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Mathematik » Geometrie » Unterschiedliche Strecken gleich lang?
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Kein bestimmter Bereich Unterschiedliche Strecken gleich lang?
Red_
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-20


Hallo,
ich habe erneut eine geometrische Frage.
Man betrachte zwei unterschiedliche Strecken, welche intuitiv nicht gleich lang sind, sagen wir mal so hier die beiden Strecken g und h:


Nun gibt es eine Bijektion vom Punkt S aus zwischen den beiden Strecken. Ein Punkt wird also genau einem anderen Punkt zugeordnet. Denkbar wäre, dass die Strecken gleich lang sind, was sie aber nicht sind.
Es geht hier wahrscheinlich darum, dass das Übergehen von einer Dimension in eine höhere Dimension Auswirkungen hat. Ein Beispiel wäre:
Man betrachte ein Rechteck, mit Seitenlänge 1 und 2. Das Rechteck besteht also aus unendlich vielen Strecken der Länge 1, aufsummiert würden die unendlich ergeben, aber da wir in die zweite Dimension übergehen verhält sich die Fläche anders.
Oder es könnte daran liegen, dass die Punkte der Bijektion bei h dichter zusammen liegen, was mir aber trotzdem nicht erklärt, warum die Bijektion dann die Länge nicht erhält.
Vielleicht gehört dieses simple Thema zur Maßtheorie? Ich habe mich aber damit noch nie beschäftigt.

Vielleicht hat einer von euch eine Idee oder das Wissen, warum obiges nicht gilt mit der Streckenlänge.  smile




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Wirkungsquantum
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Dabei seit: 10.03.2015
Mitteilungen: 404
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-20

\(\begingroup\)
Hallo,
ich versteh nicht ganz worauf du hinaus möchtest, aber das die Strecken alle unterschiedlich lang sind kann man doch mit Pythagoras leicht zeigen.

Grüße,
h


-----------------
$h=6,626⋅10^{-34} Js$
\(\endgroup\)


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mire2
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Dabei seit: 29.08.2006
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Aus: Köln-Koblenz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-20


2018-03-20 12:13 - Red_ im Themenstart schreibt:
Hallo,
ich habe erneut eine geometrische Frage.
Man betrachte zwei unterschiedliche Strecken, welche intuitiv nicht gleich lang sind, sagen wir mal so hier die beiden Strecken g und h:


Nun gibt es eine Bijektion vom Punkt S aus zwischen den beiden Strecken. Ein Punkt wird also genau einem anderen Punkt zugeordnet. Denkbar wäre, dass die Strecken gleich lang sind, was sie aber nicht sind.
Es geht hier wahrscheinlich darum, dass das Übergehen von einer Dimension in eine höhere Dimension Auswirkungen hat. Ein Beispiel wäre:
Man betrachte ein Rechteck, mit Seitenlänge 1 und 2. Das Rechteck besteht also aus unendlich vielen Strecken der Länge 1, aufsummiert würden die unendlich ergeben, aber da wir in die zweite Dimension übergehen verhält sich die Fläche anders.
Oder es könnte daran liegen, dass die Punkte der Bijektion bei h dichter zusammen liegen, was mir aber trotzdem nicht erklärt, warum die Bijektion dann die Länge nicht erhält.
Vielleicht gehört dieses simple Thema zur Maßtheorie? Ich habe mich aber damit noch nie beschäftigt.

Vielleicht hat einer von euch eine Idee oder das Wissen, warum obiges nicht gilt mit der Streckenlänge.  smile

Hi Red_!

Dieser Post leider ist unverständlich für einen Außenstehenden.

Was sind die Voraussetzungen?
Was ist die Frage?
Was sind Deine Gedanken zur Lösung dieser Frage unter den gegebenen Voraussetzungen?

Und diese Punkte bitte schön getrennt beantworten.  wink

Gruß
mire2


-----------------
Beherrscher der Meta-Sprache
Narr und Weiser des Clans
Einziges Mitglied des Ältestenrates
Bester Freund Metas



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-03-20


Es geht anscheinend um die geometrische Interpretation der (auf den ersten Blick paradoxen) Tatsache, dass es zwischen Intervallen unterschiedlicher Länge (egal ob in Q oder R) Bijektionen geben kann.


-----------------
Why waste time learning when ignorance is instantaneous?
- Bill Watterson -



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Red_
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Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-03-20


2018-03-20 14:07 - mire2 in Beitrag No. 2 schreibt:
Was sind die Voraussetzungen?
Keine Voraussetzungen  biggrin


Was ist die Frage?
Kurz gesagt: Wir bilden jeden Punkt bijektiv von h nach g ab. Was heißen würde, dass die Längen gleich lang sein sollten, was sie aber intuitiv nicht sind (mit intuitiv meine ich, das eine ist länger als das andere  biggrin ). Warum ist das so?


Was sind Deine Gedanken zur Lösung dieser Frage unter den gegebenen Voraussetzungen?
Mir wurde dieser Artikel hier mitgeteilt: article.php?sid=496
Etwas weiter unten taucht ein Problem mit zwei konzentrischen Kreisen auf. Dieses Problem ist äquivalent zu meinem Problem. Die Erklärung für dieses Phänomen lautet anscheinend, dass man Punkten keine Länge zuordnet. Falls die Maßtheorie hier entscheiden ist, hier ein kleiner Gedanke: In der Maßtheorie (womit ich mich noch kaum auskenne) gibt es eine sogenannten Prämaß, welche additiv ist, doch dies nur für abzählbar viele Elemente. Wir haben aber überabzählbar viele Elemente/Punkte in der gegebenen Strecke. D.h. wir dürfen nicht einfach so die Summe all dieser Punkte bilden.

2018-03-20 14:15 - DerEinfaeltige in Beitrag No. 3 schreibt:
Es geht anscheinend um die geometrische Interpretation der (auf den ersten Blick paradoxen) Tatsache, dass es zwischen Intervallen unterschiedlicher Länge (egal ob in Q oder R) Bijektionen geben kann.
Ich glaube das trifft den Nagel auf den Kopf  biggrin  



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Triceratops
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-03-21


Das Konzept der Länge hat wenig mit der Anzahl der Punkte zu tun. Ich weiß auch nicht, wieso man das überhaupt denken könnte. Insofern sehe ich nicht, welcher scheinbare Widerspruch hier aufgelöst werden soll. Für mich hört sich das in etwa so an:

"Wie kann es sein, dass 7 eine Primzahl ist? Sie ist doch größer als 5!"



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DerEinfaeltige
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-03-21


2018-03-21 09:09 - Triceratops in Beitrag No. 5 schreibt:
Das Konzept der Länge hat wenig mit der Anzahl der Punkte zu tun. Ich weiß auch nicht, wieso man das überhaupt denken könnte. Insofern sehe ich nicht, welcher scheinbare Widerspruch hier aufgelöst werden soll. Für mich hört sich das in etwa so an:


Beispiel:
Vergrößere ein Lineal.
Entweder brauchst du mehr Kerben oder sie liegen weniger dicht.

Wissenschaftlicher und konkreter:
Bei Vergrößerung von Materie nimmt die Anzahl Atome zu oder ihre Konzentration ab.

Nur unendliche, abstrakte Punktmengen verhalten sich anders.
Diese kennt man aus der Realität jedoch nicht.


-----------------
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- Bill Watterson -



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Hans-Juergen
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Aus: Henstedt-Ulzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-03-21


Triceratops: "Das Konzept der Länge hat wenig mit der Anzahl der Punkte zu tun. Ich weiß auch nicht, wieso man das überhaupt denken könnte."

Denken kann man das schon. Bereits antike Mathematiker wunderten sich darüber, dass zum Beispiel eine Strecke endlicher Länge aus Punkten bestehen soll, die selber keine Ausdehnung besitzen. An dieser Stelle fehlt es, was die Begriffe "Punkt" und "Strecke" betrifft, an Klarheit; beide passen nicht recht zusammen. Und wer es ablehnt, darüber nachzudenken und dies in überheblichem Ton kund tut, macht in meinen Augen einen Fehler.

T. schreibt weiter: "Wissenschaftlicher und konkreter: Bei Vergrößerung von Materie nimmt die Anzahl Atome zu oder ihre Konzentration ab. Nur unendliche, abstrakte Punktmengen verhalten sich anders. Diese kennt man aus der Realität jedoch nicht."

Frage: Wie verhalten sich abstrakte Punktmengen denn anders? Das zu klären wäre 'mal interessant.

 



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gonz
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-03-21


Das Problem das zu verstehen ist vielleicht ähnlich zu dem der ganzen Zahlen und der geraden Zahlen. Es gibt offenbar "mehr" ganze Zahlen, da diese auch noch die ungeraden beinhalten, trotzdem gibt es aber eine Bijektion zwischen beiden Mengen.

Grüsse und einen schönen Tag wünscht
gonz


-----------------
to fight! (Don Quijote de la Mancha)



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a-gon
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Aus: Auenland
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-03-21


Wenn man mit "Punktmengen" den "uns umgebenden Raum" meint, dann ist das offenbar eine sehr komplizierte Sache und die Diskussion darüber tatsächlich "seit der Antike" in Gange. Es erstaunt dann eher, dass die (mathematischen) Konstrukte des menschlichen Geistes in der Lage sind, die Natur so gut abzubilden. Bzw. auch in anderen Bereichen, der QM zum Beispiel, hört dann irgendwo das "Verstehen" auf, und man kann nur feststellen, dass die Ergebnisse dessen was man rechnet mit dem, was man beobachtet/misst (in den Grenzen der Messgenauigkeit) übereinstimmt. Und, für den Ingenieur zumindest, vielleicht aber auch für den Physiker, ist am Ende "Machbarkeit" das entscheidende Argument, Trinity der Beweis für die Relativitätstheorie.



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mire2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-03-21


Um noch einen weiteren Aspekt einzuwerfen, der auf das hier Bezug nimmt!


Kurz gesagt: Wir bilden jeden Punkt bijektiv von h nach g ab. Was heißen würde, dass die Längen gleich lang sein sollten, was sie aber intuitiv nicht sind (mit intuitiv meine ich, das eine ist länger als das andere  biggrin ). Warum ist das so?

Wenn Du Dir Funktionen anschaust, dann kann man ja bildlich gesprochen auch  ein Intervall (bildlich eine Strecke) auf eine nicht selten gekrümmte Linie abbilden.
Da bist Du früher nicht auf die Idee gekommen, dass diese (gekrümmte) Linie offensichtlich länger als das Intervall/die Strecke ist und das da deshalb etwas nicht stimmen kann.
Und wenn Deine Funktion eine lineare ist, dann entsteht ja gar keine gekrümmte Linie, sondern eine Strecke, die ebenfalls länger als das Intervall ist.

Ein Gummiband kann man ja auch strecken oder stauchen und es werden dennoch nicht "mehr Punkte" auf diesem sein, denn wenn ich einen Punkt markiere, dann finde ich den im gestreckten Band genauso eindeutig wieder wie umgekehrt, wenn ich einen Punkt beim gestreckten Band markiere und das Band entspanne.

Es kommt also nicht auf die Länge an razz , sondern lediglich auf die Möglichkeit der eindeutigen Zuordnung an.

Gruß
mire2

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]


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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\) \(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\)
2018-03-21 09:57 - gonz in Beitrag No. 8 schreibt:
Das Problem das zu verstehen ist vielleicht ähnlich zu dem der ganzen Zahlen und der geraden Zahlen. Es gibt offenbar "mehr" ganze Zahlen, da diese auch noch die ungeraden beinhalten, trotzdem gibt es aber eine Bijektion zwischen beiden Mengen.
Grüsse und einen schönen Tag wünscht
gonz
(Eigentlich off-topic-Alarm.)
Das ist übrigens lustig, denn es gibt ja zwei vom Gefühl her verschiedene Möglichkeiten, ausgehend von $\mathbb Z$ die Menge der geraden ganzen Zahlen, G, zu erhalten:
1) Man verdoppele jedes Element: $G = \{2k \mid k \in \mathbb Z\}$. Hier ist es "offensichtlich", dass $G$ "genau so groß" ist, wie $\mathbb Z$.
2) Man behalte nur die geraden Elemente: $G = \{z\in\mathbb Z \mid z\text{ gerade}\}$. Hier ist es "offensichtlich", dass sich die "Anzahl" "halbieren" müsste.
Beide Möglichkeiten reduzieren sich aber auf (bis auf Umbenennung gebundener Variablen) denselben Ausdruck, wenn man die verwendeten Notationen in üblicher Weise auflöst: $G = \{z\in\mathbb Z \mid \exists k \in \mathbb Z.\ 2k = z\}$.
\(\endgroup\)


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