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Lineare Algebra » Eigenwerte » Eigenwerte komplizierter Matrix abschätzen
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Universität/Hochschule Eigenwerte komplizierter Matrix abschätzen
Banacho
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-13 12:40

\(\begingroup\)
Hallo,
für eine numerische Stabilitätsrechnung möchte ich analytisch zeigen, dass die Eigenwerte der Matrix \( (I + A + B)^{-1} (I - A - B) \) betragsmäßig kleiner als 1 sind. Dabei kann ich benutzen, dass die Eigenwerte von A und B positive Realteile haben und kommutativ sind. Jedoch besitzen beide Matrizen Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit größer gleich 2, sodass sie nicht simultan diagonalisierbar sind und ich die Eigenwerte in den Klammern nicht einfach aufaddieren kann.
Besteht die Möglichkeit die Eigenwerte analytisch abzuschätzen oder kann ich es nur numerisch für einzelne Beispiele zeigen?

Gruß
Banacho
\(\endgroup\)


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egndgf
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Mitteilungen: 16002
Aus: Mindelheim
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-13 13:03


Hallo,

zwei Tipps:
a) Simultane Tridiagonalisierbarkeit.
b) Funktionalkalkül für Operatoren/Matrizen (falls bekannt).

MfG
egndgf



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Banacho
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-02-13 13:17


Hallo,
ich denke du meinst simultane Trigonalisierbarkeit, aber die ist doch nur möglich, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und da wir Eigenwerte mit alg. VFH größer gleich 2 haben, ist das nicht der Fall.
Die zweite Möglichkeit habe ich tatsächlich noch nicht gehört.

Gruß
Banacho



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egndgf
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Aus: Mindelheim
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-02-14 10:03

\(\begingroup\)
Hallo,

ja, ich meinte Trigonalisierbarkeit. Und dass die algebraische Vielfachheit eines EW/die Ordnung einer Nullstelle größer als eins ist, impliziert überhaupt nicht, dass ein Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt.
Wenn du den Funktionalkalkül nicht kennst, kannst du dennoch elementar einen Zusammenhang zwischen dem Spektrum (hier: der Menge der EW) eines Operators C und von $(I+C)^{-1}(I-C)$ finden und beweisen.
Bzgl. des Funktionalkalküls: Man kann Matrizen/Operatoren in gewisse Objekte einsetzen, z.B. Polynome. Und wenn man das tut, dann gibt es häufig eine einfache Beziehung zwischen dem Spektrum der ursprünglichen Matrix, der Funktion und dem Spektrum der aus beiden durch Einsetzen entstandenen Matrix. Es gibt verschiedene Funktionalkalküle: Man kann alle Endomorphismen eines VR in Polynome einsetzen; man kann im Falle von reellen/komplexen Banachräumen beschränkte Operatoren in Potenzreihen einsetzen, wenn der Konvergenzradius der Potenzreihe so groß ist, dass die Reihe mit dem Operator konvergiert. Das kann man mit dem holomorphen Funktionalkalkül ausweiten. Und dann gibt für spezielle Operatorklassen noch weitere Funktionalkalküle (besonders wichtig ist der für normale/selbstadjungierte Operatoren auf Hilberträumen -- hier kann man die Operatoren auch in nicht holomorphe Funktionen einsetzen).

MfG
egndgf
\(\endgroup\)


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