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Physik » Mathematische Physik » Partielle Differentialgleichung
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Universität/Hochschule J Partielle Differentialgleichung
Sito
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Dabei seit: 05.11.2016
Mitteilungen: 175
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-01-19

\(\begingroup\)
Guten Tag zusammen,

folgende Aufgabenstellung:
Sei \(u(x,t)\) wobei \((x,t)\in \mathbb{R}\times [0,\infty)\) und \(f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})\) (Schwartzraum). Löse folgendes AWP:
\(\begin{align}
\frac{\partial  u}{\partial t}&=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-x^2u+u\right)\\
u(x,0)&=f(x)
\end{align}\)

Die Lösung des Problems poste ich unter meiner Frage.

Um ehrlich zu sein verstehe ich so gut wie nichts von der Lösung. Wieso genau redet man hier von Hamiltonoperator? Mir ist aus der Vorlesung nur bekannt, dass \(\psi_n(x)= \pi^{-1/4}2^{-n/2}(n!)^{-1/2}H_n(x)e^{-x^2}\) Lösungen der Schrödingergleichung für den harmonischen Oszillator sind, wobei \(H_n\) hier die Hermite-Polynome sind und nicht die Funktionen... Des weiteren weiss ich, dass Hermite-Funktionen Eigenfunktionen der Fouriertransformation sind, aber auch hier sehe ich nicht wirklich einen Link zur Aufgabe... Ich wäre also froh, wenn mir jemand erklären könnte was hier genau passiert.

Die Lösung diesbezüglich sieht folgendermassen aus:


Gruss Sito
\(\endgroup\)


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StefanVogel
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 2907
Aus: Raun
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-01-20

\(\begingroup\)
Hallo Sito,
den Zwischenschritt mit dem \(\mathrm{H}\) kann man auch überspringen, man muss sich dann nur davon überzeugen, dass die Gleichung \(\mathrm{H} h_{n} = n h_{n}(x)\) auch dann gilt, wenn man für \(\mathrm{H}\) entsprechend die rechte Seite der Gleichung (1) einsetzt und dabei vermutlich die Eigenschaft \(H_n''-2 x H_n'(x) + 2 n H_n(x) = 0\) der Hermiteschen Polynome verwendet.

Viele Grüße,
  Stefan
\(\endgroup\)


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Sito hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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