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Analysis » Stetigkeit » Zwischenwertsatz
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Universität/Hochschule Zwischenwertsatz
kati2909
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-03 16:44


Hallo!

ich habe folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung

1/x + 1/(x-1) + 1/(x-3) + 1/(x-5) = 0

genau 3 reelle Lösungen hat.

Ich habe mir die Funktion dazu skizziert.
Der Definitionsbereich ist R/{0,1,3,5}. Die Funktion ist im Definitionsbereich stetig und hat 3 Nullstellen jeweils in den Intervallen (0,1), (1,3) und (3,5).

Jetzt weiß ich leider nicht wie ich diese Beobachtung beweisen soll. Mit dem Zwischenwertsatz? Jedoch habe ich hier offene und nicht geschlossene Intervalle.

Vielen Dank schonmal!



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cis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-03 17:13

\(\begingroup\)
Zwischen den Polstellen ist die Funktion, wie schon erwähnt, stetig; und du hast dort Übergänge von $+\infty$ nach $-\infty$ oder umgekehrt.
Ich würde mir einfach sämtliche Grenzwerte gegen die Polstellen notieren und argumentieren, dass, wegen der Stetigkeit, dazwischen Nulldurchgänge liegen müssen.


-----------------
Wenn man alles ausgeschaltet hat, was unmöglich ist, bleibt am Ende etwas übrig, das die Wahrheit enthalten muß - mag es auch noch so unwahrscheinlich sein...
(Sherlock Holmes)
·
\(\endgroup\)


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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-03 17:25


Huhu Kati,

herzlich willkommen auf dem Planeten! Ist dir dieser Satz aus der Vorlesung bekannt?

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rolle

Gruß,

Küstenkind



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kati2909
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-03 20:01


Vielen Dank für die Antworten!
Den Satz von Rolle hatten wir leider noch nicht.
Werde das dann wohl argumentativ machen



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-03 20:53

\(\begingroup\)
Dann viel Erfolg - der Weg von cis funktioniert natürlich. Mit dem Satz von Rolle wäre es nur ein Zweizeiler geworden. Eine andere Möglichkeit wäre auch noch ein Beweis durch Widerspruch. Nehme an es existiert eine komplexe Nullstelle \(\omega=a+bi\). Dann ist aber auch \(\overline{w}=a-bi\) Nullstelle. Siehe dazu:

de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra#Polynome_mit_reellen_Koeffizienten

Das kann man nun durch einfache Rechnung zum Widerspruch führen. Ob du dich aber mit komplexen Zahlen auskennst, vermag ich nicht zu beurteilen.

Gruß,

Küstenkind

\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-01-04 14:19


Hi,

hattet ihr statt des Satzes von Rolle vielleicht den Mittelwertsatz? Er ist ein bisschen allgemeiner, wird aber meistens mit dem Satz von Rolle bewiesen?
Mit dem Mittelwertsatz lässt sich die Aufgabe auch sehr kurz lösen, aber das ist der gleiche Weg wie von Küstenkind.



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Wally
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Aus: Dortmund, Old Europe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-04 14:54


Natürlich reicht der Zwischenwertsatz.

Du musst zwei Dinge nachweisen, Kati:

1. die Funktion hat mindestens drei Nullstellen (da hilft der Tip von cis).

2. die Funktion hat höchstens drei Nullstellen.

Wally



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