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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Begriff transitiv
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Universität/Hochschule Begriff transitiv
WeisserBitcode
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.11.2017
Mitteilungen: 28
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-18


Hey Leute, und zwar habe ich folgende Aufgabe...
Sei R := {(2, 1)} eine Relation über der Menge {1, 2, 3}.
a) Ist R reflexiv, symmetrisch und/oder transitiv? Begründen Sie Ihre Meinung.

Oder auch die Aufgabe ...
Sei
R := {(2, 1),(2, 2),(3, 3)}
eine Relation über der Menge A := {1, 2, 3}.
a) Prüfen Sie, ob R reflexiv, symmetrisch und/oder transitiv ist. Geben Sie für jede der drei
Eigenschaften eine Begründung für Ihre Meinung an.

Habe mir 2 Aufgaben ausgesucht um es besser zu verstehen. Bis jetzt habe ich nur reflexiv und symetiesch verstanden.

transitiv ist mir eingentlich auch klar. Also xRy und yRz ist dann schlussendlich auch xRz. Aber im Internet finde ich nur Lösungen und BEispiele mit Buchstaben. Kann mir jemand es Anhand dieser Beispiele mit Zahlen erklären. Das würde mir sehr viel helfen.
Vielen Dank



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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45272
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-18


Hi WeisserBitcode,
die Angabe der Relation bedeutet, dass zwischen den Elementen 1,2,3 die Relationen 2R1, 2R2 und 3R3 gelten, und keine weiteren Relationen.
Man verwendet das Wort "Relation" in doppeltem Sinn:
- einmal als die Gesamtheit R, die eine Menge von Paaren ist, und
- andererseits als Bezeichnung für eine Beziehung der Form xRy.
Deine Aufforderung "finde ich nur Lösungen und BEispiele mit Buchstaben. Kann mir jemand es Anhand dieser Beispiele mit Zahlen erklären." ist recht eigenartig. Das Einsetzen der Zahlen in die Relation musst du schon selbst machen.
Du musst alle Möglichkeiten für die Wahl von x,y,z aufstellen, bei denen sowohl xRy als auch yRz gilt, und dann prüfen, ob in jedem dieser Fälle auch xRz gilt. Wenn das so ist, ist die Relation transitiv.
Hinweis: Für die Wahl von x,y,z ohne irgendwelche Einschränkungen gibt es 27 Möglichkeiten, das sind nicht allzu viele, das heißt, es reicht dafür immer noch 1 Blatt Papier.
Von diesen 27 Möglichkeiten kannst du diejenigen markieren und dann auf einem gesonderten Blatt auflisten, für die xRy und yRz gilt, und schließlich den Prüfvermerk anbringen, ob xRz gilt oder nicht.
Mache das mal und teile deine Ergebnisse mit.
Meine Hinweise, die ich dir gegeben habe, sind nichts anderes als eine detaillierte Beschreibung für die Definition der Transitivität, das heißt, alles, was du brauchst, steht in der Definition bereits drin.
Gruß Buri



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WeisserBitcode
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.11.2017
Mitteilungen: 28
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19





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WeisserBitcode
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.11.2017
Mitteilungen: 28
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-19


Ich glaube ich bin auf einem ganz ganz ganz falschem Weg...



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tactac
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 982
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-01-19


Deine Begründung dafür, dass R nicht reflexiv ist, ist fehlerhaft.
Deine Begründung dafür, dass R nicht symmetrisch ist, ist nur mit sehr viel gutem Willen nachvollziehbar.
Deine Begründung dafür, dass R nicht transitiv ist, ist fehlerhaft.

Du solltest vielleicht etwas mehr Text schreiben, damit du genauer siehst, auf welche Weise du dich auf die Definitionen beziehst, Logik benutzt, etc..



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WeisserBitcode
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 07.11.2017
Mitteilungen: 28
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-01-21


@tactac
Das wäre die Musterlösung. Also reflexiv und symetrisch denke ich verstehe ich.
R ist nicht reflexiv, da z.B. nicht 3R3 gilt. R ist auch nicht symmetrisch, denn es gilt zwar
2R1, aber nicht 1R2. R ist jedoch transitiv, denn es gibt keine Zahlen x, y, z ∈ {1, 2, 3}
mit xRy und yRz. Somit ist die Aussage „∀x, y, z ∈ {1, 2, 3} : xRy ∧ yRz ⇒ xRz“
trivialerweise richtig.

Wieso ich meine reflexive Begründung fehlerhaft?
Die Musterlösung gibt an das zum Beispiel 3R3 nicht vorhanden ist.
Ok... ich habe gerade meinen Fehler bei reflexiv gefunden. :D
...Leichtsinnsfehler :D

Aber zum Beispiel "symetrisch". Da habe ich ja die selbe Begründung wie in de Musterlösung. Was wäre daran falsch. Oder was ist hier in der Musterlösung anders als bei meiner ? :)



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 3860
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-01-21

\(\begingroup\)
2018-01-21 11:30 - WeisserBitcode in Beitrag No. 5 schreibt:
Aber zum Beispiel "symetrisch". Da habe ich ja die selbe Begründung wie in de Musterlösung. Was wäre daran falsch. Oder was ist hier in der Musterlösung anders als bei meiner ? smile

Vermutlich ist in der Musterlösung "symmetrisch" richtig geschrieben.  biggrin

Ne, im Ernst, es ist im Prinzip richtig, was du oben geschrieben hast, nur eben formal nicht ganz sauber, z.B., so

$2R1 \land \lnot \ 1R2 \Rightarrow R$ ist nicht symmetrisch.
\(\endgroup\)


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