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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Wir lernen Galois
Thema eröffnet 2018-03-13 00:11 von
juergen007
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Universität/Hochschule Wir lernen Galois
juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.280, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19 15:52


ok



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.281, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19 16:20

\(\begingroup\)
Ja.
Man müsste noch versuchen $f(x)\mod2=x^5+x^3+x^2+x+1$ durch alle irreduziblen Polynome 2. Grades in  $Z_2[x]$ dividieren. Das wäre ja nur $x^2+x+1$.
$\frac{x^5+x^3+x^2+x+1}{x^2+x+1}$ ist nicht restfrei, meine ich. Also $f(x)\mod2=x^5+x^3+x^2+x+1$ irreduzibel in  $Z_2[x]$.
Woraus wir schliessen, dass  $\displaystyle f(X)=x^5+3x^3+5x^2-x+1$  irreduzibel in $Z[x]$ ist.

\(\endgroup\)


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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.282, eingetragen 2018-04-19 18:47


Richtig.



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.283, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-19 22:07

\(\begingroup\)
Thxy  smile
Dachte schon ich müsste jetzt in die Materie Galoiskörper $\mathbb GF(2^n)$ einsteigen aber das kriegen wir später.
Schönes essay zu Galoisfields:
www.fbmn.h-da.de/~ochs/mathe1/skript/galois12.pdf
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.284, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-20 00:40

\(\begingroup\)
Nächste "Rechenaufgabe":

Aufgabe 3.5.10.
Sei x eine Lösung der Gleichung $\displaystyle X^4 − 2X^3 + 12X − 10 = 0$.
Drücke $\displaystyle x^6$ durch eine Linearkombination von 1, x, x2 und x3 mit rationalen Koeffizienten aus.

Müssen wir die ganzalgebraische Zahl x dazu kennen?
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.285, eingetragen 2018-04-20 00:55


2018-04-20 00:40 - juergen007 in Beitrag No. 284 schreibt:
Nächste "Rechenaufgabe":

Aufgabe 3.5.10.
Sei x eine Lösung der Gleichung <math>\displaystyle X^4 -2X^3 + 12X - 10 = 0</math>.
Drücke <math>\displaystyle x^6</math> durch eine Linearkombination von 1, x, x2 und x3 mit rationalen Koeffizienten aus.

Müssen wir die ganzalgebraische Zahl x dazu kennen?


Nein, müssen wir nicht.
Es ist
<math>\displaystyle x^4 =2x^3 - 12x + 10</math>,
<math>\displaystyle x^5 =2x^4 - 12x^2+ 10x =2(2x^3 - 12x + 10)- 12x^2+ 10x</math>
<math>\displaystyle x^6 =2x^5 - 12x^3+ 10x^2 =2(2x^4 - 12x^2 + 10x)- 12x^3+ 10x^2
</math>
<math>\displaystyle
=2(2(2x^3 - 12x + 10 )- 12x^2 + 10x)- 12x^3+ 10x^2
</math>




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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.286, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-21 19:32

\(\begingroup\)
2018-04-20 00:55 - ochen in Beitrag No. 285 schreibt:
Es ist
<math>\displaystyle x^4 =2x^3 - 12x + 10</math>,
<math>\displaystyle x^5 =2x^4 - 12x^2+ 10x =2(2x^3 - 12x + 10)- 12x^2+ 10x</math>
<math>\displaystyle x^6 =2x^5 - 12x^3+ 10x^2 =2(2x^4 - 12x^2 + 10x)- 12x^3+ 10x^2
</math>
<math>\displaystyle
=2(2(2x^3 - 12x + 10 )- 12x^2 + 10x)- 12x^3+ 10x^2
</math>


Gut danke:)


Zum Thema primitives Element fragte ich mich grade:
Sei $\displaystyle\mathbb \alpha=-\frac{1+i\sqrt3}{2}$ eine primitive 3. E-wurzel.

1) $\displaystyle\mathbb Q(i)$
2) $\displaystyle\mathbb Q(\sqrt3)$
3) $\displaystyle\mathbb Q(i+\sqrt3)$
4) $\displaystyle\mathbb Q(i,\sqrt3)$
5) $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$
6) $\displaystyle\mathbb Q(i\sqrt3)$

Was ist die größte Körpererweiterung von Q und wie sind die teilmengen beziehungen?



\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.287, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-22 18:21

\(\begingroup\)
2018-04-21 19:32 - juergen007 in Beitrag No. 286 schreibt:



Sei $\displaystyle\mathbb \alpha=-\frac{1+i\sqrt3}{2}$ eine primitive 3. E-wurzel.

1) $\displaystyle\mathbb Q(i)$
2) $\displaystyle\mathbb Q(\sqrt3)$
3) $\displaystyle\mathbb Q(i+\sqrt3)$
4) $\displaystyle\mathbb Q(i,\sqrt3)$
5) $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$
6) $\displaystyle\mathbb Q(i\sqrt3)$

Was ist die größte Körpererweiterung von Q und wie sind die teilmengen beziehungen?

Jedenfalls sind $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$ und $\displaystyle\mathbb Q(i)$ disjunkt "bis auf Q" meine ich, obwohl $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$ "vielfache" von i enthält zB $i\sqrt3$ aber nicht $3i$ und gar keine rationalen vielfachen von i und nicht mal i selber meine ich.

Der Grad von i ist ja =4 und der von $\alpha$ ist 2.
\(\endgroup\)


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DavidM
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.288, eingetragen 2018-04-22 18:59

\(\begingroup\)
Falls du mit Grad den Grad der Körpererweiterung meinst (oder den Grad des Minimlapolynoms, das ist dasselbe), dann ist der Grad von $i$ auch zwei, denn $i$ ist ja Nullstelle von $x^2+1 \in \mathbb{Q}[x]$.
Ansonsten gelten folgende Beziehungen für deine Körpererweiterungen:
$\mathbb{Q}(i \sqrt{3})=\mathbb{Q}(\alpha) \subsetneq \mathbb{Q}(i, \sqrt{3})=\mathbb{Q}(i+\sqrt{3})$
$\mathbb{Q}(i) \subsetneq \mathbb{Q}(i,\sqrt{3})$
$\mathbb{Q}(\sqrt{3}) \subsetneq \mathbb{Q}(i,\sqrt{3})$

2018-04-22 18:21 - juergen007 in Beitrag No. 287 schreibt:

Jedenfalls sind $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$ und $\displaystyle\mathbb Q(i)$ disjunkt "bis auf Q" meine ich, obwohl $\displaystyle\mathbb Q(\alpha)$ "vielfache" von i enthält zB $i\sqrt3$ aber nicht $3i$ und gar keine rationalen vielfachen von i und nicht mal i selber meine ich.


Richtig.
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.289, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-22 19:56


a ok thx mein Missverstaendnis war dass i eine 4te primitive einheitswurzel ist aber als algebraische zahl den Grad 2 hat, was man an dem Minimalpolynom sieht



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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.290, vom Themenstarter, eingetragen 2018-04-23 18:38

\(\begingroup\)
Aufgabe 3.6.3. Finde ein primitives Element zu i und $\sqrt[3]{2}$.

Das ist dann meine ich $i+\sqrt[3]{2}$.

Aufgabe 3.6.4. Drücke √2 und √3 als Polynome in √2+√3 mit rationalen Koeffizienten aus.
Aufgabe 3.6.5. Zeige mit elementaren Methoden direkt über den Ansatz √2 = a + b√3 mit rationalen Zahlen a und b, daß √2 keine in √3 rationale Zahl ist.

sind ähnliche Probleme.. wer möchte..

"daß √2 keine in √3 rationale Zahl ist." heisst ja dass √2 nicht in $\IQ(\sqrt3)$ enthalten ist. Der Begriff Körpererweiterung wird noch nicht benutzt. Erst in Kapitel 8 leider.

weiter:
Aufgabe 3.6.7. Sei f(X) ein Polynom rationalen Koeffizienten. Zeige, daß eine algebraische Zahl y existiert, so daß f(X) über y vollständig in Linearfaktoren zerfällt.

Heißt das nicht, dass alle Polynom mit rationalen Koeffizienten immer eine algebraische Lösung in irgendeinem Erweiterungskörper haben?
Was mich wieder zu der Frage bringt: sind algebraische Zahlen immer Radikale? In den Artikel sind "Radikale" "Radikalerweiterungen" und "Erweiterungskörper" nicht eingeführt. Ich lass das aber mal so stehen.




Anm.: wenn man als "irgendein Erweiterungskörper " auch $\IC$ zulässt dann gibt es natürlcih immer Lösungen nach dem Fundamentalsatz.

\(\endgroup\)


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