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Analysis » Folgen und Reihen » Grenzwert einer Summe
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Beruf Grenzwert einer Summe
Pest
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.01.2018
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-02

\(\begingroup\)
Hallo,
mich würde gerne interessieren, wie man die Konvergenz (inkl. Grenzwert) oder Divergenz der Reihe
\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{((1-\frac{k}{n})\cdot x_0)^k}{k!}\)
mit reellem \(x_0\) nachweisen bzw. bestimmen kann. Meine Vermutung ist, dass die Reihe sehr langsam gegen den Wert \(\exp(x_0)\) konvergiert.

Vielen Dank,
Peter
\(\endgroup\)


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Wirkungsquantum
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 404
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-02

\(\begingroup\)
Hallo,
du kannst versuchen die Konvergenz mit dem Wurzelkriterium zu untersuchen.
Wie kommst du denn für Grenzwert auf exp(x)?

Grüße,
h


-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
\(\endgroup\)


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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 1784
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-02


Hi, es handelt sich hier um keine Reihe.
Dennoch kann man die Konvergenz der Folge untersuchen. Es ist <math>\frac{x_0^k}{k!}</math> größer/gleich dem <math>k</math>-ten Summanden eines jeden Folgeglieds. Kennst du den Dreifolgensatz? Er wird manchmal auch Sandwich-Lemma genannt. Dieses hilft hier eventuell weiter. Vielleicht kann man auch Aussagen zur Monotonie treffen, aber das weiß ich noch nicht.
Dass es der Grenzwert sein könnte, vermute ich auch.



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Pest
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-02

\(\begingroup\)
Hallo,
oh ja danke, es sollte richtigerweise "Grenzwert einer Folge" heissen. Meine Vermutung stützt sich (recht unmathematisch) darauf, dass der "Koeffizient" vor \(\frac{x_0^k}{k!}\) sich mit steigendem \(n\) beliebig nahe an \(1\) heranführen lässt. Diese Eigenschaft "verschlechtert" sich zwar mit steigendem \(k\), dafür spielen diese späteren Summenbeiträge eine immer unbedeutendere Rolle weil sie ja immer gewichtiger auf den Anteil \(\frac{1}{k!}\) verkleinert werden.

Außerdem habe ich den Ausdruck numerisch mit Maple untersucht bis n=50000 und die Folgenwerte näherten sich "streng monoton steigend in Richtung" \(\exp(x_0)\). Dies stützte meine Vermutung.

Dreifolgensatz ist mir bekannt nur finde ich momentan keine einschnürende Folge welche nach unten abschätzt und den Grenzwert \(\exp(x_0)\) besitzt.

Gruß,
Peter
\(\endgroup\)


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Wally
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.11.2004
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-02


Hallo, Peter,

für positive <math>x_0</math> kann man deine Vermutung leicht beweisen. Wofür brauchst du das denn?

Wally



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Wauzi
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Dabei seit: 03.06.2004
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-02


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-----------------
Primzahlen sind auch nur Zahlen



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Pest
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 02.01.2018
Mitteilungen: 7
Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-02

\(\begingroup\)
Hallo Wally,
ich leite gerade die analytische Lösung einer retardierten Differentialgleichung her und da bin ich im Grenzfall (d.h. in Richtung unverzögerten Fall) auf diese Folge gestoßen. Und ja, in meinem Fall sind die \(x_0\) sämtlich positiv.

Hallo Wauzi,
danke, ich werde mir deine Idee mal zu Gemüte führen.

Danke auch an alle anderen,
Peter
\(\endgroup\)


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Pest
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Aus: Bayern
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-03

\(\begingroup\)
Servus zusammen,
gemäß Wauzi's Idee stosse ich auf folgende Folge (von der zu beweisen ist, dass sie eine Nullfolge ist):
\(\sum_{k=0}^{n}\bigl(\frac{n!}{(n-k)!}-(n-k)^k\bigl)\cdot\frac{1}{k!}\cdot(\frac{x_0}{n})^k\).

Um ein Gefühl zu bekommen, habe ich für \(x_0=1\) die Folgenwerte bis n=300 visualisiert:


Man kann hier schon einen gewissen "Nullfolgencharakter" erkennen aber mir fällt momentan nicht ein, wie man zeigen kann, dass obige Folge mit steigendem \(n\) gegen Null strebt. Vielleicht gibt es ja irgendeine Majorantennullfolge hierzu.

Gruß,
Peter
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-01-03


Hallo, Peter (den Namen finde ich gut :) ),

alternativ wählt man ein <math>n_0</math> so groß, dass <math>\displaystyle |e^{x_0}-\sum_{k=0}^{n_0} \frac{x_0^k}{k!}|<\varepsilon</math> ist.

Dann wählt man <math>n</math> sehr groß:

<math>\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(1-\frac{k}{n})^k x_0^k}{k!} \ge \sum_{k=0}^{n_0} \frac{(1-\frac{k}{n})^k x_0^k}{k!}</math>

Das ist jetzt eine Summe mit endlich vielen Summanden, und für <math>n\to\infty</math> kann man sie bis auf <math>\epsilon </math> an <math>\displaystyle\sum_{k=0}^{n_0} \frac{x_0^k}{k!}</math> annähern.

Dann ist <math>\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(1-\frac{k}{n})^k x_0^k}{k!}</math>  zwischen <math>e^x-2\varepsilon</math> und <math>e^x</math>.

Wally




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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-03


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Pest
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-04

\(\begingroup\)
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten.
Ich hatte mich anfangs auch an einen \(\epsilon\)-Beweis gemacht - leider bin ich auf halbem Wege ins Stocken geraten da mir die Abschätzungen zu kompliziert geworden sind. Aber der \(\epsilon\)-Beweis von Wally besticht durch seine Eleganz und Kürze. Das gefällt mir.

@Wauzi: woher kommt denn der Wert \(N=\sqrt[4]{n}\)? Läuft die erste Summe dann von \(2\) bis \(N-1\)?

Danke,
Peter
\(\endgroup\)


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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-01-04

\(\begingroup\)
Dieser Wert ist teilweise willkürlich. N soll möglichst groß sein, aber es darf bei der Abschätzung der Wert t2/n nicht größer 1 werden. Dies könnte aber passieren für t=k und dann k=n. Deshalb habe ich k nach oben genügend gedeckelt. Für die Abschätzung reicht es natürlich, wenn t2<n ist und das wird mit meiner Wahl von N problemlos erreicht.

2018-01-04 17:17 - Pest in Beitrag No. 10 schreibt:
Aber der \(\epsilon\)-Beweis von Wally besticht durch seine Eleganz und Kürze. Das gefällt mir.


Dem kann ich mich nur anschließen
\(\endgroup\)


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Pest
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-04

\(\begingroup\)
Danke Wauzi,
eine Sache noch: ist der obere Summationsindex \(n\) der ersten Summe bei deiner Beweisskizze eigentlich richtig? Ich dachte, von der Notation her sollte diese Summe doch bis \(\lfloor{N}\rfloor\) laufen, oder?
Gruß,
Peter
\(\endgroup\)


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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2018-01-04


Du hast recht, das habe ich übesehen. Die unten angegebene Einschränkung für k reicht. Ich bessere aus.



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Pest
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-04


O.K., vielen Dank.
Gruß,
Peter



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