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Moderiert von Wauzi
Elementare Zahlentheorie » Diophantische Gleichungen » Lösbarkeit der Gleichung x^2 + 7 y^9 + 1 = 0
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Autor
Universität/Hochschule J Lösbarkeit der Gleichung x^2 + 7 y^9 + 1 = 0
Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-17


Hallo liebe Leute, ich hab noch eine Aufgabe zu Zahlentheorie, wo ich ein bisschen Erklärungsbedarf hab.
Gegeben ist die Gleichung:  
fed-Code einblenden

Jetzt aber meine Verständnisfrage, warum reicht es wenn man nur Z7 anschaut. Fallen da nicht andere Fälle unter den Tisch? Oder versteh ich da was komplett falsch?
LG und vielen Dank im Voraus,
Mathsman



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-18


Der Beweis stimmt so natürlich. Was du allerdings mit den "anderen Fällen" in deiner Frage meinst, ist vollkommen unklar, da ja hier an keiner Stelle eine Fallunterscheidung durchgeführt wurde.   eek



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PrinzessinEinhorn
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 1188
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
Ich denke es ist gemeint warum es reicht $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ zu betrachten und wieso man darauf auf die Unlösbarkeit auf ganz $\IZ$ schließen kann.
\(\endgroup\)


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Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-18


Hallo, ja Prinzessin Einhorn hat Recht. Genau auf diese Frage, hab ich mir noch keinen Reim machen können.
LG Mathsman



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weird
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Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 3859
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-18

\(\begingroup\)
Um zu überprüfen, ob ich einen Schirm mitnehmen soll, wenn ich aus dem Haus gehe, werfe ich manchmal, soferne das nicht ganz klar ist, einen Blick aus dem Fenster auf die Straße vor dem Haus, eingedenk der Implikation

Wenn es regnet, dann ist die Straße nass!

Ist die Straße also nicht naß, so regnet es nicht und es hat auch kürzlich nicht geregnet, also lass ich den Schirm zu Hause. (In seltenen Fällen nehme ich allerdings den Schirm irrtümlich mit, indem die Straße nur deshalb nass ist, weil vorher der Spritzwagen gefahren ist, d.h., der Umkehrschluss zu obigem Satz ist falsch!)

Nun, was hat das mit deiner Gleichung zu tun? Wenn deine Gleichung in $\mathbb Z$ lösbar ist und die ganzen Zahlen $x_0,y_0$ Lösungen sind, dann kann ich auf sie den Ringhomorphismus $z\mapsto z \mod 7$ anwenden und die so erhaltene Gleichung hat dann die Lösung $x_0\mod 7,y_0 \mod 7$ und ist somit ebenfalls lösbar. Ist umgekehrt die so erhaltene Gleichung mit der Grundmenge $\mathbb Z/7\mathbb Z$ unlösbar, so war es auch die ursprüngliche Gleichung mit der Grundmenge $\mathbb Z$. Und genau dieser Schluss wurde hier auch angewendet, so einfach ist das!  wink
\(\endgroup\)


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Mathsman
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2017
Mitteilungen: 91
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19


Vielen, vielen Dank an alle! Ich glaub ich habs jetzt verstanden!
LG Mathsman



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