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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Kardinalität der multiplikativen Gruppen
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Autor
Universität/Hochschule J Kardinalität der multiplikativen Gruppen
xic14
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2016
Mitteilungen: 57
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-02-14 01:15


Hallo!

In meinem Skriptum steht, dass F ein eindlicher Körper ist mit q Elemente, und muss beweisen dass F ist Zerfällungskörper des Polynoms P(T)=T^q-T .

Im Beweis steht dass die multiplikative Gruppe F^* die Kardinalität q-1 hat. Das macht für mich keinen Sinn, weil zum Beispiel Z10={0,...,9} hat 10 Elemente, für Elemente (nenne ich a) in Z10^* gilt aber nicht a^(q-1)=1. Zum beispiel 3^9=19683 = 3 (modulo 10)

Warum? :/

Vielen vielen Dank!!



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wladimir_1989
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 23.12.2014
Mitteilungen: 988
Aus: Freiburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-02-14 01:30


Hallo xic14,
beachte, dass q notwendigerweise eine Primzahlpotenz ist. Im Allgemeinen hat jedes Element außer 0 in einem Körper ein multiplikatives Inverses. Damit ist klar, dass die Kardinalität der multiplikativen Gruppe einfach die Kardinalität des Körpers minus 1 ist. Die Z10 mit der üblichen Addition und Multiplikation ist hingegen kein Körper, da die Elemente 2 und 5 Nullteiler sind.

lg Wladimir



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