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Lineare Algebra » Matrizenrechnung » Matrixpotenzen
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Universität/Hochschule J Matrixpotenzen
Specialagent
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-03-21


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-03-21


Für 2x2-Matrizen ist eine Darstellung mit Jordanscher Normalform auch noch gut berechenbar (und auch die Potenzen der Jordanmatrix).



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-03-21

\(\begingroup\)
Eine weitere alternative bei solchen Aufgaben ist auch ein induktiver Ansatz.

Dass du nämlich versuchst ein Bildungsgesetz von $A^n$ zu finden.
Der Rechenaufwand sollte auch nicht viel größer sein, als mit der Jordanschen Normalform.

Diese alternative muss aber auch nicht immer Zielführend sein und kann natürlich auch ins leere führen.
Immerhin muss man ja auch erstmal eine Gesetzmäßigkeit finden.

Hier ist das allerdings relativ offensichtlich, wenn man ein paar Potenzen ausrechnet.

Man erhält:

$A^2=\begin{pmatrix} 3&2\\-2&-1\end{pmatrix}$

$A^3=\begin{pmatrix} 4&3\\-3&-2\end{pmatrix}$

$A^4=\begin{pmatrix} 5&4\\-4&-3\end{pmatrix}$

Die Vermutung für $A^n$ liegt dann recht nahe.
Die Vermutung verifiziert man dann auch leicht induktiv.

Um $A^{2018}$ zu bestimmen setzt man in die gefundene Formel dann eben ein.
\(\endgroup\)


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Specialagent
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Danke euch!



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