß nicht, ob es hilft - aber schön und entspannend ist es allemal ;-)

Sehr entspannend :D



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sibelius84
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 79
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2017-10-03


Naja, in meinem obigen Beispiel wirst du ja zB keinen Körperautomorphismus <math>\sigma</math> finden können, der wurzel-2 auf wurzel-3 abbildet. Denn <math>(\sigma(\sqrt{2}))^2 - 2 = \sigma(\sqrt{2}^2-2) = 0</math>. Wenn ich mich nicht täusche, kommt man so darauf, dass die Galoisgruppe vier Elemente / Automorphismen enthält, nämlich
-> id,
-> <math>\sqrt{2}</math> mit <math>-\sqrt{2}</math> vertauschen und <math>\sqrt{3}</math> bleibt fest,
-> <math>\sqrt{3}</math> mit <math>-\sqrt{3}</math> vertauschen und <math>\sqrt{2}</math> bleibt fest,
-> <math>\sqrt{2}</math> mit <math>-\sqrt{2}</math> und <math>\sqrt{3}</math> mit <math>-\sqrt{3}</math> vertauschen.

(Nebenbei bemerkt: Die <math>\sqrt{6}</math> macht, was der Rest sagt, denn sie ist ja nur Produkt von <math>\sqrt{2}</math> und <math>\sqrt{3}</math> und damit ist mit obigen Angaben ihr Bild unter einem (multiplikativen) Körperautomorphismus bereits festgelegt. Dies zeigt sehr schön die "Stärke der Multiplikativität" bzw den "Unterschied zwischen LA und Algebra" auf: 1, <math>\sqrt{2}</math>, <math>\sqrt{3}</math> und <math>\sqrt{6}</math> sind LINEAR unabhängig, also Bilder eines VEKTORRAUM-Homomorphismus könnte man nach Belieben verteilen, aber da kommt eben ihre Struktur als Körper ins Spiel.)

Nun hat die Permutationsgruppe auf den vier Ecken des Tetraeders ja 4!=24 Elemente. Ich vermute mal, in der Einstiegsfrage der Prüfung ging es dann darum zu erklären, WELCHE von diesen 24 Permutationen man als Elemente der Galoisgruppe ansehen kann und wie das auf dem Tetraeder aussieht, bzw. wie sich die Galoisgruppe als Untergruppe der Permutationsgruppe auffassen lässt (vgl. Satz von Cayley). Das wäre hier wohl konkret eine sog. "Klein'sche Vierergruppe", d.h. die nicht-zyklische Gruppe der Ordnung 4, wo also alle Elemente (wegen Ordnung 1 oder 2 nach Lagrange) selbstinvers sind, d.h. zwei isolierte Vertauschungen wie etwa (12), (34) und die daraus resultierende Doppelvertauschung (12)(34). Am Tetraeder wären das zwei Spiegelungen und deren Kombination (Drehung?).

Grüße
sibelius84



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juergen007
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Aus: Braunschweig
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2017-10-04


Vielleicht aufschlussreich
www.youtube.com/watch?v=g2zgETcnO6M

Alle Permutationen sind gerade!



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