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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Relation von Partitionen in einer Menge
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Universität/Hochschule Relation von Partitionen in einer Menge
vandi13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-10 01:45


Hallooo,

Wir haben heute eine Probeklausur geschrieben und ich wollte mal fragen wie eine der Aufgaben funktioniert.

Leider durften wir sie nicht mitnehmen, weshalb ich den genauen Wortlaut nicht mehr weiß.

Jedenfalls war die Menge M = {1,2,3} gegeben und die Aufgabe war in etwa:

für alle Partitionen a,b von M:

Relation a < b  <=> die zugehörige Äquivalenzklasse von a ist (echte) Teilmenge der zugehörigen Äquivalenzklasse von b

dazu sollten wir ein Hasse Diagramm zeichnen

stimmt es, dass die Partitionen {(1),(2),(3)},{(1,2),(3)},{(1),(2,3)}, {(1,3),(2)} und {(1,2,3)} sind?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-10 02:08


2018-02-10 01:45 - vandi13 im Themenstart schreibt:

Jedenfalls war die Menge M = {1,2,3} gegeben [...]
stimmt es, dass die Partitionen {(1),(2),(3)},{(1,2),(3)},{(1),(2,3)}, {(1,3),(2)} und {(1,2,3)} sind?
Ja, das sind die Partitionen von M, (modulo Notation).

und die Aufgabe war in etwa: [...]

für alle Partitionen a,b von M:

Relation a < b  <=> die zugehörige Äquivalenzklasse von a ist (echte) Teilmenge der zugehörigen Äquivalenzklasse von b

dazu sollten wir ein Hasse Diagramm zeichnen
Wann eine Äquivalenzklasse "zugehörig" ist, ist nicht zu erraten.

Aber man könnte zum Beispiel konkretisieren:
a < b <=> für alle x in M ist <math>[x]_a \subsetneq [x]_b</math>
...und dazu kann man natürlich auch ein Hasse-Diagramm malen.



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vandi13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10 02:27


Ungefähr so?



edit: falsches bild



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-10 02:41


Für die Relation, die ich hingeschrieben habe, wäre das Hass-Diagramm falsch.



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vandi13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10 02:46


Was ist denn <math>[x]_a </math>bzw <math>[x]_b</math> ?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-02-10 02:56

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\)
Das sind die Äquivalenzklassen von x bzgl. der durch die Partition a bzw. b bestimmte Äquivalenzrelation.
Im Fall $a=\{\{1,2\},\{3\}\}$ ist z.B. $[1]_a=[2]_a=\{1,2\}$ und $[3]_a=\{3\}$.
\(\endgroup\)


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vandi13
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-10 03:04


Ich weiß nicht, ob ich richtig verstehe was du meinst.

Ich kenne es nur so, dass die durch {(1,2),(3)} induzierte Äquivalenzklasse = {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)} ist



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-02-10 03:30


Da hast du 'was falsch verstanden. Partitionen *sind* Mengen von Äquivalenzklassen bzgl. einer (durch die Partition exakt bestimmten -- und umgekehrt bestimmt auch jede Äquivalenzrelation auf einer Menge exakt eine Partition dieser Menge) Äquivalenzrelation auf einer Menge.
Dein Satz in üblicher Terminologie und Notation:
    Die Partition {{1,2},{3}}  entspricht  der Äquivalenzrelation {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3)}.
Die Äquivalenzklassen sind {1,2} und {3}.



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