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Lineare Algebra » Vektorräume » Schnitt einer Hyperebene des R^4 mit einer Ebene aus dem R^2
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Autor
Universität/Hochschule J Schnitt einer Hyperebene des R^4 mit einer Ebene aus dem R^2
Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-18

\(\begingroup\)
Hallo,

ich habe eine Frage zu dem Schnitt einer Hyperebene im \(\mathbb{R}^4\) und einer Ebene aus dem \(\mathbb{R}^2\).

Die Dimension der Hyperebene H ist 3. Demnach war meine Vorstellung dieser Hyperebene ein dreidimensionaler Raum, der aufgespannt wird. Wenn ich diesen jetzt mit der zweidimensionalen Ebene schneide, warum ist das Ergebnis des Schnitts eine Gerade? Meiner Vorstellung nach müsste die Ebene die Hyperebene aus dem \(\mathbb{R}^4\) in zwei Unterräume teilen. Ich habe aber schon unterschiedlichste Aufgabentypen gesehen, die explizit die Schnittgerade ausrechnen lassen, also nicht die Schnittebene, die ich mir vorstelle.

Dasselbe Problem habe ich bei der Vorstellung des Schnitts zweier Hyperebenen aus dem \(\mathbb{R}^4\). Meiner Vorstellung nach wären das zwei dreidimensionale Räume, die sich schneiden. In der Realität würde ich mir bspw. zwei "Zauberwürfel" vorstellen, die ich ineinander stecken könnte. Dann würde sich als Schnitt der beiden ein Raum ergeben, nicht aber eine zweidimensionale Ebene, wie ich es beschrieben finde, da \(\textbf{dim(n-k) = dim(4-2) = dim(2)}\), wobei n der Dimension und k der Anzahl der schneidenden Hyperebenen entspricht.

Kann mir jemand meinen Denkfehler erläutern?
\(\endgroup\)


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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-18


Hi Chris96,
deine anschaulichen Vorstellungen stimmen nicht mit dem geometrischen Sachverhalt überein. Es sind nicht zwei Würfel, die man ineinandersteckt, sondern es wird ein Schnitt gebildet. Die Dimension des einen Raumes ist 3, und durch den Schnitt mit dem zweiten Raum (ebenfalls Dimension 3) verringert sich die Dimension um 1 und ergibt etwas Zweidimensionales.
Das Ganze spielt sich in einem vierdimensionalen Raum ab.
Der Raum ℝ2 spielt hier überhaupt keine Rolle, es kann sich aber um zweidimensionale Unterräume vom Raum ℝ4 handeln.
Gruß Buri



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-18


Hallo Buri,

danke für die Antwort. Mathematisch ist mir klar, dass sich die Dimension verringern muss, nur fehlt mir die Anschauung beim Schneiden der beiden Räume.
Ich stelle mir das so vor, dass sich beide Räume "überlappen" und sich so schneiden. Mein Problem ist, dass durch diese Anschauung (die fehlerhaft zu sein scheint) nichts zweidimensionales entsteht, sondern ein "Schnittraum", der etwas Dreidimensionalem entsprechen würde.

Jetzt bin ich auf der Suche nach meinem Denkfehler. Die Dimensionsreduktion im Zweidimensionalen ist klar. Schneiden sich zwei Geraden, so entsteht ein Schnittpunkt. Schneiden sich im Dreidimensionalen zwei Ebenen, so entsteht eine Schnittgerade. Schneiden sich zwei Räume im Vierdimensionalen, so sollte die Schnittebene entstehen. Aber das kann ich mir nicht ganz vorstellen.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2017-12-18


Hallo Chris96,

dazu gibt es eine nette Anekdote, die ich aber leider nicht mehr richtig zusammen bekomme, und es auch mit googeln nicht finden kann. Vielleicht weiß jemand anderes mehr.

Ein Mathematiker wurde von einem Journalisten gefragt, wie er sich um Himmels Willen einen 43-dimensionalen Raum vorstellen kann. Seine Antwort: Das ist doch ganz einfach - ich stelle mir einen n-dimensionalen Raum vor und setze n = 43.

Zu deinem Problem: Wenn du zwei zweidimensionale Ebenen im IR³ schneidest, kommt ja auch kein Quadrat raus.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2017-12-19


Hallo,

danke für eure Denkanstöße!
Mir ist gestern noch klar geworden, dass ich mir den dreidimensionalen Schnitt einfach falsch vorgestellt habe (wie Buri schon sagte) und deswegen Verwirrung bei mir aufkam.
Das hat sich nun aber geklärt und die Frage ist beantwortet. Danke!



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