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Universität/Hochschule Rücktransformation bei einem Kreisel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-16

\(\begingroup\)
Angenommen ich habe die Komponenten $\omega_i'$ (i=1,2,3) der Winkelgeschwindigkeit eines Kreisels im körperfesten (mitgedrehten) System K' bestimmt. Das mitgedrehte System ist über eine Rotation R (entweder Winkel-Achse Darstellung $(\phi_1,\phi_2,\phi_3)$ oder Euler-Winkel $(\alpha,\beta,\gamma)$ nach einer entsprechenden Achsen-Konvention z.B. z-x'-z'') mit dem raumfesten System K verknüft: $\vec{e}_i' = R \vec{e}_i$, wobei $\vec{e}$ die Einheitsbasisvektoren im entsprechenden Sytem sind.
Hiernach Transformieren sich also die Komponenten eines Vektors $\vec{x}$ von K' nach K wie $x_i = R_{ij} x_j'$. Nimmt man die "Winkel-Achse" Darstellung dann ist $\omega_i = \dot{\phi}_i$, d.h. $\dot{\phi}_i = R_{ij} \omega_j'$. Jetzt hängt die Matrix allerdings von $\phi_i$ ab, welche ich ja noch nicht kenne. Invertieren der Matrix liefert zunächst $R^t_{ij} \dot{\phi}_j = \omega_i'$. Integriert man nun über t' von 0 bis t, dann folgt
\[ \int_{\vec{\phi}_0}^{\vec{\phi}} R^t_{ij} \, {\rm d}\phi_j = \int_0^t \omega_i' \, {\rm d}t' \] Das Problem was sich hierbei ergibt ist allerdings, dass die Linke Seite vom Weg abhängt. Also wenn ich 3 Vektorfelder $\vec{f}_i$ definiere über $(\vec{f}_i)_j=R^t_{ij}$ , dann erhält man $\nabla \times \vec{f}_i \neq 0$, so dass eine direkte Integration gar nicht ausgeführt werden kann. Hierbei ist $\nabla=\left(\partial_{\phi_1},\partial_{\phi_2},\partial_{\phi_3}\right)^t$.
Mein nächster Gedanke war dann $\vec{\omega} = \dot{\vec{\phi}} = \underbrace{ \begin{pmatrix} \vec{u}_1 & \vec{u}_2 & \vec{u}_3 \end{pmatrix} }_{U} \begin{pmatrix} \dot{\alpha} \\ \dot{\beta} \\ \dot{\gamma} \end{pmatrix}$ auszudrücken, wobei $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3$ die jeweiligen Achsen der Drehwinkel darstellen und die neue Matrix $R'=R^t U$ auf Rotationsfreiheit zu überprüfen.
Nimmt man eine beliebige Matrix U dann entspricht dieses Vorgehen doch quasi das Finden eines integrierenden Faktors in mehreren Dimensionen, oder?

Wie komm ich nun an meine Winkel $\phi_i$ die ich ja benötige um die Rotation ins raumfeste System durchzuführen?
\(\endgroup\)


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