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Mathematik » Numerik & Optimierung » Existenz orthogonaler Matrix mit Qx=y
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Universität/Hochschule J Existenz orthogonaler Matrix mit Qx=y
Aimbot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2017-12-29 19:05


Hallo,

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mir fällt leider kein Beispiel für Vektoren ein für die das nicht gilt. Kann mir jemand einen kleinen Tipp geben?




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Buri
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Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2017-12-29 19:11


Hi Aimbot,
denke daran, dass orthogonale Matrizen die Längen von Vektoren erhalten, das heißt, es gilt immer ||Qx|| = ||x||. Daraus ergibt sich eine notwendige Bedingung für x und y, und man kann zeigen, dass diese auch hinreichend für die Existenz eines orthogonalen Q mit Qx = y ist.
Gruß Buri



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Aimbot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-03 18:33


Hallo,
okay danke die notwendige Bedingung ist dann, dass ||x||=||y|| ist.
Wie kann ich jetzt zeigen, dass dies auch eine hinreichende Bedingung ist?

Dazu muss ich ja folgern, dass aus ||Q'x||=||y|| für alle Q' orthogonal
die Existenz von einem Q orthogonal mit Qx=y folgt. Da fehlt mir aber noch ein Argument.



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Buri
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-03 19:00


2018-01-03 18:33 - Aimbot in Beitrag No. 2 schreibt:
... muss ich ja folgern ...
Hi Aimbot,
das geschieht durch direkte Konstruktion solch einer Matrix Q.
Wenn x = y ist, kann man als Q die Einheitsmatrix nehmen.
Sonst kann man Q so wählen, dass Q(x-y) = y-x ist und Qz = z für alle Vektoren, die orthogonal zu x-y sind. Dieses Q ist eindeutig bestimmt und erfüllt die geforderte Bedingung Qx = y. Man kann die Formel
fed-Code einblenden
herleiten und verwenden, diese Formel funktioniert auch für komplexe Vektoren, wenn man das Transponieren T durch die hermitesche Konjugation H ersetzt.
Für weitere Überlegungen kannst du hier nachschauen.
Gruß Buri



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