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Analysis » Topologie » Halbnormsystem, Stetigkeit, Hausdorffsch
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Universität/Hochschule Halbnormsystem, Stetigkeit, Hausdorffsch
PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-17

\(\begingroup\)
Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Sei $C(\mathbb{R})$ versehen mit dem Halbnormensystem $Q=\{q_n\colon n\in\mathbb{N}_0\}$ mit $q_n(f)=\sup_{x\in [-n,n]} |f(x)|$. Ferner betrachte das System $P=\{q_{a,b}: a,b\in\mathbb{R}, a<b\}$

1) Zeigen Sie, dass beide Halbnormensysteme die selbe Topologie erzeugen.

2) Untersuchen Sie die Abbildung $I: C(\mathbb{R})\to C(\mathbb{R})$ mit $I(f)(x)=\int_0^x f(t)\, dt$ auf Stetigkeit.

3) Ist $C(\mathbb{R})$ versehen mit der durch $\{q_n\colon n\in\mathbb{N}_0\}$ induzierten Topologie hausdorffsch?


zu 1):

Um zu zeigen, dass die erzeugten Topologien übereinstimmen, reicht es zu zeigen, dass für $q\in Q$ beliebig, $q$ stetig ist bezüglich $P$. Und umgekehrt.

Dies ist äquivalent dazu, dass ein $c\geq 0$ und $p_1,\dotso, p_k\in P$ existieren mit $q\leq c\cdot\max\{p_1,\dotso, p_n\}$.

Es ist $q_n(f)=\sup_{x\in [-n,n]} |f(x)|\leq 1\cdot \sup_{x\in[-n,n]} |f(x)|$ mit $a=-n$ und $b=n$, falls $n\neq 0$. Für $n=0$ kann man etwa $a=-1$ und $b=1$ nehmen.

Also ist $q_n$ stetig bezüglich $P$.

Umgekehrt gilt:

$q_{a,b}(f)=\sup_{x\in [-n,n]} |f(x)|\leq \sup_{x\in[-n,n]} |f(x)|$ mit $n:=\max\{[|a|], [|b|]\}$, wobei $[\dotso]$ hierbei die Gaußklammer bezeichnen soll. Es wird also jeweils auf die nächst größere natürliche Zahl gerundet.

Also folgt auch hier die Stetigkeit und somit stimmen die Topologien überein.

zu 3): $C(\mathbb{R})$ versehen mit der durch $Q$ induzierten Topologie ist denke ich nicht hausdorffsch, denn für alle $f\in C(\mathbb{R})$ mit $q_n(f)=\sup_{x\in [-n,n]} |f(x)|=0$ mit $n\neq 0$ folgt, dass $f\equiv 0$ ist. Aber wenn $n=0$, dann

$q_0(f)=\sup_{x=0} |f(x)|=f(0)=0$ gilt nicht nur für die Nullfunktion.

Ist das korrekt?

Bei 2) habe ich größere Schwierigkeiten.

Offensichtlich ist $I$ linear. Dann ist $I$ stetig, wenn für alle $q\in Q$ auch $q\circ T$ stetig bezüglich $Q$ ist.
Hier ist es ja auch eigentlich egal, ob ich $P$ oder $Q$ nehme, denn die Topologien stimmen ja ohnehin überein.

Also: Sei $q_n\in Q$ beliebig. Dann ist

$q_n(I(f)(x))=q_n(\int_0^x f(t)\, dt)= \sup_{x\in [-n,n]} |\int_0^x f(t)\,dt|$

Damit dies Stetig bezüglich $Q$ ist, muss ich es abschätzen können, wie in 1).
Also geeignete Halbnormen wählen.

Alternativ kann ich Auch $\lambda_1,\dotso, \lambda_k\geq 0$ und $p_1,\dotso, p_k\in Q$ wählen, mit $q(x)\leq \sum_{i=1}^k \lambda_i\cdot p_i(x)$, was mir hier leichter erscheint.

Denn $\sup_{x\in [-n,n]} |\int_0^x f(t)\,dt|:=c$ ist ja ohnehin Konstant und ich kann $c=\lambda_1=\dotso=\lambda_k$ setzen. Dann muss ich die Halbnormen nur noch so wählen, dass sie für jedes $x$ in der Summe mindestens 1 sind.

Wäre das möglich?
Das erscheint mir durchaus umständlich. Eigentlich wollte ich mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung argumentieren. Aber der ist hier glaube ich nicht anwendbar.


Über Anmerkungen freue ich mich.
Vielen Dank im voraus.
\(\endgroup\)


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darkhelmet
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Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2147
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-17

\(\begingroup\)
Hi,

ich verstehe nicht genug davon, um zu 1) und 2) was zu sagen, aber der Beweis von 3) ist falsch. Du zeigst damit nur, dass $q_0$ keine Norm ist. Man nimmt ja gerade eine ganze Familie von Halbnormen, damit man diesen Defekt ausgleichen kann. Um einen Widerspruch zu Hausdorffsch zu finden, müsstest du schon zeigen, dass $f$ durch keine der Halbnormen von $0$ zu trennen ist.
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1116
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
Ok, dann ist $C(\mathbb{R})$ mit der Topologie doch hausdorffsch.
Denn $n$ wird ja beliebig groß. Und dann gilt $\sup_{x\in [-n,n]} |f(x)|=0$ nur, wenn $f\equiv 0$.
\(\endgroup\)


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piquer
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Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 389
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
Hi PrinzessinEinhorn,

Dein Aufschrieb wirkt noch etwas konfus. Ich werde das einmal für dich ordnen.
Zu 1):
Es seien $\tau_P$ und $\tau_Q$ die von $P$ bzw. $Q$ auf $C(\IR)$ erzeugten Topologien. Dann gilt wegen $P \subset Q$, dass $\tau_P \subset \tau_Q$.
Ist nun umgekehrt $p_{a,b} \in Q$, so gibt es $n \in \IN$ mit $[a,b] \subset [-n,n]$. Es folgt dann aus der Monotonie des Supremums, dass
$q_{a,b} \leq q_n$. Damit folgt $\tau_P \subset \tau_Q$.
Insgesamt folgt daher die behauptete Gleichheit.

In diesem Beweis haben wir nur benutzt, dass $([-n,n])_{n \in \IN}$ eine (kompakte) Ausschöpfung von $\IR$ ist. tatsächlich kann man die Halbnormensystem durch die Supremumsnorm auf einer beliebigen Ausschöpfung von $\IR$ ersetzen. Damit funktioniert das Konzept auch auch komplizierten oder abstrakteren Mengen.

Zu 3):
Du meinst wahrscheinlich folgendes. Für $f \in C(\IR)$ mit $q_n(f) = 0$ für alle $n \in \IN$ folgt $f\left|_{[-n,n]} \right. = 0$ für alle $n \in \IN$. Wegen $\cup_{n \in \IN} [-n,n] = \IR$ folgt $f = 0$ auf $\IR$.

Zu 2):
Hier ist zunächst zu prüfen (in diesem Fall trivial), dass $I$ wohldefiniert und linear ist. Dazu muss gezeigt werden, dass für $f \in C(\IR)$ $I(f)$ wohldefiniert und $I(f) \in C(\IR)$ gilt.
Um die Stetigkeit zu zeigen, solltest du beachten, dass die Konstante in der Abschätzung von der verwendeten Halbnorm abhängen darf, aber nicht vom Argument. Wie würdest du die Stetigkeit von $I$ im Fall von $(C([a,b]), \lVert \cdot \rVert_{[a,b]})$ statt $(C(\IR),\tau_P)$ zeigen?
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast, meinen Beitrag zu ordnen.
Es ist alles klar, was du schreibst.

Zu 2):

2017-12-18 18:57 - piquer in Beitrag No. 3 schreibt:
Hier ist zunächst zu prüfen (in diesem Fall trivial), dass $I$ wohldefiniert und linear ist. Dazu muss gezeigt werden, dass für $f \in C(\IR)$ $I(f)$ wohldefiniert und $I(f) \in C(\IR)$ gilt.

Also die Linearität ist klar, da das Integral linear ist.
Für $f\in C(\mathbb{R})$ ist $I(f)$ wohldefiniert, da stetige Funktionen integrierbar sind. Und $I(f)$ ist stetig, weil $f$ stetig ist.

Lässt sich die Stetigkeit dann nicht so zeigen, dass ich die Funktion unter dem Integral durch das Supremum der Funktion auf dem Intervall $[a,b]$ abschätze. Anfangen muss ich ja so:

$\sup_{x\in [a,b]} \left|\int_0^x f(t)\, dt\right|=\sup_{x\in [a,b]} \left|\int_0^x f(t)\, dt\right|$

\(\endgroup\)


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piquer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
2017-12-18 19:21 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 4 schreibt:
Lässt sich die Stetigkeit dann nicht so zeigen, dass ich die Funktion unter dem Integral durch das Supremum der Funktion auf dem Intervall $[a,b]$ abschätze.

Genau so ist es! Dann taucht auch wieder $q_{a,b}$ auf der rechten Seite der Abschätzung auf.
\(\endgroup\)


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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-18

\(\begingroup\)
Danke.
Und damit wäre der Beweis auch für $\tau_P$ erbracht, denn es muss ja nur für alle beliebigen Halbnormen stetig sein.
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