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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionen » Beweis, dass eine Funktion genau 3 Nullstellen hat
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Autor
Universität/Hochschule J Beweis, dass eine Funktion genau 3 Nullstellen hat
pi-square
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.12.2017
Mitteilungen: 38
Aus: Würzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-08 22:04


Hallo zusammen,
es soll bewiesen werden, dass die Funktion
fed-Code einblenden
genau 3 Nullstellen hat.
Bekannt ist, dass f(0)=f(1)=0 und f(2)=-1 und f(5)=6.

Aus diesen Funktionswerten folgt ja zwangsläufig, dass die Funktion mindestens 3 NST hat, aber zu beweisen ist dass es genau 3 sind.

Ich hab mal die 1. und 2. Ableitung berechnet.
fed-Code einblenden

Als erstes kann man feststellen, dass f"(x) monoton steigend ist.

Dann untersuche ich mal die verschiedenen Bereiche.

- x<0

Bei x=0 ist f(x)=0, f"(0)=-1,51, die Funktion ist also konkav für alle x<0 und damit auch immer <0.

- x=0 ist eine NST

- 0<x<1

f(1)=0, f"(1)=-1,039<0, d.h. die Funktion ist immer noch konkav, d.h., es kann zwischen 0 und 1 keine weiteren NST geben.

- x=1 ist eine NST

- 1<x<2

f"(2)=-0,0782, also immer noch konkav. Keine Nullstelle zwischen 1 und 2.

- 2<x<5

f" (2,1)>0, d.h. die Funktion hat einen Wendepunkt zwischen  2 und 2,1 und ist jetzt konvex und bleibt es auch bis +unendlich.
Also wird sie jetzt ein Minimum durchlaufen und danach monoton steigen. Wegen f(2)=-1<0 und f(5)=6)>0 nimmt sie als stetige Funktion irgendwo im Bereich zwischen 2 und 5 den Wert 0 an -> eine weitere NST, aber danach steigt sie monoton und hat keine weitere NST.

Ist das ausreichend als Beweis oder fällt das eher in die Kategorie Roman?




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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5179
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-10 02:13


Wenn man geklärt hat, dass die Funktion hinreichend oft stetig differenzierbar ist, so kann man wie folgt argumentieren:
Angenommen, die Funktion hätte vier verschiedene Nullstellen. Wir betrachten vier aufeinanderfolgende Nullstellen. Aufgrund der Stetigkeit ist die erste Ableitung in diesen vier Nullstellen abwechselnd positiv und negativ.
Wegen des Zwischenwertsatzes und der Stetigkeit der 1. Ableitung, muss die erste Ableitung jeweils zwischen zwei Nullstellen von f selbst eine Nullstelle haben. Die hat also mindestens drei Nullstellen.
Das gleiche Argument wendet man nun auf f' an und stellt fest, dass f'' mindestens zwei Nullstellen haben müsste (jeweils zwischen zwei Nullstelen von f'). Da f'' aber nur eine Nullstelle hat, ist die Annahme falsch.

Wie man sieht, wurden Informationen über den tatsächlichen Verlauf von f fast gar nicht genutzt.



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pi-square
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 10.12.2017
Mitteilungen: 38
Aus: Würzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-11 12:51


So ist das sehr logisch.
Vielen Dank!



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pi-square hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
pi-square hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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