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Mathematik » Didaktik der Mathematik » Logarithmen für Siebtklässler
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Kein bestimmter Bereich Logarithmen für Siebtklässler
Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-02 19:23


Dass Schulkinder das kleine Einmalqeins auswendig lernen ist sinnvoll (solange wir in Basis 10 zählen). Wenn einige Streber das sogenannte "große Einmalqeins" lernen, haben die (meiner Meinung nach) ein Prioritätenproblem.

Aber Produkte größerer Zahlen könnten benutzt werden, um Siebtklässlern einige Eigenschaften von Logaritmen beizubringen, ohne sich mit den leidigen Kommazahlen herumzuschlagen; man muss die Logaritmenbasis <math>b>1</math> nur genügend klein wählen (im unteren Beispiel <math>b=1.01705</math>) und die Logaritmen auf ganze Zahlen runden:

<math>\displaystyle \begin{array}{cccccc}
~2:~~41 & ~3: ~65 & ~4: ~82 & ~5: ~95 & ~6: 106 \\
~7: 115 & ~8: 123 & ~9: 130 & 10: 136 & 11: 142 \\
12: 147 & 13: 152 & 14: 156 & 15: 160 & 16: 164 \\
17: 168 & 18: 171 & 19: 174 & 20: 177 & 21: 180 \\
22: 183 & 24: 188 & 25: 190 & 26: 193 & 27: 195 \\
28: 197 & 30: 201 & 32: 205 & 33: 207 & 34: 209 \\
35: 210 & 36: 212 & 38: 215 & 39: 217 & 40: 218 \\
42: 221 & 44: 224 & 45: 225 & 48: 229 & 49: 230 \\
50: 231 & 51: 233 & 52: 234 & 54: 236 & 55: 237 \\
56: 238 & 57: 239 & 60: 242 & 63: 245 & 64: 246 \\
65: 247 & 66: 248 & 68: 250 & 70: 251 & 72: 253 \\
75: 255 & 76: 256 & 77: 257 & 78: 258 & 80: 259 \\
81: 260 & 84: 262 & 85: 263 & 88: 265 & 90: 266 \\
91: 267 & 95: 269 & 96: 270 & 98: 271 & 99: 272 \\
\end{array}</math>

Es gilt zum Beispiel

<math>\displaystyle
\log(7\cdot13)=\log(7)+\log(13)=115+152=267=\log(91)
</math>

Bei der Erstellung so einer Logaritmentafel muss natürlich beqachtet werden, dass die gerundete Logaritmusfunktion bijektiv ist und dass durch die Rundungen keine Inkonsistenzen entstehen. Das ist für eine beliebige Basis in der Regel nicht so, aber für einige sorgsam ausgewählte Basen durchaus.

Ob all dieses didaktisch wertvoll ist, habe ich freilich nicht testen können. wink



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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-02 20:31


Hallo,
ich habe sowohl das große Einmaleins als auch Logarithmentafeln (incl. Rechenschieber, der ja nichts anderes ist) in meiner Schulzeit gehabt.
Das Arbeiten mit Log-tafeln hatte ich immer als lästig empfunden, allerdings gab es nichts anderes. Am Schlimmsten war die lineare Interpolation, mit der man vesuchte, die Genauigkeit der Rechnung ein kleinwenig zu erhöhen. Lerneffekt gleich Null.
Anders das große Einmaleins. Hat man natürlich nicht ernsthaft gelernt, sondern sich mit immer neuen Rechentricks durch das tägliche Abgefragtwerden gewurschtelt.
Lerneffekt: hoch. Ich kann noch heute problemlos auch mit großen Zahlen in guter Näherung Kopfrechnen und Ergebnisse abschätzen. In meiner Schulzeit war ich damit jedenfalls immer schneller als mit dem Rechenschieber.
Mich wird man also nicht für diese Tafeln begeistern können
Gruß Wauzi


-----------------
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Goswin
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Aus: Chile, Ulm
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-02 20:42


2018-01-02 20:31 - Wauzi in Beitrag No. 1 schreibt:
In meiner Schulzeit war ich damit jedenfalls immer schneller als mit dem Rechenschieber.
Mich wird man also nicht für diese Tafeln begeistern können

Wauzi, du hast da etwas ganz falsch verstanden. Es geht mir nicht um schnelles Rechnen oder vernünftiges Abschätzen, sondern darum, Siebtklässlern den Begriff "Logarithmus" zu verdeutlichen. Der Witz der Sache ist ja gerade, dass Schüler das Produkt auch direkt errechnen und damit die Logaritmengesetze selbst überprüfen können.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-01-02 21:24

\(\begingroup\)
2018-01-02 20:42 - Goswin in Beitrag No. 2 schreibt:
Es geht mir nicht um schnelles Rechnen oder vernünftiges Abschätzen, sondern darum, Siebtklässlern den Begriff "Logarithmus" zu verdeutlichen.

Ich denke, für diesen Zweck würden sich auch sog. diskrete Logarithmen sehr gut eignen. Zu diesem Zweck nehme man eine Primzahl, nicht zu klein und nicht zu groß, z.B. $p=11$, dazu eine sog. Primitivwurzel g, hier $g=2$, welche mit ihren Potenzen sämtliche Reste mod $p$ in $\{1,2,...,p-1\}$ erzeugt, und es kann schon losgehen.

Als erstes brauchen wir eine "Logarithmentafel", welche zu jeder der Zahlen $x\in \{1,2,...,p-1\}$ den mod $(p-1)$ eindeutig bestimmten Exponenten $\log_g(x$) in der Darstellung

$x \equiv g^{\log_g(x)} \mod p$

angibt, welche hier in unserem Beispiel mit $p=11$ und $g=2$ auch noch leicht manuell erstellt werden kann:

Logarithmentafel
x        1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
log_2(x) 0 1 8 2 4 9 7 3 6 5

Eine typische Multiplikation mod 11 könnte dann damit etwa folgendermaßen aussehen:

$5\cdot 6\equiv 2^4\cdot 2^9 \equiv 2^{13 \mod 10}\equiv 2^3\equiv 8 \mod 11$

Und das Schöne dabei: Man kann auch sofort die Probe machen, dass tatsächlich $5\cdot 6\equiv 8 \mod 11$ gilt! Einzige Besonderheit, wie man oben schon gesehen hat: Während man "unten" mod 11 rechnet, muss "oben", also im Exponenten mod 10 gerechnet werden, wie dies der Gleichung

$2^{10}\equiv 2^0 \mod 11$

entspricht.
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-02 21:30


Goswin,

bitte propagiere das nicht.

Ich halte das für eine mathematisch saubere, aber völlig abgedrehte Idee.
(Nur traue ich diese Unterscheidung unseren Didaktikern nicht zu.)

Wenn man wirklich das große EinmalEins lernt, kann man hoffen, dass dadurch ein Gefühl für Zahlen, Faktoren und Strukturen geweckt wird.

Das ist bei dieser Tafel, wo überhaupt nicht intuitiv klar ist, warum bei "2" der Wert 41 und nicht 42 oder sonstwas steht, nicht der Fall.

Wally



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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-03 19:00


2018-01-02 21:30 - Wally in Beitrag No. 4 schreibt:
Goswin, bitte propagiere das nicht.

Mathematik kann anscheinend gefährlich sein. biggrin

Wenn man wirklich das große EinmalEins lernt, kann man hoffen, dass dadurch ein Gefühl für Zahlen, Faktoren und Strukturen geweckt wird.

Das ist bei dieser Tafel, wo überhaupt nicht intuitiv klar ist, warum bei "2" der Wert 41 und nicht 42 oder sonstwas steht, nicht der Fall.

Aber es kann da doch "42 oder sonstwas" stehen! Die Willkür der Basiswahl ist doch sicher eine wichtige Eigenschaft der Logaritmentafeln: zum Erkennen von Strukturen gehört ja auch das Erkennen, wo keine besondere Struktur vorhanden ist. Es ginge auch mit Basis <math>b=1.006261</math> und:

<math>\displaystyle \begin{array} {ccccc}
&~~2: 111 &~~3: 176 &~~4: 222 &~~5: 258 \\
~~6: 287 &~~7: 312 &~~8: 333 &~~9: 352 &~10: 369 \\
~11: 384 &~12: 398 &~13: 411 &~14: 423 &~15: 434 \\
~16: 444 &~17: 454 &~18: 463 &~19: 472 &~20: 480 \\
~21: 488 &~22: 495 &~23: 502 &~24: 509 &~25: 516 \\
~26: 522 &~27: 528 &~28: 534 &~29: 540 &~30: 545 \\
~31: 550 &~32: 555 &~33: 560 &~34: 565 &~35: 570 \\
~36: 574 &~37: 579 &~38: 583 &~39: 587 &~40: 591 \\
~41: 595 &~42: 599 &~43: 603 &~44: 606 &~45: 610 \\
~46: 613 &~47: 617 &~48: 620 &~49: 624 &~50: 627 \\
~51: 630 &~52: 633 &~54: 639 &~55: 642 &~56: 645 \\
~57: 648 &~58: 651 &~60: 656 &~62: 661 &~63: 664 \\
~64: 666 &~65: 669 &~66: 671 &~68: 676 &~69: 678 \\
~70: 681 &~72: 685 &~74: 690 &~75: 692 &~76: 694 \\
~77: 696 &~78: 698 &~80: 702 &~81: 704 &~82: 706 \\
~84: 710 &~85: 712 &~86: 714 &~87: 716 &~88: 717 \\
~90: 721 &~91: 723 &~92: 724 &~93: 726 &~94: 728 \\
~95: 730 &~96: 731 &~98: 735 &~99: 736 &100: 738 \\
\end{array}</math>



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haerter
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-05 19:05


Hallo,

ich bin da ganz bei Wally und vermute, dass es für Siebtklässler irgendwo zwischen verwirrend und nichtssagend wäre, dieses Verfahren vorzustellen.

Ich habe möglicherweise aber nur noch nicht richtig verstanden, was die Siebtklässler am Ende durch "Multiplikation durch Addition von ungefähren Logarithmen zu sorgfältig ausgewählten nicht-ganzzahligen Basen" gelernt haben sollen, vielleicht kannst Du das noch einmal präzisieren.

Ansonsten ist es in meinen Augen eher eine nette Geschichte für etwas ältere Schüler/innen, die Logarithmen schon ganz "normal" kennengelernt haben und dann mal bei einer etwas kleineren Basis dieses Rechnen mit "ungefähren" Lögarithmen schätzen können.
Es wird ja dann auch wieder von der gewählten Basis abhängen, bis zu welcher Größe an Zahlen das Ganze einigermaßen gutgeht. Irgenwann liegen die Logarithmen benachbarter natürlicher Zahlen ja so nahe beieinander, dass sie nach dem Runden nicht mehr verschieden sind.

Viele Grüße,
haerter



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-01-06 02:44


Hi Goswin

Hau die Idee ganz schnell in die Tonne, bevor du dich bei den Schülern blamierst

Deine Tafel ist unvollständig, es fehlen Zahlen. Anscheinend sind das die Primzahlen <math>>50</math>, denn sie können ja niemals Produkt von zwei Zahlen aus der Tafel sein. Wie willst du aber das Fehlen dieser Zahlen erklären?

Du hättest sie übrigens drin lassen können. Denn mit der Tafel kann/darf man ja nur Produkte <math>a \cdot b</math> berechnen, die <math><99</math> sind. Und eines der kleinsten Produkte, bei dem der <math>\log_{\text{Goswin}}</math> versagen würde, ist:
<math>\log_{\text{Goswin}}(5)=95</math>
<math>\log_{\text{Goswin}}(23)=185</math>, <math>95+185=280</math>
aber <math>\log_{\text{Goswin}}(5 \cdot 23)=281</math> eek

Zu deinem Themenstart:
Goswin schreibt:
Wenn einige Streber das sogenannte "große Einmalqeins" lernen, haben die (meiner Meinung nach) ein Prioritätenproblem.
Wieso ist man dann gleich ein Streber? Was ist überhaupt ein Streber?
Anscheinend hast du (meiner Meinung nach) ein Bewertungsproblem. Nicht jeder, der sich hinhockt, und mal etwas über den Tellerrand der Schule hinaus lernt, ist gleich ein Streber.

Goswin schreibt:
ohne sich mit den leidigen Kommazahlen herumzuschlagen
Was ist an Kommazahlen so verwerflich? Nur weil Schüler schon in Selbstzweifel versinken, wenn bei einer Rechnung mal keine „glatte“ Zahl rauskommt? Albern. Sie sollen sich dran gewöhnen.

Nebenbei: es ist der Logarithmus, zig mal falsch geschrieben im Themenstart (und nicht nur dort) razz

Wenn man die Schüler mal mit dieser Additionseigenschaft überraschen will, dann mit logarithmisch eingeteilten Papierstreifen. Zunächst die normale Addition mit zwei Maßbändern oder Zollstöcken. Und dann der Versuch mit diesen seltsam eingeteilten Papierstreifen. Aber eine Erklärung wirst du schuldig bleiben (müssen). Meinen Schülern hat es genügt, daß der mathematische Hintergrund dazu erst in einer höheren Klasse gelehrt wird (werden Logarithmen überhaupt noch gelehrt?).

Gruß vom ¼


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Goswin
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-06 04:36


2018-01-06 02:44 - viertel in Beitrag No. 7 schreibt:
Hau die Idee ganz schnell in die Tonne, bevor du dich bei den Schülern blamierst

So etwas ist ganz und gar unmöglich. razz Ich habe noch nie im Leben als Lehrer vor einer Schülerklasse gestanden und habe auch nicht vor, das in Zukunft zu tun. Ich habe aber manchmal meinen und anderen Kindern bei den Schulqaufgaben geholfen. Kann man sich da auch blamieren?

Was ist überhaupt ein Streber?

Für mich ist ein Streber einer, dem es nicht um mathematische Erkenntnis geht, sondern darum, bei seinen Mitschülern (oder beim Lehrer) angeben zu wollen. Ich bin solchen begegnet.

Wenn man die Schüler mal mit dieser Additionseigenschaft überraschen will, dann mit logarithmisch eingeteilten Papierstreifen.

Wow, werden solche Papierstreifen tatsächlich im Unterricht verwendet?  eek Ich würde da aber keine Streifen nehmen, sonder zwei kreisförmige konzentrische Pappscheiben, die man relativ zueinander drehen kann.


Nebenbei ...
... hoffe ich, dass ich die deutsche Rechtschreibung relativ gut kenne, und allzu offensichtliche "Fehler" meinerseits als bewusst wahrgenommen werden. Ja, auch meine sporadischen "Fugen-q". Aber was ich schon gerne gewusst hätte ist, wieso die neue Regelung Schreibweisen wie "planare Grafen" akzeptiert und "Logaritmus" dagegen ablehnt. Schließlich ist beides aus dem Griechischen transkribiert, und 'th' ist im Deutschen genauso unüblich wie 'ph'.



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-01-06 11:13


2018-01-06 04:36 - Goswin in Beitrag No. 8 schreibt:
Ich habe noch nie im Leben als Lehrer vor einer Schülerklasse gestanden
Hätte ich aber nach deinem Startpost vermutet.
Ich auch nicht, jedenfalls nicht als Lehrer, sondern als Leiter der Denk mal! AG (5.-7. Klasse).

Goswin schreibt:
Wow, werden solche Papierstreifen tatsächlich im Unterricht verwendet?  eek Ich würde da aber keine Streifen nehmen, sonder zwei kreisförmige konzentrische Pappscheiben, die man relativ zueinander drehen kann.
Nicht im Unterricht, aber in der AG.

Goswin schreibt:
... hoffe ich, dass ich die deutsche Rechtschreibung relativ gut kenne, und allzu offensichtliche "Fehler" meinerseits als bewusst wahrgenommen werden. Ja, auch meine sporadischen "Fugen-q". Aber was ich schon gerne gewusst hätte ist, wieso die neue Regelung Schreibweisen wie "planare Grafen" akzeptiert und "Logaritmus" dagegen ablehnt. Schließlich ist beides aus dem Griechischen transkribiert, und 'th' ist im Deutschen genauso unüblich wie 'ph'.
Ich hab' die (neue) Rechtschreibung nicht erfunden. Aber ich lehne vieles von dem neuen Blödsinn ab.



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